Anneau principal

En mathématiques, un anneau principal correspond à un cas particulier d'anneau. Une telle structure est composée d'un ensemble et de deux lois, une addition et une multiplication, mais les éléments non nuls ne sont pas toujours inversibles, comme par exemple les entiers relatifs.

Un outil important de la théorie est l'idéal, un sous-groupe de l'anneau stable par multiplication de n'importe quel élément de l'anneau. Un anneau principal correspond à une structure plutôt simple, il existe un élément neutre pour la multiplication, il n'existe pas de diviseur de zéro, c'est à dire d'éléments non nuls a et b tel que a.b soit nul et les idéaux sont des ensembles de multiples.

Dans une telle structure, l'essentiel des théorèmes utilisés en arithmétique élémentaire s'appliquent encore.

Définitions

Un anneau A est dit unitaire s'il admet un élément neutre pour la multiplication, il est dit intègre si pour tout élément a et b de A tel que a.b est égal à zéro alors soit a, soit b est nul. Ainsi si c est un élément de A tel que a.b = a.c alors b est égal à c, la simplification utilisée pour les calculs sur les nombres entiers, rationnels, réels ou complexe est toujours valable. Enfin l'anneau A est dit commutatif si, pour tout élément a et b de A, a.b = b.a. Dans toute la suite de l'article A désigne un anneau commutatif unitaire intègre.

Un idéal J est un sous-groupe de A stable par multiplication de n'importe quel élément de a de A, ainsi si j est élément de J, a.j l'est aussi, ou encore a.J est inclus dans J. L'idéal J est dit principal s'il est composé des multiples d'un élément de l'anneau.

• Un idéal J de l'anneau A est dit principal si et seulement si il existe un élément a de A tel que J est égal à a.A.

• Un anneau commutatif unitaire et intègre est dit principal si et seulement si tous ses idéaux sont principaux.

Exemples et contre exemples

Corps

Les corps sont des anneaux principaux. En effet, les deux seuls idéaux sont les idéaux triviaux engendrés par les unités de l'addition, qui correspond à l'idéal réduit à un élément, ainsi que celle de la multiplication, qui correspond à l'anneau entier. En revanche, l'étude d'une telle structure n'utilise pas cette propriété, car les seuls idéaux sont triviaux.

Pour les anneaux finis, les seuls anneaux intègres sont les corps. En effet, si l'anneau A est fini et si a est un élément non nul de A, alors l'application de A dans A qui à x associe a.x est injective. Une application injective d'un ensemble de cardinal fini dans lui-même est surjective, il existe donc un élément b tel que a.b = 1. Comme l'anneau est commutatif, a.b = b.a = 1, ce qui montre que a est inversible et donc que A est un corps.

Anneau euclidien

Un anneau euclidien est un anneau disposant d'une division euclidienne. Un tel anneau est toujours principal (cf l'article détaillé). Des exemples de cette nature sont donnés par Z, l'ensemble des entiers relatifs ou encore l'ensemble des polynômes à coefficients dans un corps, par exemple celui des rationnels, réels ou complexes.

Tous les anneaux euclidiens ne sont pas principaux :

• Soit ω le nombre complexe défini par ω = 1/2 (1 + i√19), où i désigne l'unité imaginaire, le plus petit anneau unitaire Z[ω] du corps des nombres complexes contenant ω est principal mais n'est pas euclidien.

Démonstration

• L'anneau Z[ω] est principal :

L'analyse du groupe des classes d'idéaux montre que s'il existe des idéaux non principaux de Z[ω], alors il en existe un de norme inférieure ou égal à 2.√19 / π (cf l'article Entier quadratique). La norme d'un idéal J est égal au cardinal de l'anneau Z[ω] / J. Comme 2.√19 / π est inférieur à 2,8, il suffit de montrer qu'il n'existe aucun idéal J tel que Z[ω] / J soit isomorphe à Z/2Z.

Soit J un idéal de norme deux, le morphisme canonique de Z[ω] dans Z[ω] / J induit un morphisme φ de Z[ω] dans Z/2Z. Tout idéal de norme égale à deux est le noyau d'un tel morphisme. Déterminons l'image de ω par φ. On remarque que ω² - ω + 5 est égal à 0. On en déduit :

$\varphi (\omega ^{2}-\omega +5)=0\quad {\text{et}}\quad \varphi (\omega )^{2}-\varphi (\omega )+5\equiv 0\mod 2\Leftrightarrow \varphi (\omega )^{2}+\varphi (\omega )+1\equiv 0\mod 2$

Or dans Z/2Z le polynôme X² + X + 1 est irréductible, c'est à dire qu'il n'admet pas de racine. Il n'existe donc pas d'idéal de Z[ω] de norme égale à deux. S'il existait dans Z[ω] un idéal non principal, alors il existerait un idéal non principal de norme égal à deux. Or, il n'existe aucun idéal de norme égal à deux, ce qui montre que l'anneau Z[ω] est principal.

• Le groupe des unités de Z[ω] contient deux éléments 1 et -1 :

Le groupe des unités d'un anneau unitaire désigne l'ensemble des éléments inversibles, encore appelés unités, de l'anneau. Cet ensemble forme un groupe pour la multiplication. Soit z un élément non nul de Z[ω], il existe deux entiers relatifs a et b tel que z = a + b.ω (cf l'article Entier quadratique). Le carré du module de z est un entier strictement positif égal à a² + a.b + 5b². Si z^-1 est élément de Z[ω] alors son module est un entier strictement positif et comme le produit des modules de z et z^-1 est égal à 1 et que le carré du module de z^-1 est égal à l'inverse du carré du module de z, le module de z est nécessairement égal à un. La valeur de b est donc égal à zéro et celle de a à un en valeur absolue, ce qui montre la proposition.

• Il n'existe pas d'idéal non nul J tel que Z[ω] / J contienne strictement moins que quatre éléments :

On a déjà démontré que si J est un idéal non nul de Z[ω], Z[ω] / J n'est pas de cardinal deux, il suffit donc de démontrer que le quotient ne peut contenir trois éléments. Le raisonnement précédent montre qu'un tel quotient n'existe que si le polynôme P[X] suivant dans Z / 3Z admet une racine :

$P[X]=X^{2}-X+5\mod 3\Leftrightarrow P[X]=X^{2}+2X+2=(X+1)^{2}+1\mod 3\;$

Dans Z / 3Z les seuls carrés sont zéro et un, le polynôme P[X] est irréductible dans Z / 3Z et il n'existe pas de morphisme autre que trivial de Z[ω] dans Z / 3Z. Ceci montre qu'il n'existe pas d'idéal J tel que Z[ω] / J contienne exactement trois éléments et termine la démonstration.

• L'anneau Z[ω] n'est pas euclidien :

Raisonnons par l'absurde, soit δ un stathme euclidien sur Z[ω] - {0}. Une propriété de δ est d'être égal à un pour un élément z de Z[ω] si et seulement si z est inversible. Le stathme ne peut être constant égal à un sur Z[ω] car si tel était le cas, Z[ω] serait un corps (tout élément non nul est inversible), or deux n'est pas inversible dans Z[ω].

Soit z un élément de Z[ω] tel que δ(z) soit la plus petite valeur strictement supérieure à un et atteinte par le stathme. Le reste de la division euclidienne d'un élément quelconque de Z[ω] par z est, soit nulle, soit un élément du groupe des unités. Le quotient Z[ω] / zZ[ω] contient donc au plus trois éléments : la classe de zéro ou une classe d'un élément du groupe des unités. Comme le seul idéal J de Z[ω] tel que Z[ω] / J contienne strictement moins de quatre éléments est l'idéal trivial {0}, z est donc inversible. La contradiction réside dans le fait que z est un élément inversible tel que δ(z) est strictement supérieur à un. Cette impossibilité termine la démonstration.

 

Anneau d'entiers

Un corps de nombres K est un sous-corps de C, l'ensemble des complexes de dimension finie en tant qu'espace vectoriel sur Q l'ensemble des rationnels. Sa fermeture intégrale est l'ensemble des éléments de K admettant un polynôme minimal à coefficients dans Z, l'anneau des entiers relatifs. Un tel ensemble forme un anneau.

Si le corps est extension quadratique, c'est à dire si tout élément s'exprime comme la combinaison linéaire sur Q de 1 et d'une racine carré d'un nombre rationnel sans facteur carré, l'anneau associé peut être principal. C'est le cas par exemple pour les entiers de Gauss, d'Eisenstein ou de Dirichlet.

Les cas d'anneaux principaux de cette nature sont relativement rares. Si l'anneau n'est pas inclus dans R, l'ensemble des réels, ils sont tous connus. Ce résultat fait l'objet d'un théorème dit de Stark-Heegner. Si l'anneau est inclus dans R, cette question est encore ouverte (c'est à dire que la réponse n'est pas connue).

Exemple issu de l'analyse

Les anneaux principaux ne se trouvent pas uniquement en algèbre, l'exemple suivant est utilisé en analyse complexe :

• Soit X un espace compact de C (l'ensemble des complexes) et A l'anneau des fonctions holomorphes de X dans C, (c'est à dire qui sont holomorphes sur un voisinage ouvert de X), l'anneau A est principal.

Démonstration

Soit J un idéal de A, et (f_i) pour i élément de I une famille génératrice de l'idéal J, composée de fonctions non nulles. La fonction f_i est holomorphe et n'admet qu'un nombre fini de racines à un ordre de multiplicité finie. Il existe donc un polynôme p_i tel que le quotient f_i / p_i soit une fonction de A qui ne s'annule pas sur X. Le quotient est une unité, ce qui montre que la famille de polynômes (p_i) est génératrice de l'idéal J.

Soit M l'idéal de l'ensemble des polynômes à coefficients dans C engendré par la famille (p_i). Cet idéal est principal car l'anneau des polynômes à coefficients dans C l'est. Soit m un polynôme engendrant M. Par définition m est élément de M et donc élément de J. Par construction m engendre p_i et donc f_i. L'idéal engendré par m contient donc J et est contenu dans J, ce qui démontre que J est principal.

 

Contre exemples

Les anneaux commutatifs unitaires intègres non principaux sont nombreux.

Une première famille d'exemple est fournie par les anneaux de polynômes. Si A n'est pas un corps A[X] n'est pas un anneau principal (cf l'article Anneau euclidien). En effet, si a est un élément non inversible de A, l'idéal des polynômes ayant pour constante un multiple de a n'est pas principal. L'anneau des polynômes A[X, Y] n'est jamais principal, même si A est un corps. Il suffit pour s'en rendre compte de considérer le plus petit idéal contenant les polynômes X et Y, un tel idéal n'est pas principal.

Les entiers algébriques fournissent des anneaux non principaux. L'anneau Z[i√5] est un contre exemple étudié dans l'article Entier quadratique.

Propriétés

Arithmétique

L'arithmétique usuelle, par exemple sur l'anneau des entiers relatifs se fonde sur quelques théorèmes clé. A l'exception de la division euclidienne qui n'est pas définie dans le cas général d'un anneau principal, ces grands théorèmes s'appliquent encore dans ce contexte. Ces théorème permettent de généraliser les raisonnements arithmétiques à tous les anneaux principaux.

L'identité de Bézout est encore vérifiée :

• Si a et b sont deux éléments de A n'ayant pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités de l'anneau, alors il existe u et v éléments du groupe tel que a.u + b.v = 1.

Cette propriété résulte du fait que l'idéal engendré par a et b est principal, et tout générateur de cet idéal est diviseur commun à a et b, donc est inversible et engendre l'anneau tout entier. En particulier, l'élément 1 appartient à cet idéal, ce qui entraîne la relation.

Une fois établies les définitions de pgcd et ppcm, l'identité de Bézout prend une forme un peu différente : l'équation a.x + b.y = c admet des solutions si et seulement si c est un multiple du pgcd de a et de b.

Le lemme d'Euclide aussi est vérifié :

• Soit a, b et c trois éléments de A tel que a divise b.c et tel qu'il n'existe pas d'autres diviseurs commun à a et à b que les éléments du groupe des unités. Alors a est un diviseur de c.

En effet, l'identité de Bézout assure l'existence de deux éléments de A, u et v tel que a.u + b.v = 1. La multiplication par c des deux membres de cette égalité permet d'écrire (i) a.u.c + b.c.v = c. De plus, a est un diviseur de b.c, ce qui se traduit par l'existence d'un élément d de A tel que: (ii) b.c = a.d. Les égalités (i) et (ii) démontre l'égalité suivante: a.( u.c + v.d) = c. Ceci montre que a divise c et le lemme d'Euclide est bien vérifié.

Enfin, le théorème fondamental de l'arithmétique est vérifié :

• Un anneau principal est anneau factoriel, c'est à dire que tout élément de l'anneau de décompose de manière unique en un produit de facteurs irréductibles et d'une unité (à un facteur inversible près).

Une unité désigne un élément qui possède un inverse dans l'anneau. Un facteur irréductible de l'anneau est un élément p qui, dans chaque décomposition en un produit de deux facteurs contient au moins une unité. Ainsi dans Z, -2 est irréductible car toute décomposition en un produit de deux facteurs contient nécessairement 1 ou -1 comme facteur. La décomposition est unique à un facteur inversible près, on remarque en effet qu'il existe plusieurs décompositions, par exemple de 6, 6 = 2 x 3 = (-2) x (-3). En revanche, ces deux décompositions sont les mêmes, à un facteur inversible près.

Idéal

• Un élément a est premier si et seulement si A/a.A est un corps.

Soit b un élément dont la classe dans l’anneau quotient est non nulle, alors b n'est pas élément de a.A. Comme a est premier, il n'existe pas d'autres diviseurs communs que les éléments du groupe des unités. L'identité de Bézout, par passage aux classes montre que b est inversible. L'idéal a.A est dit maximal, c'est à dire que les seuls idéaux contenant a.A sont lui-même et A tout entier.

Réciproquement si A/a.A est un corps, soit b un diviseur de a qui ne soit pas un élément inversible, alors il existe un élément c de l'anneau tel que b.c = a et la classe de b est un diviseur de zéro. Le seul diviseur de zéro d'un corps est zéro. Ceci montre que b est dans l'idéal a.A et b est un multiple de a. L'élément b est à la fois un diviseur et un multiple de a, ceci montre que c est inversible. Ainsi, tout diviseur de a non inversible est égal à a, à un facteur inversible près, ce qui démontre que a est premier.

On remarque que si a est premier l'idéal est aussi premier, on en déduit la proposition :

• Les idéaux premiers de A sont les idéaux maximaux.

Propriétés noethériennes

Un anneau principal est nothérien, c'est à dire qu'il vérifie la propriété suivante :

• Toute suite (J_n) d'idéaux croissante est stable à partir d'un certain rang.

En effet, L'union J de tous les idéaux de la suite (J_n) est un idéal car la suite est emboitée. Soit a un générateur de J, il existe une valeur μ tel que J_μ contient a. On en déduit les inclusions suivantes :

$\forall n\geq \mu \quad {\mathfrak {J}}\subset {\mathfrak {J}}_{\mu }\subset {\mathfrak {J}}_{n}\subset {\mathfrak {J}}$

Ces inclusions montre qu'à partir du rang μ, la suite est stationnaire égal à J_μ.

La dernière propriété possède quelques corollaires, le suivant est vrai pour tous les anneaux, mais impose l'usage de axiome du choix dans le cas général :

• Tout idéal est inclus dans un idéal maximal.

En effet, si un idéal n'est pas inclus dans un idéal maximal, il est possible de construire une suite croissante qui n'est jamais stationnaire et l'anneau n'est pas principal.

• Un élément de A est inversible si et seulement si il n'est inclus dans aucun idéal maximal.

Soit u un élément inversible, l'unique idéal contenant u contient l'anneau A tout entier, u n'est en conséquence pas inclus dans un idéal maximal.

Réciproquement soit a un élément de A non inversible, la proposition précédente montre que a.A est inclus dans un idéal maximal, ce qui permet de conclure.

Généralisations

Les anneaux principaux disposent de tous les théorèmes qui fondent l'arithmétique sur l'ensemble des entiers relatifs. En revanche, il existe de nombreux anneaux commutatifs unitaires et intègres qui ne sont pas principaux.

Géométrie algébrique

La géométrie algébrique étudie principalement les variétés algébriques, c'est à dire les hypersurfaces d'un espace vectoriel de dimension n sur un corps K définies comme les racines d'un idéal de l'anneau des polynômes à n indéterminées. Ainsi la sphère de R³ est définie comme les racines des polynômes à coefficients réels multiple de X² + Y² + Z² - 1. Or l'anneau des polynômes à plusieurs variables n'est pas un idéal principal.

Il est possible d'affaiblir les propriétés définissant le type d'anneau tout en gardant une arithmétique analogue à celle des entiers relatifs. Un tel anneau est dit factoriel. Dans un anneau factoriel, tout éléments s'écrit de manière unique comme le produit d'un élément inversible et d'un produit d'éléments irréductibles (à un facteur du groupe des unités près). Les trois théorèmes fondamentaux : le lemme d'Euclide, l'identité de Bézout et le théorème fondamental de l'arithmétique s'applique toujours sur un anneau factoriel.

Théorie algébrique des nombres

La solution utilisée pour les anneaux de polynômes n'est pas toujours pertinente. Les anneaux d'entiers algébriques, par exemple, ne sont pas toujours factoriels. Une autre approche permet néanmoins de retrouver une arithmétique analogue.

Les anneaux d'entiers algébriques sur un corps de nombres c'est à dire des extensions finies des nombres rationnels possèdent des idéaux non principaux. En revanche, il suffit d'une famille finie d'éléments pour générer tout idéal. Plus précisément, tout idéal d'un anneau d'entiers algébriques sur un corps de nombre A est un sous-A module disposant d'une base de cardinal égal à la dimension du corps de nombres, considéré comme un Q espace vectoriel. Un anneau A qui ne possède que des idéaux de type fini (c'est à dire engendré par une famille finie d'éléments, si l'idéal est considéré comme un A module) est dit noethérien. La théorie des anneaux noethériens dépasse celle de l'algèbre commutative, contexte des anneaux principaux.

Les bons anneaux d'entiers algébriques, c'est à dire ceux qui sont intégralement clôt, disposent de propriétés supplémentaires. Ils vérifient les axiomes caractérisant la structure dite de Dedekind. Ces propriétés permettent d'établir une arithmétique encore analogue à celle des entiers relatifs. Les nombres premiers sont remplacés par les idéaux premiers et tout idéal admet une unique décomposition en idéaux premiers, résultat qui remplace le théorème fondamental de l'arithmétique perdu pour cette configuration.

Notes et références

Liens externes

• (fr) Anneau principal par les mathématiques.net
• (en) Algèbre commutative par A. Chambert-Loir de l'Université de Rennes I
• (fr) Anneaux principaux par D. J. Mercier IUFM de Guadeloupe 2003
• (fr) Quelques anneaux particuliers Site Bibmath.net 2000 - 2007

Références

• (fr) Nicolas Bourbaki Eléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitre 8: Dimension. Chapitre 9: Anneaux locaux noethériens complets Hermann 1983 (ISBN 2225787166)
• (fr) Daniel Perrin, Géométrie algébrique. Une introduction [détail des éditions]
• (fr) Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique, 1970 [détail des éditions]