Idéal principal

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En mathématiques, plus particulièrement dans la théorie des anneaux, un idéal principal est un idéal engendré par un unique élément.

Définition[modifier | modifier le code]

Soient A un anneau et I un idéal de A.

  • I est dit principal à gauche s'il existe un élément a de I tel que, pour tout x∊I, il existe un élément y de A tel que x=ya : I = { ya | y∊A }. On note I=Aa.
  • I est dit principal à droite s'il existe un élément a de I tel que, pour tout x∊I, il existe un élément y de A tel que x=ay : I = { ay | y∊A }. On note I=aA.

I est dit principal s'il est principal à la fois à gauche et à droite (ce qui est toujours le cas si A est commutatif). Dans ce cas, on note I=(a) et I est forcément le plus petit idéal contenant a.

Exemples[modifier | modifier le code]

Pour tout entier relatif k, kℤ = { kx | x∊ℤ } est un idéal principal de ℤ.

Un idéal n'est pas forcément principal. Par exemple, dans l'anneau commutatif ℂ[X,Y] des polynômes à deux indéterminées à coefficients complexes, l'ensemble des polynômes ayant un terme constant nul, noté (X,Y) car engendré par ces deux variables, est un idéal de ℂ[X,Y], mais il n'est pas principal : si P engendrait (X,Y), X et Y seraient divisibles par P, ce qui est impossible, sauf si P est un polynôme constant non-nul, ce qui est contradictoire.

Anneau principal[modifier | modifier le code]

Un anneau intègre dont tous les idéaux sont principaux est dit anneau principal.

Par exemple, ℤ ou l'anneau K[X] des polynômes sur un corps K sont des anneaux principaux.

Idéaux principaux particuliers[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Primalité dans un anneau.

Soient A un anneau commutatif intègre et a un élément non nul de A.

  • (a) est maximal dans l’ensemble des idéaux principaux propres de A si et seulement si a est irréductible ;
  • (a) est premier si et seulement si a est premier ;
  • (a) est maximal si et seulement si a est extrémal.

Si A est un anneau à PGCD, les deux premières propriétés sont équivalentes. S'il est de Bézout (en particulier s'il est principal), les trois le sont.