Discussion:Covariant et contravariant

Quid des notions informatiques ?

J'aimerais trouver au moins un lien depuis cet article vers les notions associées en informatique. Elles sont par ex décrites ici : http://msdn.microsoft.com/en-us/library/dd799517.aspx

Note : je suis arrivé via cette page (http://fr.wikipedia.org/wiki/Conception_par_contrat#Conception_par_contrat) et je ne trouve aucune infos sur ces concepts.

ça mérite en effet d'être abordé. Voir sur ce sujet le fil de discussion suivant sur Hacker News: https://news.ycombinator.com/item?id=14831290 --Grondilu (discuter) 24 juillet 2017 à 03:33 (CEST)

Racine commune aux deux mots

Il me parait important d'expliquer d'où vient la racine "variant" dans les deux termes. Ceci avait justifié la définition certes non rigoureuse, mais intuitive, selon laquelle les coordonnées d'un vecteur sont dites covariante ou contravariantes selon qu'elles varient ou non comme les vecteurs de bases lors d'un changement de base. Voir l'article avant novembre 2011 pour les détails. --Grondilu (d) 12 novembre 2011 à 16:52 (CET)

Oui, sans doute vous avez raison sur ce point, et l'article reste à compléter à ce sujet.

Je crois que le moins que puisse attendre un lecteur consultant cet article est qu'on lui explique d'où viennent ces mots dérivés du verbe "varier" avec les préfixes "co-" et "contra-". Il serait contraire au principe de moindre surprise qu'on lui balance tout de suite le produit scalaire, sans lui expliquer quel est le rapport. Avant de rentrer dans les détails, une définition certes vulgarisante mais étymologiquement pertinente me parait utile.

Par ailleurs je n'ai malheureusement pas de source à avancer pour défendre cette idée mais je crois vraiment que le produit scalaire n'est pas nécessaire pour définir la covariance ou la contravariance.--Grondilu (d) 14 novembre 2011 à 11:19 (CET)

Ce me semble pourtant pas l'élément principal qui justifie l'utilisation de ces notions en physique,

Ben si justement. Le principe de covariance étant un principe de relativité suivant lequel les grandeurs physiques doivent s'exprimer de la même façon dans toutes les bases, autrement dit qu'elle doivent varier comme les vecteurs de base. Le principe de covariance serait nettement plus difficile à comprendre s'il fallait faire appel à la base duale.--Grondilu (d) 14 novembre 2011 à 11:30 (CET)

et donc ce ne me semble pas être l'élément principal à mettre en avant (hors terminologie). A ma connaissance en tout cas. Cordialement.--Lylvic (d) 12 novembre 2011 à 16:58 (CET)

L'appellation principe de covariance générale, et sa signification (strictement physique), sont sourcées dans l'article correspondant. Pour le reste, en l'absence de source, la discussion ne peut tourner qu'en une stérile opposition d'ego. Dans mes sources, vos précisions et affirmations de la plus grande complexité, du point de vue de la compréhension, à utiliser la base duale ne sont pas évoquées (d'ailleurs les coordonnées covariantes sont celles de la base duale !). Cordialement.--Lylvic (d) 14 novembre 2011 à 22:27 (CET)

Maintenant, je ne serais pas scandalisé que l'on évoque l'explication de l'étymologie au début de l'article, j'essaie et on verra si ça le fait.--Lylvic (d) 14 novembre 2011 à 23:04 (CET) --Lylvic (d) 15 novembre 2011 à 06:32 (CET)

Je prends note du paragraphe « Lors d'un changement de base, utilisant une matrice $A$, le changement des coordonnées covariantes se fait par l'utilisation de la même matrice $A$, alors que les coordonnées contravariantes sont changées en utilisant la matrice $A^{-1}$ : les co-variantes varient comme les bases, les contra-variantes varient de manière contraire. » C'est très satisfaisant. Je regrette juste que cette propriété, plus facile à comprendre et à mon avis plus générale, ne soit pas mentionnée dès le début de l'article.--Grondilu (d) 15 novembre 2011 à 12:43 (CET)

principe de covariance générale

Ce paragraphe a été supprimé de la section "géométrie différentielle"

L'utilisation la plus connue des grandeurs covariantes se trouve dans la théorie de la relativité générale, d'ailleurs parfois appelée principe de covariance générale, qui stipule en substance que toutes les lois physiques doivent être exprimées avec des grandeurs covariantes. Un exemple fameux est la dérivée covariante, dont le calcul passe par la réalisation de ce qu'on appelle le transport parallèle.

Svp justifiez cette suppression.--Grondilu (d) 14 novembre 2011 à 11:57 (CET)

Ce n'était pas sourcé et cela ne correspond pas aux informations sourcées disponibles dans l'article principe de covariance générale.--Lylvic (d) 14 novembre 2011 à 22:30 (CET)

Définition des bases duales

Après parcours de l'article, je suis un peu gêné par la définition utilisée de la base duale. Si $(e_{i})_{i}$ est une base de E, sa base duale $(e^{i})_{i}$ est classiquement une base d'éléments de $E^{*}$, pas de E. Evidémment si en plus de ça E possède un produit scalaire, chaque $e^{i}$ peut être mis en correspondance avec un élément de E, et là on retombe sur les objets présentés dans l'article. On trouve parfois le terme de base réciproque pour ce cas précis. Mais pas sur que partir dans cette direction soit nécessaire pour expliquer covariance et contravariance. --Burakumin (d) 15 novembre 2011 à 13:18 (CET)

Oui, c'est sûr que la base duale est, en toute rigueur, une base du dual et que c'est le produit scalaire qui permet de faire une bijection entre l'espace E et son dual. J'ai pris cet article comme un article de physique : présenter les définitions pratiques pour l'utilisation, pour ensuite présenter -un peu- la complexité mathématique véritable (paragraphe sur le dual, que je n'ai pas encore commencé). Par contre, je n'ai pas de source permettant de soutenir que co-contra est définissable sans le produit scalaire (donc sans le tenseur métrique), du moins en physique relativiste où la fameuse bijection est nécessaire. --Lylvic (d) 15 novembre 2011 à 18:33 (CET)

Une source mathématique : Spivak, ou Abraham et Marsden... Mais je reconnais que cela demande du temps. Voir l'article Vecteur contravariant, covariant et covecteur pour une introduction donnant la réponse.--gpfleb

Il me semble qu'en mécanique des milieux continus on utilise les notions de covariance et de contravariance sans tenseur métrique. A vérifier.--Grondilu (d) 16 novembre 2011 à 13:56 (CET)

Oui.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)==

Mmmm, on me demande mon avis, sans doute au prétexte que j'ai créé l'article Tenseur en 2003… Mouarf, j'y ai jeté mes maigres connaissances glanées durant mes études mais ne suis pas un spécialiste du domaine.

Concernant la mécanique des milieux continus, on utilise des tenseurs mais en général sans se poser la question de la covariance ni de la contravariance, on écrit tous les indices en bas. Et on ne m'a jamais parlé de tenseur métrique en MMC (on ne l'a pas utilisé pas en tant qu'outil, mais il peut très bien être sous-jacent).

Il me semble que pour ce genre de discussion, il existe des arbitre de paix qui s'appellent des livres ; une petite référence pourrait régler le problème (rien sous la main de mon côté).

Concernant « ce qui est nécessaire pour expliquer covariance et contravariance », il me semble qu'il faut distinguer ce qui est nécessaire pour appréhender la notion « à bas niveau » (genre étudiant bac+1 ou 2 connaissant juste les matrices et les changements de de base), et ce qui est strictement nécessaire pour définir la notion mathématique. Les deux ont leur place, de préférence dans cet ordre : dans un premier temps, on appréhende la notion, dans un deuxième temps on est rigoureux, et le niveau d'abstraction permet une plus grande généralisation.

My two cents…

cdang | m'écrire 18 novembre 2011 à 09:42 (CET)

En tout cas merci cdang d'avoir répondu à l'appel. Donc, mauvaise nouvelle : il va falloir potasser. Dès que je peux, je m'y colle, mais le temps me manque en ce moment. A suivre donc.--Lylvic (d) 18 novembre 2011 à 13:06 (CET)

géométrie différentielle

Plusieurs points me paraissent insatisfaisants dans cette section:

• l'expression "coordonnées curvilignes" me parait impropre pour une variété.

Une variété est définie à l'aide de "cartes". Autrement dit on les représente à l'aide d'un système de coordonnées (difféomorphisme de R^m dans la variété, si la variété est de dimension m). Un tel système est dit de coordonnées curviligne en référence au fait qu'une variété n'est pas "plate" en général.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)

Ok, j'ignorais (désolé pour cette réponse tardive mais je m'étais éloigné de Wipédia pendant un temps.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 11:27 (CEST)

Il me parait préférable de parler de coordonnées généralisées, ou juste de coordonnées. L'expression "curviligne" est surtout utile dans un espace euclidien

bien sûr les coordonnées curvilignes sont également très utiles dans un espace vectoriel, exemple des polaires ou sphériques dans R^2 et R^3.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)

pour insister sur le fait qu'on n'utilise pas une représentation cartésienne. Au passage l'existence des coordonnées curvilignes (qui ne sont pas rares puisqu'on utilise souvent les coordonnées sphériques ou cylindriques par exemple), prouve que le concept de covariance/contravariance est utile aussi dans les espaces euclidiens,

bien sûr--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)

contrairement à ce qui est dit dans l'intro.

• de même l'expression "repère curviligne de la variété" me paraît impropre et prêtant à confusion.

de manière plus usuelle on parle des coordonnées curvilignes.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)

• il vaut mieux éviter d'utiliser la notation $x^{i}$, surtout quand on précise bien que ces coordonnées ne sont ni covariantes, ni contravariantes. Je suggère de revenir à $x(i)$.

on ne peut raisonnablement pas : l'espace de base (dans les cas simples qui nous préoccupent ici) est un espace vectoriel E (de vecteurs). C'est l'espace sur lequel on va construire toutes les notions de variance et covariance.

En dimension finie n il est usuel de représenter un vecteur sur une base, notée par exemple $({\vec {e}}_{i})_{i=1,...,n}$. Ainsi en dimension n il suffit alors de n valeurs pour connaître un vecteur, et par exemple un vecteur ${\vec {x}}$ est noté ${\vec {x}}=\sum _{i}x^{i}{\vec {e}}_{i}$ (avec les i en position suivant la convention d'Einstein).

Cette représentation ${\vec {x}}=\sum _{i}x^{i}{\vec {e}}_{i}$ est "bien jolie", mais la question qui se pose est : comment calculer les composantes x^i ?

On introduit alors l'espace des formes linéaires sur E, noté $E^{*}$ et appelé espace dual de E. De cet espace $E^{*}$ on extrait les n formes linéaires de projections notées par exemple $e^{i}$, associées à la base de E précédente, qui à un vecteur x donne la valeur = sa composante. Autrement dit on veut définir $e^{i}$ tel que : on veut que $e^{i}({\vec {x}})=x^{i}$. Est-ce possible ? Oui : une forme linéaire est parfaitement déterminée si elle est définie sur les vecteurs de base. Ici il est immédait de voir que e^i est définie sur les vecteurs de base à l'aide de $e^{i}({\vec {e}}_{j})=\delta _{j}^{i}$.

La convention de position des indices et exposant est toujours celle popularisée par Einstein, et permet essentiellement de différencier les vecteurs et les formes linéaires (qui appliquées aux vecteurs donnent des valeurs). On peut se passer de cette convention : mais se passer de cette convention rendrait les notions de variances et de covariances difficilement "compréhensibles" : le danger serait de mélanger la notion de vecteur et de forme linéaire. Autrement dit cette convention d'Einstein rend "lisible" les notions de variance et de covariance.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:46 (CET)

quand je parlais de x(i) je n'avais pas un vecteur en tête, mais bien un point de la variété. Cependant, compte tenu de ta remarque sur le fait qu'une variété est définie par un ensemble de cartes (je lis "recollement d'ouverts d'espaces vectoriels" sur l'article concerné, je suppose que c'est de ça qu'il s'agit), je ne sais pas si ma conception était pertinente. En fait je crois que je ferais bien d'admettre que je suis incompétent pour contribuer à cet article. désolé :) --Grondilu (d) 15 août 2012 à 11:27 (CEST)

• je reste sceptique sur le fait qu'on ne pourrait pas mentionner le principe de covariance générale, qui me paraît plus à propos ici que le principe d'équivalence.

--Grondilu (d) 22 novembre 2011 à 14:56 (CET)

Je reste dans une optique d'article de math pour la physique.

Dans Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions] §83, il semble bien que l'expression "coordonnées curvilignes" désigne autant des coordonnées courbes dans un espace plat que des coordonnées dans un espace courbe. D'ailleurs en RG, l'espace à beau être courbe, on trouve toujours un repère localement plat (seulement localement, mais cela suffit pour les équations) c'est à dire un référentiel localement inertiel. Il me semble qu'en math, on parle de champ de coordonnées (souvenir de lecture d'Henri Cartan) ou de coordonnées locales (cela est dû aux cartes de l'atlas de la variété), mais restant dans une optique physique le Landau et le Boudenot (mis en réf dans l'article) ne semblent pas trop s'attarder sur ce point. Mon choix du vocabulaire est sans doute perfectible.

Sur la notation de ces coordonnées, aucun livre (de physique) à ma disposition ne propose la votre, tous utilisent celle actuellement dans l'article.

Ce n'est pas "ma" notation. C'est juste la notation normale pour n'importe quelle fonction.

C'est effectivement une notation normale pour une fonction $i\rightarrow x(i)$ notée $x_{i}$. On ne retient pas cette notation dans le cadre de la covariance (cadre de l'article en discussion), voir plus haut pour la raison.--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 18:43 (CET)

Car à la base un système de coordonnées c'est une fonction de $\mathbb {R} ^{m}$ vers l'espace en question s'il est de dimension m.

--Grondilu (d) 20 décembre 2011 à 14:01 (CET)

Le principe de covariance générale, qui est en fait le principe de relativité, est un principe physique qui, s'il est mentionné, doit l'être à propos et avec un énoncé correct. En ce qui me concerne, je n'ai pas encore trouvé l'occasion de le présenter vraiment "à propos".

Cordialement.--Lylvic (d) 22 novembre 2011 à 16:41 (CET)

Bon, oui je suis resté trop strictement avec la perspective vectorielle et pas assez avec la diversité des coordonnées. Il y a donc des points à revoir.--Lylvic (d) 22 novembre 2011 à 21:01 (CET)

cet article est devenu un vrai foutoir

Cet article a beaucoup perdu en clarté, pour rester poli. Certes ma version avait ses défauts, mais là vraiment c'est devenu un vrai bric-à-brac illisible. Trop de maths. Y'a pas une règle quelque part qui stipule qu'un article ne doit pas être "académique" ??

--Grondilu (d) 20 décembre 2011 à 13:40 (CET)

PS. Un exemple parmi plein d'autres. Quand on introduit le produit scalaire, c'est vraiment pas la peine d'utiliser l'expression mathématique avec les ensembles d'arrivée et de départ:

${\begin{matrix}\ E\times E\mapsto \mathbb {R} \\~~~(\mathbf {u} ~;\mathbf {v} )\to \mathbf {u} .\mathbf {v} \end{matrix}}$

C'est lourd, ça s'intègre mal dans un paragraphe, et surtout c'est pas la peine de préciser puisqu'on a mit déjà un lien vers produit scalaire. Le lecteur qui voudrait une définition exacte peut juste suivre le lien. Pareil pour la sommation d'Einstein, et pour plein d'autres trucs dans cet article.

--Grondilu (d) 20 décembre 2011 à 13:51 (CET)

Oui, restons polis, c'est mieux. Tu veux dire qu'il y a des détails à enlever ? Pourquoi pas, c'est toujours délicat : les évidences pour les uns n'en sont pas pour d'autres. Pour l'instant, j'essaie d'écrire qlq chose sur les coordonnées curvilignes et ensuite la géométrie diff : je n'en suis pas satisfait et là aussi j'élaguerai sans doute (il y a des math dedans, dont des formules venant de la version précédente). Tu peux aussi demander des avis, voire un coup de main, au café du labo, pour ma part, je pense pouvoir encore faire progresser l'article, avec un peu de temps (qui me manque beaucoup en ce moment). Cordialement.--Lylvic (d) 20 décembre 2011 à 19:05 (CET)

D'ailleurs, tu devrais aller en parler au coin du labo car c'est pas bon qu'on reste en face-à-face avec toi qui te permets de parler de "foutoir" : c'est là ta politesse ? Heureusement que je reste zen ! Quoi qu'il en soit, si des contributeurs soutiennent ton avis, que c'est maintenant un "foutoir" ou qlq chose comme ça, j'arrête là et ne suis même plus cet article : aucun intérêt à soutenir un vrai conflit pour ça. Mais j'en ferai pas un caca nerveux pour autant (enfin j'espère !)Cordialement.--Lylvic (d) 20 décembre 2011 à 19:17 (CET)

Je suppose qu'il est toujours possible de réécrire l'exemple donné :

Étant donné $\ E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb {R}$ muni d'une base $\ \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\}$ et d'un produit scalaire ${\begin{matrix}\ E\times E\mapsto \mathbb {R} \\~~~(\mathbf {u} ~;\mathbf {v} )\to \mathbf {u} .\mathbf {v} \end{matrix}}$ supposé non dégénéré et symétrique.

deviendrait

Étant donné $\ E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb {R}$ muni d'une base $\ \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},...,\mathbf {e} _{n}\}$ et d'un produit scalaire $(\mathbf {u} ~;\mathbf {v} )$ supposé non dégénéré et symétrique, associant à deux vecteurs $\mathbf {u}$ et $\mathbf {v}$ de $\ E$ un scalaire $\mathbf {u} .\mathbf {v}$ dans $\mathbb {R}$.

Ça permettrait d'éviter un tableau math dans le texte. Mais dans ce contexte, il est important de préciser que les deux vecteurs sont des vecteurs de la base directe (et pas de la base duale ou des deux). Je n'aime pas non plus l'insertion de <math> à l'intérieur d'un paragraphe, mais tant que les formules seront traduites par des images, faut bien faire avec. Par exemple, au lieu de

Les coordonnées d'un vecteur $\mathbf {u}$ dans la base ont notées $\ u^{i}$ (coordonnées contravariantes du vecteur), et on écrit $\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}.\mathbf {e} _{i}$, ou $\mathbf {u} =u^{i}.\mathbf {e} _{i}$ avec la convention de sommation d'Einstein. Quand on utilise les coordonnées contravariantes d'un vecteur, on parle de vecteur contravariant.

j'aurais plutôt écrit

Les coordonnées d'un vecteur $\mathbf {u}$ dans la base ont notées $\ u^{i}$ (coordonnées contravariantes du vecteur), et on écrit

$\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}.\mathbf {e} _{i},$

ou $\mathbf {u} =u^{i}.\mathbf {e} _{i}$ avec la convention de sommation d'Einstein. Quand on utilise les coordonnées contravariantes d'un vecteur, on parle de vecteur contravariant.

mais c'est une question de goût personnel. Le principal étant quand même que l'article soit compréhensible, et il l'est.

Sinon, je serais pour une nouvelle première section expliquant les notations utilisées plutôt que de les disséminer dans l'intro et le texte (écriture des indices, sommation d'Einstein utilisée dans le reste de l'article : plus la peine de le préciser à chaque fois qu'elle apparaît).

Merci à vous deux pour le travail sur cet article et bonnes fêtes de fin d'année. Liebe Grüße, Perditax (d) 22 décembre 2011 à 10:04 (CET)

Mais j'ai quand même corriger une erreur... L'affirmation "bijection naturelle entre $E$ et $E^{*}$ est fausse : il n'en existe pas de naturelle. C'est d'ailleurs le problème générale de la compréhension de la covariance et de la contravariance, et plus généralement de ce qu'est le "caractère intrinsèque".--gpfleb, 04/01/2012

Mis à part certains de propos qui ont leur place en PdD, vos modifs sont les bienvenues.--Lylvic (d) 4 janvier 2012 à 15:08 (CET)

Ceci dit, et après mes récentes retouches, maintenant je vous laisse améliorer l'article.--Lylvic (d) 4 janvier 2012 à 15:33 (CET)

Même dans R ?

Encore une chose. Il me semble que le caractère non-intrinsèque de la bijection ne la rend pas dépendante de l'observateur, mais plutôt d'un choix de métrique (de la forme bilinéaire) pour un observateur donné : la bijection donnée par une forme bilinéaire dans une base évolue comme la forme par un changement de base (c'est-à-dire d'observateur, en RR et RG).--Lylvic (d) 4 janvier 2012 à 15:47 (CET)

Et si... même dans $\mathbf {R}$ (en une dimension d'espace).— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gpfleb (discuter) le 5 janvier 2012 à 11:33‎

Je relève le défi, avec plaisir : faire de la physique dans $\mathbf {R}$ ! Avec l'hypothèse initiale que mon interlocuteur aime bien les math de mon petit niveau et est assez patient pour me lire.

1. Donc, on considère l'espace vectoriel $\mathbf {R}$, muni d'une base ${\vec {e}}$, donc ${\vec {u}}\in \mathbb {R} \Leftrightarrow {\vec {u}}=u.{\vec {e}}$, avec une autre base bientôt utilisée ${\vec {f}}=k.{\vec {e}}$. On définit $\ e^{*}\in \mathbb {R} ^{*}$ par $\ e^{*}({\vec {e}})=1$, et un isomorphisme d'espace vectoriel $\psi :\mathbb {R} ^{*}\to \mathbb {R}$ définie par $\psi (e^{*})={\hat {e}}$,

effectivement il existe un isomorphisme, mais il dépend du choix de la base, c'est à dire de l'observateur. Un tel isomorphisme n'est pas intrinsèque. D'ailleurs il n'en existe aucun d'intrinsèque.

1. où ${\hat {e}}\in \mathbb {R}$ est un vecteur qui reste à choisir, mais qui peut être quelconque (non nul) pour l'instant. Par linéarité, on a $A=a.e^{*}\in \mathbb {R} ^{*}\Rightarrow {\hat {A}}=a.{\hat {e}}$
2. On utilise maintenant la base ${\vec {f}}=k.{\vec {e}}$. On a de même $\ f^{*}=k'.e^{*}\in \mathbb {R} ^{*}$ est défini par $\ f^{*}({\vec {f}})=1$, et on trouve $\ k'={1 \over k}$ , donc $f^{*}={1 \over k}e^{*}$, d'où ${\hat {f}}={1 \over k}{\hat {e}}$ (je devrais écrire ${\widehat {f^{*}}}$, mais on m'a compris).
3. On utilise maintenant la métrique pour préciser le vecteur ${\hat {e}}\in \mathbb {R}$. La métrique g est définie par $\ g({\vec {e}};{\vec {e}})=1$ et par le fait qu'elle est bilinéaire. On pose : ${\hat {e}}=c.{\vec {e}}\in \mathbb {R}$ est défini comme étant le vecteur tel que $\ g({\hat {e}},{\vec {e}})=1$, on obtient alors ${\hat {e}}={\vec {e}}$.
4. Donc : ${\hat {f}}={1 \over k}{\vec {e}}\neq {\vec {f}}=k.{\vec {e}}$. D'où le drâme : la bijection $\ \psi$ n'est pas indépendante du changement de base !
5. Et là, abracadabra ch'tembrouille avec la physique !
   On fait de la physique : les changements de base admis sont ceux qui correspondent à un changement de base vectoriel pour un observateur muni des mêmes moyens de mesure que dans la base initiale. Bref on doit aussi avoir $\ g({\vec {f}},{\vec {f}})=1$.

ça s'appelle un changement de base orthonormée, qui dans R donne ${\vec {f}}=\pm {\vec {e}}$. Mais en particulier en relativité les changements de bases ne sont pas orthonormées. D'ailleurs cela conduit au "principe de covariance".

1. On trouve donc $\ k^{2}=1$, d'où $\ k={1 \over k}$, et ainsi ${\hat {f}}={1 \over k}{\vec {e}}={\vec {f}}=k.{\vec {e}}$. Ça marche !
2. Dans $\mathbb {R} ^{3}$, les changements de base admis sont ceux qui utilisent le groupe orthogonal, et dans l'espace de Minkowski, les changements de base admis sont ceux qui laissent invariant l'intervalle d'espace-temps, ça donne le groupe de Lorentz (et là ${\hat {e}}_{i}=e^{i}$ pas toujours égal à $\ e_{i}$).

Des remarques ?--Lylvic (d) 5 janvier 2012 à 22:01 (CET)

Vous parler du principe de covariance ? Oui, et c'est bien grâce à lui qu'en physique la bijection est indépendante du référentiel de l'observateur. Il me semble que dans le cas de R, j'ai donné des explications qui conviennent.--Lylvic (d) 6 janvier 2012 à 16:40 (CET)

Pas vraiment : en math ça coince, et vous le dites au point 4., et pour vous en sortir vous introduisez un produit scalaire qui n'est pas intrisèque à l'espace. Et vous dites très bien "je t'embrouille", mais par contre pas avec "la physique" (qui reste attachée au caractère intrinsèque), mais avec les calculs induits par le produit scalaire. Et d'ailleurs le principe de covariance est indépendant de tout produit scalaire (heureusement).

Je crois avoir toujours parlé de physique. Le principe de covariance n'est pas indépendant d'un invariant qui est, mathématiquement parlant, une forme bilinéaire symétrique (produit scalaire ou métrique de Minkowski ou métrique de la RG) et qui est, physiquement parlant, une mesure invariante entre les points de l'espace (-temps). Les lois physiques ne sont pas "intrinsèques au sens mathématiques", elles sont indépendante des observateurs, notion de physique.--Lylvic (d) 6 janvier 2012 à 17:36 (CET)

Et non, un produit scalaire (ou plus généralement une métrique) n'est pas un invariant, que ce soit en mécanique, en physique. C'est un objet qui est introduit pour faire des calculs (c'est indispensable, tout comme le choix de bases est indispensable pour les calculs : mais ce n'est pas intrinsèque).

Et non, l'observateur est un mesureur des expériences, et la métrique est construite (trouvée, justifiée) pour être invariante par changement de référentiel d'observateurs dotés d'exactement les mêmes moyens de mesure (horloge, unité de mesure physique), en tenant compte d'hypothèses diverses sur l'espace (phy classique, RR ou RG). Ce n'est pas arbitrairement introduit, et d'ailleurs c'est ainsi que Minkowski a introduit son espace : avec LA métrique invariante par les transfo de Lorentz (et cette métrique étant donnée comme hypothèse, on retrouve les changements de référentiels qui la laisse invariante : les transfo de Lorentz). Ce sont des hypothèses physiques, pas toujours clairement utilisées en physique classique sans doute parce qu'équivalentes à d'autres conditions bien plus intuitives ou pratiques, mais clairement énoncées dans tous les cours de physique relativiste (RR ou RG). Décidément, il faut croire que la notion d'intrinsèque est différente en physique et en math : en physique cela signifie "indépendant de l'observateur", ou "invariant par changement de référentiel (d'un observateur)", avec ce qui a été dit sur ce qu'est un observateur.--Lylvic (d) 6 janvier 2012 à 20:55 (CET)

Je devrais peut-être dire : les changements de référentiels mathématiques admis en physique sont ceux qui respectent l'hypothèse que les observateurs dans les différents référentiels sont dotés des mêmes moyens (unités) de mesures (espace et temps), et aussi du respect d'hypothèses physiques diverses, et que cela est équivalent à l'invariance d'une métrique.--Lylvic (d) 7 janvier 2012 à 19:43 (CET)

Bon, il me semble que maintenant tout est dit : les utilisations de la notion "intrinsèque" sont trop distinctes et trop importantes, en math et en physique, pour prétendre faire un article de wp qui soit une synthèse lisible, donc pas de fusion des deux articles. A mon sens la discussion a été constructive car elle a permis de préciser ces différences fondamentales, y compris pour moi je dois bien l'avouer, et dans le présent article je vais essayer de compléter le paragraphe "La véritable dualité sous-jacente" pour les expliciter, alors qu'avant la discussion ça ne me paraissait pas nécessaire (et j'aurais sans doute raté des détails très importants). Reste à trouver une source qui s'attarde sur la distinction math/physique, je vais m'y atteler mais je ne garantis pas de la trouver tout de suite. Cordialement.--Lylvic (d) 7 janvier 2012 à 11:27 (CET)

En mécanique par exemple

Ce n'est pas forcément une différence math et physique. Intrinséque veux dire me semble-t-il "qui peut etre défini de manière unique sans choix arbitraire de la part du physicien/mathématicien". Donc au sein de la physique même il y a des théories où la métrique est intrinséque (les espace temps en général) et d'autres ou il n'y a pas de métrique intrinséque (l'espace d'état en mécanique par exemple).--Burakumin (d) 7 janvier 2012 à 23:50 (CET)

Tu parles de la mécanique du solide sans doute ? Justement, plus haut, plusieurs contributeurs se demandaient comment ça fonctionne dans ce domaine : avec ou sans métrique. Donc il n'y a pas de métrique qui rentre en jeu, même implicitement, même pas la norme euclidienne pour la longueur des arêtes ? Les coordonnées co restent des coordonnées dans le dual, ou alors il n'y a pas de changement de référentiel ?--Lylvic (d) 8 janvier 2012 à 10:13 (CET)

Tout système mécanique évolue dans un espace temps donc en un sens il y a bien de manière sous-jacente des idée de mesures de distance et de temps, mais en mécanique analytique (c'est à ça que je pensais) ce n'est pas l'espace-temps l'espace géométrique réellement important. C'est l'espace des configurations possibles du système (où configuration signifie un état figé dans le temps). C'est une variété dont où les vecteurs tangents représentent les vitesses possibles du systèmes. Il n'y a pas de métriques: je ne sais pas ce que c'est que la distance entre deux configurations pour des systèmes complexes et ce n'est pas nécessaire d'en avoir une. Dans le même ordre d'idée les états d'équilibre d'un système thermodynamique constituent aussi une variété sans métrique.--Burakumin (d) 9 janvier 2012 à 11:36 (CET)

Egalement dans l'espace-temps : en représentation classique, on utilise les "métriques de type euclidienne". En représentations relativistes, on continue à utiliser la métrique euclidienne (une vitesse en "mètre par seconde" avec le produit scalaire de R^4 euclidien) qui est "observable", et on lui ajoute la représentation en métrique minkowskienne qui est "inobservable" : c'est la représentation usuelle adoptée en mathématiques (ici par Minkowski) pour décrire les lois de conservation. C'est la représentation "hyperbolique" en t^2-x^2 (Minkowski) qui vient en complément de la représentation elliptique en t^2+x^2 (newtonienne). Et l'apport d'Einstein avec la relativité générale fut d'écrire les lois (faire la théorie) en langage "intrinsèque", même si au niveau de l'enseignement on adopte l'écriture à l'aide des bases et des descriptions des métriques dans des bases. N.B. : en présence d'un champ de gravitation non uniforme, on doit abondonner l'espace-temps de Minkowski, autrement dit on doit changer de métrique (pour retranscrire à l'aide d'une nouvelle métrique les lois de conservation).— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gpfleb (discuter) le 9 janvier 2012 à 16:31‎

J'avoue que je ne saisis pas trés bien ce que le produit scalaire de R^4 vient faire en relativité (ou en physique classique d'ailleurs) ni comment tu comptes l'utiliser.--Burakumin (d) 10 janvier 2012 à 10:03 (CET)

n'est-ce pas dans R^4 euclidien qu'on dessine les cônes du passé, futur, ailleurs ? Et qu'on calcule les vitesses ? (L'espace R^4 euclidien est l'espace "observable".)--Gpfleb (d) 13 janvier 2012 à 18:01 (CET)

C'est bien du produit scalaire de R^4 que je parlais ici. Et par ailleurs, je m'abstiens systématiquement de considérer R^n en physique en dehors de passages en coordonnées. Il faudra bien qu'un jour que les physiciens comprennent qu'il n'y a jamais R^n en physique. Donc non en relativité restreinte on a un espace affine muni d'une forme bilinéaire symétrique de signature (-+++) mais pas R^4. Par contre je peux m'amuser à projeter l'un sur l'autre (de manière parfaitement non canonique), mais je n'en ai absolument pas besoin pour définir quoique ce soit.--Burakumin (d) 20 janvier 2012 à 21:02 (CET)

En méca analytique, si je comprends bien, on utilise les coordonnées généralisées et du coup on perd de vue toute métrique dans cet espace de dim n où les coordonnées généralisées décrivent une variété. Je limite volontairement cet article à ce dont on peut parler : la relativité. Pour la méca analytique, à moins que l'un de vous ait des info précises maintenant, il faudra attendre qu'on ait des précision pour décider : ce thème peut-il ou non être traité comme la relativité, et donc s'il peut être inclus ou s'il doit avoir son article spécifique (idée qui me plait, je ne sais pas pourquoi). Qu'en pensez-vous ?--Lylvic (d) 9 janvier 2012 à 21:19 (CET)

J'ai l'impression que l'usage des termes covariant et contravariant prête plutôt à confusion car il peut s'appliquer au coordonnées mêmes, aux tenseurs eux-même, et pour le terme covariant seul, à certains opérateurs de dérivation ou bien encore aux "formulations des lois physiques". Mon opinion serait plutôt de se concentrer sur un usage particulier des termes plutôt que sur une théorie. Du coup composantes contravariantes et covariantes d'un même tenseur (dans un espace possédant donc nécessairement une métrique) me semble le meilleur candidat.--Burakumin (d) 10 janvier 2012 à 10:03 (CET)

Les composantes d'un tenseur sont ce qu'elles sont. On les baptise covariantes ou contravariantes suivant la position des indices. Maintenant on peut jouer avec les tenseurs en les faisant passer par la moulinette d'une métrique, et ainsi créer un nouvel objet dont les composantes ont des indices et exposants là où on veut. C'est utile lorsqu'on a besoin de "mesurer" (l'appareil de mesure étant une métrique) : cela donne une valeur dans une unité qu'on choisit (= choix de l'utilisateur), mais ce n'est plus intrinsèque.

Bon, en RR et RG, [et en physique classique] quand l'espace de configuration est l'espace R^3 (+temps), si j'ai bien compris le distingo "espace physique / esp de configuration", les hypothèses physiques (principe de relativité avec "observateur" inclus, obligatoirement ; principe d'équivalence pour la RG) imposent une métrique, et même sont équivalentes à l'invariance d'une métrique de l'espace. Et dans ce cas, voir démonstration incomplète ci-dessus mais aussi tous les cours de RR qui tous considèrent ça comme une évidence (ou alors j'ai raté qlq chose), les coordonnées covariantes sont intrinsèques à l'espace-temps de la théorie. J'ai essayé de compléter dans ce sens l'intro : [1].--Lylvic (d) 10 janvier 2012 à 18:12 (CET)

non, il n'y a pas de distingo à faire entre la physique et la géométrie différentielle pour la simple raison que la géométrie différentielle a été développé de manière commune par les physiciens et les matheux. Lire le paragraphe ci-dessous.

Il y a un distingo à faire entre les cas où l'espace de configuration est ou non l'espace usuel (R^3 + temps) : une métrique s'impose ou non.--Lylvic (d) 10 janvier 2012 à 18:26 (CET)

Non : dans les deux cas, c'est toujours une métrique euclidienne qui est utilisée pour la partie en espace. Et déjà là le choix d'une métrique dépend de l'utilisateur. Lire le paragraphe ci-dessous pour compléter le paragraphe 1.--gpfleb

Je crois que monsieur anonyme sous-estime les problèmes de différence de vocabulaire. En physique il existe une habitude (non systématique mais qui se rencontre) consistant à parler de composantes contravariantes et covariantes pour un même tenseur T lorsqu'il y a une métrique. Evidement on peut voir ça comme le fait de considérer les coordonnées de différents tenseurs obtenus par des contractions variées de T avec la métrique. Je suis moi-même - par ma inclinaison plutôt matheuse - peu féru de ce type de terminologie mais il faut savoir qu'elle existe. C'est un héritage historique dû au fait que le calcul tensoriel est né me semble-t-il du besoin des physiciens pour leur théories.--Burakumin (d) 10 janvier 2012 à 22:45 (CET)

Bis repetita :Lire le paragraphe ci-dessous pour compléter le paragraphe 1. Et une habitude n'est pas quelque chose d'intrinsèque.--gpfleb

En relativité

Je pense que pour la relativité, on peut clore la discussion : j'ai l'impression que nous sommes d'accord, bien qu'avec des approches différentes.--Lylvic (d) 9 janvier 2012 à 21:19 (CET)

Pas tout à fait. La relativité est une généralisation de la mécanique classique. Et déjà en mécanique classique les résultats de covariance et de contravariance s'énonce sans avoir besoin d'une métrique (ce sont des résultats d'algèbre linéaire et multilinéaire). Et dans le cadre champs de vecteurs, de formes et de tenseurs, ces notions de covariance et de contravariance se généralisent également sans métrique (géométrie différentielle). En particulier, si on utilise la représentation dans une base, les composantes qu'elles soient covariantes ou contravariante ne dépendent pas de l'existence d'une métrique. Ce sont juste les formules de changement de base qui les justifient. Le paragraphe "résumé introductif" de l'article n'est pas justifiée. Pour l'introduction en 1-D, c'est là qu'apparaissent les formes linéaires : ce sont elles qui "adimensionalisent" : la base duale du mètre est la forme linéaire \ell_m qui appliquée au mètre donne la valeur 1 et qui appliquée au pied donne la valeur 0.3048, et la base duale du pied est la forme linéaire \ell_p qui appliquée au pied donne 1 et qui appliquée au mètre donne 1/0.3048. Il n'est pas question de produit scalaire. Le paragraphe 2 est inconsistant avec ce qui vient donc c'être dit au paragraphe 1 (si l'unité est le pied, g(pieg,pied)=1, et si l'unité est le mètre g(mètre,mètre)=1 : lequel prendre ? Aucun, car on n'en a pas besoin. La suite non plus n'a pas plus besoin de produit scalaire.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Gpfleb (discuter) le 9 janvier 2012 à 22:22‎

Je crois avoir déjà répondu ici, et là, et en physique (relativiste en tout cas), les unités existent, même si le choix c=1 (vitesse de la lumière unitaire) est parfois pratique pour les formules.

Bon, cette discussion devient inconsistante. Le mieux est de limiter l'article à un domaine sûr pour le contenu que j'y ai mis jusqu'à présent (la relativité R ou G), qui à le renommer pour le spécifier dans le titre ! Pour les autres domaines, mes limites étant ce qu'elles sont, et les avis fournis pour dire que ça ne fonctionne pas de la même manière (espace de configuration ou autre) me semblant fondés, ce sera remis à plus tard ou à un autre article. Mais cet article spécifique sur la RR et RG se justifie car ces théories importantes en physique sont métriques et utilisent intensément la co et contravariance, d'une manière qui semble assez spécifique.

--Lylvic (d) 10 janvier 2012 à 22:38 (CET)

Effectivement, ce n'est pas un article sur la covariance. Et Einstein à formuler ses équations indépendamment d'une métrique ou d'un système de coordonnées, comme Newton l'avait fait avant lui en mécanique.--gpfleb

C'est vrai d'Einstein en 1905 pour la RR (mais avec un système de coordonnées quand même !), Minkowski est passé par là (a montré l'équivalence avec sa fameuse métrique), et la RG est métrique.--Lylvic (d) 11 janvier 2012 à 08:59 (CET) Ce n'est même pas vrai de l'article de 1905, il avait utilisé la métrique euclidienne (et montré qu'une longueur est relative à l'observateur), ensuite Minkowski a introduit LA métrique invariante par changement de référentiel d'observateur.--Lylvic (d) 14 janvier 2012 à 09:33 (CET)

Newton : ${\vec {f}}=m{\vec {\gamma }}$. Einstein : $G=8\pi T$. Où est la métrique ?

La métrique n'est pas plus lisible dans ces égalités que le prénom Albert n'est lisible dans le nom Einstein. Lisez des cours de RR et RG.--Lylvic (d) 11 janvier 2012 à 10:50 (CET)

Le tenseur G vérifie $\mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R$ où g est la métrique. Evidemment ce n'est pas parce que la métrique apparait que cela prouve qu'on ne peut forcément pas s'en débarasser mais je serais curieux de voir comment vous feriez pour la supprimer (en partant de l'a priori peut etre faux que vous conservez quand meme une connexion $\nabla$ sur l'espace-temps.)

Là vous avez raison : connexion riemannienne associée à la métrique riemannienne = théorème de Lévi-Civita. (Je n'ai pas beaucoup de temps actuellement, et l'article en discussion mélangeant beaucoup de notions... pourquoi ne pas y ajouter de la confusion ?).

Je suis par ailleurs tout à fait d'accord avec le problème de l'arbitraire du choix des unité de mesure et effectivement c'est un point que les cours de physique mettent rarement en avant. Je connais des moyens que j'estime satisfaisants pour s'en débarasser mais ces moyens ne font pas "magiquement" disparaitre la métrique.

Si ${\vec {e}}_{i}$ est un vecteur, comme tel il est intrinsèque. Par exemple le mètre étalon est modélisé par un vecteur,le pied romain par un vecteur, un homme par un vecteur ${\vec {h}}$ (en référence au premier paragraphe).. Mesurer un objet, c'est lui associer une valeur. Associer une valeur c'est définir une fonction $\ell$ qui à l'objet lui donne une valeur, soit pour notre objet homme la valeur $\ell ({\vec {h}})$. Dans notre cas, si on veut définir un taille "proportionnelle", on prend $\ell$ linéaire. Maintenant on peut choisir ${\vec {e}}_{i}$ comme un vecteur de base pour servir d'unité de mesure (c'est un choix personnel, choix non intrinsèque : pied ? mètre ?). Choisir ${\vec {e}}_{i}$ c'est choisir de représenter les autres vecteurs relativement à celui-ci (le résultat n'est pas intrinsèque). Le choix de l'unité ${\vec {e}}_{i}$ impose de prendre pour la fonction de mesure $\ell$ la forme linéaire (projection) $\ell =e^{i}$ telle que $e^{i}.{\vec {e}}_{i}=1$. Et alors $e^{i}.{\vec {h}}$ (une forme linéaire agit sur un vecteur) donne la hauteur de l'homme dans l'unité choisie (par le choix de ${\vec {e}}_{i}$). Ce sont des vecteurs qui sont mesurés à l'aide d'une forme linéaire. Et ${\vec {e}}_{i}$ et ${\vec {h}}$ sont des vecteurs, encore appelés vecteurs contravariants. Il n'y a pas besoin de produit scalaire pour fixer des unités.

Par contre on a besoin de produits scalaires pour mesurer des angles (et donc des rotations), où comme dans le cas de la relativité pour mesurer le rapprochement de géodésiques (donnant la courbure).

Pour en revenir plus simplement à l'espace temps galiléen, j'espère que nous serons d'accord sur un point: sans notion de type métrique la notion de rotation dans l'espace perd toute signification. Exit le groupe de Galilée (et là je n'ai pas en tête pas des transformations passives (= de coordonnées) mais bien des transformations actives). Donc votre idée c'est qu'on peut se passer de tout celà ?

Non bien sûr, cf. ci-dessus, mais cela dépend ce qu'on veut représenter. Ici on parle de l'article Covariant et contravariant, et j'ai supposé (peut-être à tord) qu'il s'agissait de parler de covariance et de contravariance (où là on n'a pas besoin de métrique). D'ailleurs il y a quelques mois il y avait un article cohérent sur le sujet, article qui a disparu.

J'attends impatiemment vos références (NB: le ton n'est pas sarcastique mais curieux, même si j'avoue ne pas etre convaincu pour le moment) --Burakumin (d) 11 janvier 2012 à 12:02 (CET)

Je suis tombé sur un article (que j'ai trouvé intéressant, mais c'est personnel) : en ce qui concerne la différence entre champs de vecteurs et champs de formes linéaires, l'un est intégrable (le champ de vecteurs pour donner le flot), alors que l'autre ne l'est pas en général (une forme diffférentielle peut-être représentée par son noyau qui (en un point) est de co-dimension 1, par exemple dans R^3 est représentée par un plan, et une famille de "plans" n'est pas nécessairement intégrable contrairement à une famille de "droites" : en très très raccourci...). Alain Chenciner : 5 cours sur la géométrie différentielle, école d'été "Maths et Cerveau" de l'Institut de Mathématiques de Jussieu, IHP juin 2005, http://www.imcce.fr/Equipes/ASD/person/chenciner/chen_preprint.php

Et le produit scalaire permet de représenter une forme linéaire par un vecteur (ce vecteur dépendant du choix du produit scalaire, et ce n'est qu'une représentation dont on n'a pas besoin pour parler de covariance et de contravariance). Cordialement.

<< Il n'y a pas besoin de produit scalaire pour fixer des unités.>>

Et oui mais vous semblez bien oublier les rotations. En se contentant de formes linéaires vous pouvez effectivement définir un "mesureur d'unité" mais il dépend alors de la direction de l'espace. Tel quel, vous n'avez en fait pas de notion métre mais (dans le contexte de l'espace-temps galiléen par exemple), une notion de métre dans tel direction. Et de métre dans tel autre. Sans la notion de rotation ces "différents" métres sont incomparables. Par contre une façon de procéder c'est de poser l'existence d'un espace vectoriel euclidien E de dim 3 (donc muni d'un produit scalaire) mais qui ne représente pas les déplacements. Par ailleurs on définit L un ev orienté de dimension 1: l'espace des déplacements/longueurs 1D. L'espace des déplacements 3D devient alors $L\otimes E$. On a supprimé l'arbitraire des unités mais on a conservé le produit scalaire pour comparer les grandeurs orientés dans les différentes directions possibles.--Burakumin (d) 20 janvier 2012 à 20:43 (CET)

J'avoue que j'ai un peu de mal à compendre ce que vous souhaitez dire. Pour les dimensions on n'a pas à comparer les différentes directions de l'espace, voir l'exemple du contrôleur aérien dans le paragraphe "dimensions" dans Vecteur contravariant, covariant et covecteur. Cet exemple donne des dimensions d'altitude en pieds et des dimensions horizontales en mille nautique. Si un second contrôleur aérien s'occupe des avions qui passent au dessus de l'aéroport avec un angle quelconque à déterminer, il va se fabriquer son produit scalaire euclidien classique avec son équerre $3^{2}+4^{2}=5^{2}$, va prendre par exemple comme unité un double décimètre pour le rayon du cercle. Puis il définit ${\vec {f}}_{1}$ un vecteur horizontal de longueur "un double décimètre", il définit ${\vec {f}}_{2}$ un vecteur horizontal à 90° du premier de longueur "un double décimètre", éventuellement il définit ${\vec {f}}_{3}$ un vecteur vertical de même longueur que les précédents, d'où sa base duale (f^1,f^2,f^3). Cette base duale donne l'unité choisie dans les directions choisies, ainsi que le produit scalaire euclidien $g=\sum _{i}f^{i}\otimes f^{i}$. L'unité "le double décimètre" est une unité tout aussi bonne que les autres pour définir les angles (adimensionnels). Et le produit scalaire g ne concerne pas le premier contrôleur. De toute manière, il a bien fallu déterminer les $f^{i}$, ce indépendamment de g, pour écrire g dans la base, c'est à dire se donner une dimension unité (ici le double décimètre). g est un tenseur $T_{2}^{0}$ qui a une existence indépendamment d'une écriture dans une base : après choix d'une base, et donc d'une base duale (et donc des dimensions), on peut l'exprimer dans cette base.--Gpfleb (d) 20 janvier 2012 à 23:34 (CET)

<<il définit ${\vec {f}}_{2}$ un vecteur horizontal à 90° du premier>>

Dés lors que vous mentionnez les notions mêmes "d'angle", de "cercle" ou d'un choix de base comme décrit vous parlez implicitement d'un produit scalaire.

Là on parle du produit scalaire que définit le second contrôleur (pour le premier contrôleur voir plus bas). Plus précisément du "produit scalaire euclidien usuel" dans R^n que définit le second contrôleur pour "modéliser les angles". Ce produit scalaire euclidien n'existe pas dans les espaces de fonctions comme L^2 par exemple, mais le produit scalaire de L^2 donne bien l'orthogonalité (de la base de Fourier par exemple). Et même dans R^n, l'orthogonalité euclidienne n'est pas toujours celle souhaité : exemple de l'orthogalité pour un produit scalaire elliptique, voir ci-dessous.

De façon équivalente dés lors que vous utilisez l'idée de faire tourner un objet dans l'espace (dans votre exemple un double décimètre) et que vous supposez que les lois physiques sont telles qu'au cours de cette transformation une propriété de mon objet est inchangé (en l'occurence que ses proportions sont inchangés, qu'il n'est pas déformé du seul fait d'avoir subit une rotation), c'est que vous supposez que l'espace physique des déplacements (= des différences de positions) est un peu plus qu'un simple espace vectoriel.

Oui, c'est pour cela qu'on ajoute l'outil produit scalaire dans un espace vectoriel, et qu'ici on ne veut pas qu'un "cercle" soit déformé en tournant. Mais un cercle "vu de profil" est une ellipse, et pour ne pas le déformer en tournant on utilise le produit scalaire adequat (elliptique avec ses directions conjuguées = orthogonales pour le produit scalaire elliptique, directions qui deviennent orthogonales euclidiennes pour le cercle "vu de dessus").

Il est un espace vectoriel dans lequel la notion d'angle fait sens et dans lequel les directions sont comparables.

oui, comme un produit scalaire elliptique par exemple. Mais ce sont les angles (comparer des directions) et non les longueurs dont il est question.

J'espère que nous sommes bien d'accord sur le fait que dans un ev quelconque (même en dim fini), la notion d'angle n'existe pas a priori (= elle ne se déduit pas des axiomes des ev).

Oui.

Ce que vous semblez ne pas voir (et ça me parait un peu surprenant - j'ai peut etre loupé qqch) c'est que c'est justement la notion de produit scalaire qui crée la notion d'angle, et qui rend les différentes directions comparables.

C'est ce que je m'efforce de faire comprendre : un produit scalaire prend en entrée 2 vecteurs (à comparer) pour donner une valeur.

Autrement dit le fait que la rotation dans l'espace de ma règle, d'une pomme ou d'une amibe ait un sens est équivalent à l'existence d'un produit scalaire. Parfaitement équivalent ? Non je suis d'accord : un produit scalaire parle aussi de norme.

Oui bien sûr.

Et nous voulons pour modéliser notre monde physique (je me concentre sur la physique newtownien) une notion d'angle absolu (ces deux routes sont orthogonales de manière absolu),

La notion d'angle "absolu", je ne sais pas ce que c'est. Par exemple l'orthogonalité n'a de sens que si on s'est au prélable donné un produit scalaire (euclien, elliptique, L^2...) et est définie par : deux vecteurs sont orthogonaux ssi leur produit scalaire est nul. Il faut donc s'être donné au préalable un produit scalaire. Il faut donc avoir modélisé l'espace.

nous voulons une comparaison des distances indépendantes de la direction (cette route orientée EO à la même longueur que celle-là orienté NS) mais nous ne voulons pas de norme absolue (telle route n'est de longueur 1 que par convention d'un choix d'unité). Une solution c'est de extraire la notion longueur de l'espace vectoriel possédant le produit scalaire.

1- Exemple d'"extraction" pour le premier contrôleur. Il se donne un outil supplémentaire = le produit scalaire g dans $T_{2}^{0}(E)$, pour lequel il veut retrouver ses longueurs (un pied et un NM). Donc on prend un objet de référence modélisé par e_i, on définit g tel que g(e_i,e_i)=1 (ici "pied" pour e_3 et "NM" pour e_1 et e_2), et on dispose du produit scalaire $g=\sum _{i}e^{i}\otimes e^{i}$ (outil adapté au premier contrôleur). On a ainsi défini les unités de longueur avec g suivant les axes qui nous intéressaient. Et l'orthogonalité qu'on a défini par g (dont n'a pas besoin le premier contrôleur) dit entre autre que la direction Nord est orthogonale à la direction Nord-Ouest (l'orthogonalité est une notion attachée au choix du produit scalaire). La seule chose dont a besoin le premier contrôleur c'est de la base duale. Pas du produit scalaire, même s'il peut s'en définir un.

2- Exemple d'"extraction" pour le second contrôleur. Lui souhaite l'orthogonalité "euclidienne usuelle" (il ne s'intéresse qu'aux angles). Il définit alors son produit scalaire h, par exemple avec des vecteurs "orthonormés sur la table ou on dessine les angles", soit $h=\sum _{i}f^{i}\otimes f^{i}$ avec f_i de longueur "un double décimètre". Il voit bien ses angles sur sa table. Et unité de longueur est donnée par h(e_i,e_i)=1 décimètre (mais il n'en a pas besoin) : lui c'est la notion d'angle qui l'intéresse. Lui a besoin d'un produit scalaire : indispensable pour les angles (mais il n'a pas besion d'unité de longueur). Contrairement au premier contrôleur qui n'a pas besoin d'angle.--Gpfleb (d) 21 janvier 2012 à 10:44 (CET)

Je rentrerais bien plus dans les détails sur ce point. Mais j'ai peur de ne pas avoir été compris sur ce que j'ai dit précédemment.--Burakumin (d) 21 janvier 2012 à 00:44 (CET)

Je préfère continuer le débat sur une page utilisateur. Suite ici.--Burakumin (d) 23 janvier 2012 à 18:04 (CET)

Problème de vocabulaire

Les efforts de l'auteur sont réellement louables. Cepdendant, à mon petit niveau de connaissances à la fois en mécanique, physique et géométrie différentielle, ce n'est ni un article de physique ni de géométrie différentielle. Le caractère intrinsèque mis en avant est contredit par l'exposé. D'où la discussion avec toutes ces questions sans réponse claire. Le problème tient au minimum de math qu'il faut introduire. Paul Germain (un des nos grands mécaniciens du 20ème siècle) s'y est essayé, en particulier en entroduisant les distributions (les fameuses formes linéaires appelées covariantes) agissant sur les déplacements (les vecteurs) pour donner la notion de travail d'une force lors d'un déplacement. Il reprenait les travaux sur la relativité générale permettant de préciser le sens des mots et l'interprétation des objets. Il serait donc intéressant de transformer cet article de telle sorte qu'il soit "intrinsèque" et qu'ainsi les réponses aux questions soient simples et non sujettes à controverse.— Le message qui précède, non signé, a été déposé par 193.55.95.158 (discuter) 4 janvier 2012 à 16:15‎

Renommer ?

Suite aux avis jusqu'ici exprimés, il semble que l'actuel contenu (imparfait) correspond plus à la situation en RR et RG (quoi qu'en dise gpfleb) qu'à une autre situation en physique. Dès lors, je propose de renommer en Covariant et contravariant en relativité ou Covariant et contravariant (relativité) : qu'en pensez-vous ? Autant dire tout de suite que si cette proposition soulève trop d'oppositions (pour vouloir consacrer l'article avec le titre actuel à un thème plus général que ce que je propose, par exemple), je créerai un article nommé comme je propose et reprendrais, à peu de choses près, l'actuel contenu (pour commencer). Cordialement.--Lylvic (d) 11 janvier 2012 à 11:30 (CET)

J'avoue que n'ayant pas mis cette page dans ma liste de suivi, je n'avais pas remarqué toute la discussion ci-dessus. Ça n'aurait rien changé parce que mes cours de relativité remontent à trop longtemps pour pouvoir y ajouter quelquechose . Mais pour moi le contenu de l'article ne se limite pas à la relativité : c'est exactement de cette façon que j'ai fait connaissance avec les variables covariantes et contravariantes en cristallographie, dans le cadre des changements de base, voir à ce sujet b:Cristallographie géométrique/Changement de base où j'étais bien contente de pouvoir rafraîchir mes souvenirs ici (d'ailleurs, si de gentils relecteurs pouvaient passer par là...). Si il doit y avoir renommage, il faudrait un titre plus général. Liebe Grüße, Perditax (d) 12 janvier 2012 à 10:03 (CET)

+1 Avec la mécanique des milieux continus, la cristallographie a aussi été pour moi le domaine dans lequel on a été introduit aux coordonnées covariantes si je me souviens bien. Bref se limiter à la relativité c'est très réducteur amha. --Grondilu (d) 13 janvier 2012 à 08:45 (CET)

Il ne serait pas inutile en effet de consacrer un article spécial. Comme ça on pourra reécrire l'article avec une approche plus générale et moins académique.--Grondilu (d) 13 janvier 2012 à 08:42 (CET)

Que je comprenne bien, Grondilu : vous voulez garder le contenu actuel (avec cette orientation à propos de la métrique, et bien sûr améliorer l'article) en y incluant la mécanique des milieux continus et la cristallographie ? Ou alors séparer la relativité de ces deux domaines, tout en les incluant dans un autre article plus général et "moins académique" ?--Lylvic (d) 13 janvier 2012 à 15:58 (CET)

J'ai essayé de répondre aux questions de Grondilu dans le 4ème paragraphe de cette discussion (Géométrie différentielle).--Gpfleb (d) 14 janvier 2012 à 10:49 (CET)

J'ai ajouté le paragraphe "dimensions" dans l'article Vecteur contravariant, covariant et covecteur.--Gpfleb (d) 15 janvier 2012 à 11:18 (CET)

le paragraphe 4 "tenseur métrique" de l'article est absurde

La définition donnée se mord la queue.

1- Définition : le tenseur métrique est un tenseur $g\in T_{2}^{0}(E)$ qui est symétrique et non dégénéré.

2- Si on dipose d'une base $({\vec {e}}_{i})$ on note $g_{ij}=g({\vec {e}}_{i},{\vec {e}}_{j})$, autrement dit on note $g_{ij}$ les composantes de g sur la base : $g=\sum _{ij}g_{ij}e^{i}\otimes e^{j}$.

3- Si on utilise la notation raccourcie ${\vec {v}}.{\vec {w}}=g({\vec {v}},{\vec {w}})$, alors on a donc $g_{ij}={\vec {e}}_{i}.{\vec {e}}_{j}$.

4- en aucune façon on peut définir $g_{ij}$ par $g_{ij}={\vec {e}}_{i}.{\vec {e}}_{j}$, à moins de disposer d'un autre produit scalaire par exemple noté h pour lequel on a posé $h({\vec {v}},{\vec {w}})={\vec {v}}.{\vec {w}}$. La notation du point dans ${\vec {v}}.{\vec {w}}$ est la notation racourcie d'un produit scalaire qu'il faut au préalable avoir défini.--Gpfleb (d) 17 janvier 2012 à 11:29 (CET)

Conformément à l'orientation "physique" de cet article, j'ai présenté le tenseur métrique comme il l'est dans des livres de physique. Dans le livre de Boudenot , en biblio, l'espace est supposé doté d'un produit scalaire (pas plus précisé que cela, sauf non-dégénéré et symétrique), qui permet d'introduire une notion jouant le rôle d'une sorte de distance dans cet espace physique, et permettant de définir un "tenseur métrique" fort utile. C'est idem dans celui d'Edgart Elbaz RG et gravitation, éditions ellipse, ou encore celui de Philippe Tourrenc relativité et gravitation pages 10 à 14 pour la RR. Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 2 : Théorie des champs [détail des éditions] fait une présentation similaire, mais commence par insister sur la notion d'intervalle d'espace-temps invariant avant le produit scalaire, pour ensuite introduire le "tenseur métrique".--Lylvic (d) 17 janvier 2012 à 18:13 (CET)

Il n'empèche que vous ne pouvez pas définir g en faisant référence à g, puisque g n'est pas défini. C'est absurde.

Ce n'est pas de moi. Il me semble que le "tenseur métrique" ainsi défini est une matrice de nombres, ou, dit autrement, c'est une écriture, une présentation des éléments du produit scalaire qui se révèle pratique. Les propriétés tensorielles de ce "tenseur métrique" sont, je crois, ensuite justifiées dans ces livres.--Lylvic (d) 17 janvier 2012 à 20:01 (CET)

Vous rendez-vous compte que c'est absurde ?--Gpfleb (d) 17 janvier 2012 à 20:15 (CET)

Commencer par un produit scalaire, puis définir une matrice de nombres qui n'est autre chose que la matrice des résultats de ce produit scalaire dans une certaine base de l'espace, lui donner le nom de "tenseur métrique", l'utiliser dans cette base puis ensuite justifier ses propriétés tensorielles : où est-ce absurde ?--Lylvic (d) 17 janvier 2012 à 20:22 (CET)

Si j'essaie de mettre en forme, en résumé, ce que vous souhaitez dire dans le paragraphe "tenseur métrique" :

1- Dans l'espace vectoriel E on se donne un produit scalaire g, notation usuelle pour un produit scalaire ou une métrique.

2- Précédemment on avait noté g(v,w)=v.w, mais cette notation v.w est réservée au cas du produit scalaire euclidien, et ici on s'intéresse à des produits scalaires plus généraux.

3- On suppose de plus disposer d'une base (e_i) dans E, et on note g(e_i,e_j)=g_{ij} (dans le cadre euclidien cela correspond à la notation g_{ij}=e_.e_j).

Est-ce bien cela que vous voulez comprendre ?--Gpfleb (d) 18 janvier 2012 à 10:22 (CET)

Vous voulez sans doute dire "que vous voulez faire comprendre". Je suis les notations de mes sources, et ce sont des notations habituelles, en physique du moins. A cette différence près, c'est ça.Lylvic (d) 18 janvier 2012 à 12:59 (CET)

Pour le coup je me range plutôt du coté de Gpfleb. Certains auteurs ont tendance à dissocier le produit scalaire du tenseur métrique en faisant de l'un les coordonnées de l'autres. D'autre désigne par produit scalaire un résultat d'opération et par tenseur métrique l'opérateur lui-même. Tout ça ne fait me semble-t-il qu'apporter de la confusion. Les deux différences les plus essentielles me semble-t-il sont plutôt que:

• un produit scalaire est nécessairement défini positif (et qu'il faut éviter l'emploi du terme dans les cas seulement non dégénérés)
• un tenseur métrique est avant tout un CHAMPS tensoriel (éventuellement un champs de produits scalaires dans le cas défini positif justement).

De fait dans le cas des espaces euclidiens (où on a un vrai produit scalaire et où toutes les fibres sont naturellement isomorphes) il n'y a aucune différence entre les deux notions.--Burakumin (d) 20 janvier 2012 à 20:30 (CET)

Un vecteur n'est ni contravariant, ni covariant

Il y a des tas de choses à dire sur cet article, et je n'ai pas beaucoup de temps à y consacrer en ce moment, mais il y a un truc au sujet duquel je voudrais d'ores et déjà ronchonner un peu.

Un vecteur n'est, à la base, ni contravariant ni covariant. Ce sont ses coordonnées qui le sont, et c'est juste un choix que fait l'utilisateur lors des calculs.

1- Point de départ : un espace vectoriel E initial dont les éléments sont appelés vecteurs. Par changement de base variant comme P, les composantes des vecteurs varient comme P^{-1}, voir le premier paragraphe "Introduction en une dimension" de de l'article en discussion. D'où le nom contravariant.

2- A partir de E on construit son dual E^* (l'ensemble des formes linéaires sur E). C'est également un espace vectoriel (espace vectoriel de fonctions), dont les éléments sont donc également des vecteurs. Maintenant si on prend une base B de E et qu'a partir de cette base on construit la base duale B^*, alors par changement de base si la base de B varie comme P alors la base duale B^* varie comme P^{-1}. Et par ce changement de base les composantes des vecteurs de E^* varient comme P : et les vecteurs de E^* sont dits covariants.

3- A partir ce E^* on construit son dual E^{**} (l'ensemble des formes linéaires sur E), interpréter simplement comme l'ensemble des dérivations des fonctions de E^* dans la direction des vecteurs de E. Par changement de base les composantes des vecteurs de E^{**} varient comme P^{-1} : le vecteurs de E^{**} sont dits contravariants.

4- Par isomorphisme canonique entre E et E^{**} les vecteurs de E sont également dits contravariants.

5- Résumé : tout ceci n'a de sens que lorsqu'on dispose d'un espace vectoriel initial E sur lequel on construit des duals.--Gguille (d) 15 août 2012 à 08:54 (CEST)

Ca ne dépend pas d'une quelconque propriété intrinsèque au vecteur, qui lui se contente de pouvoir être ajouté à d'autres vecteurs ou être multiplié par un scalaire. C'est tout ce qu'on lui demande en tant que vecteur.

Bon maintenant, effectivement souvent on parle de vecteur co(ntra)variant pour dire qu'on fait des calculs avec ce vecteur en utilisant ses coordonnées co(ntra)variantes. C'est l'usage courant et ça mérite à ce titre d'être mentionné effectivement, mais ça reste un abus de language et l'article devrait le signaler, par exemple dans une section dédiée. --Grondilu (d) 23 avril 2012 à 17:33 (CEST)

C'est ce qui est dit dans la phrase "Quand on utilise les coordonnées covariantes d'un vecteur, on parle de vecteur covariant", mais on peut toujours insister encore plus. Maintenant, il est vrai que l'article est en chantier, mais moi aussi j'ai très peu de temps et d'énergie à y consacrer en ce moment. Cordialement.--Lylvic (d) 23 avril 2012 à 19:53 (CEST)

Utiliser les coordonnées covariantes d'un vecteur n'a pas de sens en tant que tel. Un vecteur a des coordonnées dans une base, c'est tout.

Oui si tu t'en tiens à la conception des coordonnées en tant que coefficients dans l'expression du vecteur en tant que combinaison linéaire des vecteurs de la base. Mais c'est une conception restrictive du concept. J'avais essayé d'être plus générique dans une version antérieure de l'article, où je parlais de nombres identifiant un vecteur, ou un truc du genre. Considère par exemple les coordonnées généralisées sur une variété quelconque. Ce sont juste des nombres permettant d'identifier un point. Il n'y a aucune base car il n'y a même pas d'espace vectoriel!--Grondilu (d) 15 août 2012 à 10:47 (CEST)

Sur une variété il y a un système de coordonnées (par définition d'une variété), et une base associée. Et un vecteur en un point est un élément de l'espace vectoriel tangent en ce point, espace vectoriel qui par définition est engendré par les vecteurs de base du système.--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

C'est pour ça que j'avais proposé une définition très générale, basée sur l'éthymologie du terme (voir ma version archivée):

La première phrase du paragraphe "Généralisation en géométrie différentielle" de l'article archivé est fausse. On passe son temps avec les champs de vecteurs sur les variétés.--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

« En algèbre linéaire ou en géométrie différentielle, les adjectifs covariant et contravariant désignent, de façon générale, la manière avec laquelle les composantes d'une grandeur varient lors d'un changement de base, de repère ou de point d'origine. »

Non : uniquement lors d'un changement de base.--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

On peut identifier un vecteur en utilisant les nombres de son expression en tant que combinaison linéaire dans une base donnée,

Une base n'est-elle pas un ensemble de vecteurs?--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

mais aussi en utilisant les nombres obtenus lorsqu'on calcule les produits scalaires dans cette base.

Il faut donc un produit scalaire puis une base pour lui donner des valeurs ?--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

Et il y a très certainement pleins d'autres méthodes que j'ignore et auxquelles ma définition générale laisse une place au cas où.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 10:22 (CEST)

Maintenant si c'est "vraiment un vecteur" au sens "vecteur de l'espace initial E" (voir juste au dessus), alors ses coordonnées sont contravariantes. Si c'est un vecteur de l'espace E^* (donc une forme linéaire sur E), alors ses coordonnées sont covariantes.

Ça c'est le point de vue du mathématicien. Pour le physicien, que le vecteur soit dans E ou dans E^*, il s'agit du même vecteur, parce qu'il a la même réalité physique.

Certainement pas : l'espace E^* est l'espace des instruments de mesure : l'espace des fonctions qui donne des valeurs aux vecteurs.--Gguille (d) 15 août 2012 à 11:38 (CEST)

J'ai bien compris. Je comprends parfaitement la différence entre les deux car c'est l'un des trucs dont je me souviens le mieux de mes cours de premier cycle. E^* est l'espace des formes linéaires sur E, ok. Ça ne m'empêche pas de penser que, par exemple en méca Q, $\langle \phi |$ et $|\phi \rangle$ représentent la même chose exprimée différemment.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 12:05 (CEST)

Non : le bra désigne la forme différentielle, et le ket le vecteur. C'est toujours la même notion avec les notations des uns et des autres. Et si c'était la même chose les vecteurs se transformeraient tous de la même manière, sinon ce n'est plus intrinsèque. Or c'est faux : transformations co ou contra. Et d'ailleurs la méca Q utilise ces notations justement pour différentier les formes des vecteurs, sinon ces notations n'auraient aucun intérêt.--Gguille (d) 15 août 2012 à 12:57 (CEST)

Forme linéaire, pas différentielles. Cette polémique n'a pas d'intérêt de toute façon, pour moi c'est plus un attitude métaphysique qu'autre chose. Je propose qu'on laisse tomber--Grondilu (d) 15 août 2012 à 13:33 (CEST)

Il est juste exprimé différemment.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 10:39 (CEST)

Et si on utilise un produit scalaire pour représenter une forme linéaire (vecteur covariant) par un vecteur, alors ce vecteur est un "vrai vecteur" au sens : c'est un vecteur de E (vecteur contravariant). En clair : un vecteur covariant est représenté par un vecteur contravariant (à partir du moment où on introduit un produit scalaire pour représenter une forme linéaire). D'où ma proposition de suppression de l'article ci-dessous.--Gguille (d) 15 août 2012 à 08:54 (CEST)

Suppression ?

La covariance et la contravariance ne devraient pas être introduits en se servant d'un produit scalaire : si on le fait, tous les vecteurs sont contravariants (voir ci-dessus). La suppression avait visiblement déjà été demandée en 2009, puis en début 2012. Je repropose cette suppression.--Gguille (d) 15 août 2012 à 08:54 (CEST)

Suppression de l'article entier?? C'est pas un peu extrême ? Les deux termes "covariant" et "contravariant" existent quand même, ils méritent d'être définis dans Wikipédia.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 10:04 (CEST)

Sinon je suis d'accord sur un point: la covariance et la contravariance ne devraient pas être introduits en se servant d'un produit scalaire. On n'a pas besoin du produit scalaire pour définir ces concepts.--Grondilu (d) 15 août 2012 à 10:27 (CEST)

Remarque

Bonjour Grondilu. Perso je laisse tomber ce genre d'article car je considère maintenant que sur ces pb techniques un livre sera bien plus instructif pour un lecteur. Toutefois je tiens à vous signaler qu'actuellement, dans l'article, le lien entre produit scalaire et bases, duale ou non, est utilisé sans être explicité. D'autant que le produit contracté ne dépend pas du choix de la base utilisée que si la base duale est déterminée de manière unique à l'aide du produit scalaire (théorème de représentation de Riesz), sinon le deux bases sont découplées : une pour chaque espace, sans obligation de lien. C'est du moins ce que je comprends de tout cela. Bonne continuation. Cordialement. Lylvic (discuter) 9 octobre 2014 à 09:54 (CEST)

Emploi de la convention de sommation d'Einstein

Les aller-retours entre convention d'Einstein et sommation explicite rendent la lecture de l'article assez pénible je trouve. Il serait peut-être utile:

• soit de n'employer qu'une seule convention
• soit d'expliciter à chaque fois que la notation d'Einstein est utilisée
• soit de trouver une notation spécifique: mettre l'indice de sommation en gras par exemple pour la différencier de la désignation d'un terme de la somme.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par Nicolas.grislain (discuter) le 10 juillet 2019 à 09:18‎

 Nicolas.grislain : Wikipédia:N'hésitez pas !. Cordialement. Lylvic (discuter) 10 juillet 2019 à 12:35 (CEST)

 Nicolas.grislain : Sauf erreur, la sommation explicite n'est utilisée ici que lorsque le caractère covariant ou contravariant des indices utilisés n'est pas encore connu : par exemple dans la définition ou dans une démonstration.--Grondilu (discuter) 15 janvier 2020 à 14:25 (CET)

pas cohérent

cet article n'a pas de cohérence avec les mathématiques enseignées au lycée. La longueur de la discussion en atteste. 2A01:E0A:BEE:B500:C028:C698:65B2:87E (discuter) 3 décembre 2023 à 09:14 (CET)