Utilisateur:PilouC/Brouillon

Cette page est un brouillon appartenant à PilouC

Conseils de rédaction

→ N'hésitez pas à publier sur le brouillon un texte inachevé et à le modifier autant que vous le souhaitez.
→ Pour enregistrer vos modifications au brouillon, il est nécessaire de cliquer sur le bouton bleu : « Publier les modifications ». Il n'y a pas d'enregistrement automatique.

Si votre but est de publier un nouvel article, votre brouillon doit respecter les points suivants :

Respectez le droit d'auteur en créant un texte spécialement pour Wikipédia en français (pas de copier-coller venu d'ailleurs).
Indiquez les éléments démontrant la notoriété du sujet (aide).
Liez chaque fait présenté à une source de qualité (quelles sources – comment les insérer).
Utilisez un ton neutre, qui ne soit ni orienté ni publicitaire (aide).
Veillez également à structurer votre article, de manière à ce qu'il soit conforme aux autres pages de l'encyclopédie (structurer – mettre en page).

→ Si ces points sont respectés, pour transformer votre brouillon en article, utilisez le bouton « publier le brouillon » en haut à droite. Votre brouillon sera alors transféré dans l'espace encyclopédique.

En analyse numérique, la méthode des volumes finis est utilisée pour résoudre numériquement des équations aux dérivées partielles, c'est à dire pour calculer une solution approchée de ces équations comme la méthode des différences finies et la méthode des éléments finis. Cette méthode est particulièrement bien adaptée pour résoudre numériquement les EDP provenant de lois de conservation. Pour mettre en place la méthode, on intègre l'équation sur un volume et grâce au théorème de Stokes, on transforme les intégrales contenant un terme de |divergence en intégrales de surface. Ces termes sont ensuite évalués en tant que flux sur les surfaces de chaque volume sachant que le flux entrant dans un volume donné est identique à celui sortant du volume adjacent.

Les lois de conservation[modifier | modifier le code]

On s'intéresse ici aux lois de conservation, leur forme générale est la suivante:

$\left\{{\begin{array}{l}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+divJ=g,\qquad \forall (x,t)\in \Omega \times \mathbb {R} _{+}\\\oplus \;{\text{Conditions initiales}}\\\oplus \;{\text{Conditions au bord}}\end{array}}\right.$

où :

$\rho$ (la densité) est l'inconnue
$J$ le flux associé
$g$ le terme source
$\Omega \subset \mathbb {R} ^{d}$

De plus, $J$ est de la forme suivante : $J=F(x,t,\rho ,\nabla \rho )$

Quelques exemples de flux[modifier | modifier le code]

Le flux de convection / transport : $J=v(x,t)f(\rho )\;$ $J=v(x,t)f(\rho )\;$ , où :
- $v(x,t)\in \mathbb {R} ^{d}$ le champ de vecteur donné
- $f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$
Le flux de diffusion : $J=-\kappa (x,t)\nabla \rho \;$ $J=-\kappa (x,t)\nabla \rho \;$ , où :
- $\kappa (x,t)\in \mathbb {R}$ dans le cas classique
- $\kappa (x,t)\in {\mathcal {M}}_{d}(\mathbb {R} )$ dans certains cas
Le flux de convection et diffusion : $J=v(x,t)f(\rho )-\kappa (x,t)\nabla \rho \;$ .

Maillage du domaine[modifier | modifier le code]

Soit $\Omega$ l'ensemble d'espace associé à l'EDP qui nous intéresse.

Volumes de contrôle

On appelle volumes de contrôle les éléments de la suite

\left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}

, cette suite ayant les propriétés suivantes :

$K_{i}$ un ouvert de $\Omega$
$K_{i}\cap K_{j}=\varnothing ,\;\forall i\neq j$
$\cup _{i=1}^{I}{\overline {K_{i}}}={\overline {\Omega }}$

Dimension 1[modifier | modifier le code]

Soit $\Omega =]0,1[$ .

Les volumes de contrôle $\left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}$ forment un maillage ${\mathcal {T}}$ de $\Omega$ . En dimension 1, les volumes de contrôle sont des intervalles ouverts, on note $K_{i}=]x_{i-{\frac {1}{2}}},x_{i+{\frac {1}{2}}}[$ .

On note ${\mathcal {E}}$ l'ensemble des interfaces $\left(x_{i+{\frac {1}{2}}}\right)_{0\leqslant i\leqslant I}$ ,les extrémités des volumes de contrôle.

Pour finir, on choisit un point $x_{i}$ dans chaque volume de contrôle $K_{i}$ et on note ${\mathcal {P}}$ l'ensemble de ces points $\left(x_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}$ (on peut y ajouter les points $x_{0}=0$ et $x_{I+1}=1$ ).

Le maillage est donc la donnée $({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})$ .

Le pas (taille) du maillage est toujours important dans un schéma numérique, il sera noté $h$ et on pose $h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}(x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}})$

Dimension d $\geqslant 2$ [modifier | modifier le code]

On considère $\Omega$ un ouvert borné polyèdral de $\mathbb {R} ^{d}$ (polygonal si $d=2$ ).

${\mathcal {T}}$ est toujours l'ensemble des volumes de contrôle $\left(K_{i}\right)_{1\leqslant i\leqslant I}$ .

${\mathcal {E}}$ est l'ensemble des arêtes ou faces (selon la dimension) du maillage. Soit $\sigma \in {\mathcal {E}}$ , on a alors :

soit ${\overline {\sigma }}={\overline {K_{i}}}\cap {\overline {K_{j}}},\;i\neq j$ , $\sigma$ est alors une arête intérieure ( $\sigma \in {\mathcal {E}}_{int}$ )
soit ${\overline {\sigma }}\subset \partial \Omega$ , $\sigma$ est alors une arête du bord ( $\sigma \in {\mathcal {E}}_{ext}$ )

On se donne de même que précédemment, une suite de points ${\mathcal {P}}=(x_{i})_{1\leqslant i\leqslant I},\;{\text{où}}\;x_{i}\in K_{i}$

Le maillage de $\Omega$ est la donnée $({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})$ .

On pose ici, pour le pas, $h=\max _{1\leqslant i\leqslant I}diam(K_{i})$ .

Solution approchée[modifier | modifier le code]

Pour la méthode des volumes finis, et contrairement à la méthode des différences finies, les inconnues discrètes ne sont pas les extrémités des mailles, mais les inconnues sont situées à l'intérieur des mailles. L'ensemble de ces inconnues discrètes est l'ensemble ${\mathcal {P}}$ défini précédemment.

La solution approchée $u_{\mathcal {T}}$ , avec la méthode des volumes finis, est une solution constante par maille, que l'on reconstruit de la manière suivante :

 $u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x)$

L'espace des solutions approchées pour le maillage $({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})$ est :

 $X({\mathcal {T}})=\left\{u_{\mathcal {T}}(x)=\sum _{K}u_{K}1\!\!1_{K}(x),\forall K\in {\mathcal {T}}u_{K}\in \mathbb {R} \right\}$

Remarque

$X({\mathcal {T}})\subset \mathrm {L} ^{\infty }(\Omega ),(\subset \mathrm {L} ^{p},\;\forall p\geqslant 1\;{\text{si}}\;\Omega \;{\text{est borné}})$
$X({\mathcal {T}})\not \subset \mathrm {H} ^{1}$

Mise en place du schéma[modifier | modifier le code]

Le méthode des volumes finis est utilisée pour discrétiser la partie spatiale des lois de conservation, le partie temporelle est quant-à-elle discrétisée par la méthode des différences finies. On considère donc ici seulement la partie spatiale, ce qui nous donne le système suivant :

$\left\{{\begin{array}{l}div(J)=g\quad {\text{sur}}\;\Omega ,\\J=F(x,t,u,\nabla u)\\\oplus \;{\text{Conditions Limites}}\end{array}}\right.$

On considère un maillage $({\mathcal {T}},{\mathcal {E}},{\mathcal {P}})\;{\text{de}}\;\Omega$ .

La méthode des volumes finis est basée sur l' intégration de l'EDP sur tous les volumes de contrôle du maillage.

On a, $\forall K\in {\mathcal {T}}$ :

${\begin{array}{rl}&\int _{K}div(J)=\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x\\{\overset {\text{Stokes}}{\Longleftrightarrow }}&\int _{\partial K}J\cdot n_{K}\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x\\\end{array}}$

On sait que : $\partial K=\cup _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\sigma ,\;{\text{où}}\;{\mathcal {E}}_{K}$ est l'ensemble des arêtes du volume de contrôle $K$ .

$\Longleftrightarrow \sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma =\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x,\qquad {\text{où}}\;n_{K,\sigma }\;{\text{est la normale à}}\;\sigma \;{\text{extérieur à}}\;K$

On obtient le schéma volumes finis en faisant une approximation de la dernière égalité, ce qui donne:

 $\sum _{\sigma \in {\mathcal {E}}_{K}}{\mathcal {F}}_{K,\sigma }=mes(K)g_{K},\;{\text{avec :}}$ 
* ${\mathcal {F}}_{K,\sigma }\;{\text{une approximation de}}\;\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma$ 
* $g_{K}\;{\text{une approximation de}}\;{\frac {1}{mes(K)}}\int _{K}g(x)\,\mathrm {d} x$

Propriété des flux numériques[modifier | modifier le code]

Les deux propriétés essentielles du flux numérique ${\mathcal {F}}_{K,\sigma }$ pour que celui-ci soit une « bonne » approximation de $\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma$ , sont la conservativité et la consistance.

Conservativité des flux[modifier | modifier le code]

On impose que pour toute interface interne, le flux entrant est égal à l'opposé du flux sortant :

$\forall \sigma \in {\mathcal {E}}_{int},\sigma ={\overline {K}}\cap {\overline {L}},\qquad {\mathcal {F}}_{K,\sigma }+{\mathcal {F}}_{L,\sigma }=0$

Consistance des flux[modifier | modifier le code]

Les flux numériques ${\mathcal {F}}_{K,\sigma }$ s'expriment en fonction des $(u_{L})_{L\in {\mathcal {T}}}$ . On remplace alors tous les $u_{K},\,u_{L}\;{\text{par}}\;u(x_{K}),\,u(x_{L})$ où u est la solution exacte du problème, on obtient alors ${\tilde {\mathcal {F}}}_{K,\sigma }^{ex}$ .

Pour qu'on ait la consistance des flux, il suffit que :

$\lim _{h\to 0}\left|{\frac {1}{m(\sigma )}}{\tilde {\mathcal {F}}}_{K,\sigma }^{ex}-{\frac {1}{m(\sigma )}}\int _{\sigma }J\cdot n_{K,\sigma }\,\mathrm {d} \gamma \right|=0$

Exemple en dimension 1[modifier | modifier le code]

On cherche une solution classique du problème de Dirichlet suivant :

$({\mathcal {P}})\left\{{\begin{array}{l}-u''(x)=f(x),\quad {\text{sur}}\;(0,1)\\u(0)=0=u(1)\end{array}}\right.$

où $f\in {\mathcal {C}}([0,1],\mathbb {R} )$

On utilise le maillage pour la dimension 1 défini précédemment.

On aura besoin également des paramètres suivants : $h_{i}=m(K_{i})=x_{i+{\frac {1}{2}}}-x_{i-{\frac {1}{2}}}\;{\text{et}}\;h_{i+{\frac {1}{2}}}=x_{i+1}-x_{i},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I$

En intégrant l'équation $-u''=f\;{\text{sur}}\;K_{i}$ , on obtient l'égalité suivante :

$-u'(x_{i+{\frac {1}{2}}})+u'(x_{i-{\frac {1}{2}}})=\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f$

Le schéma volumes finis s'écrit alors :

 $({\mathcal {S}})\left\{{\begin{array}{l}{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}-{\mathcal {F}}_{i-{\frac {1}{2}}}=h_{i}f_{i},\quad \forall \,1\leqslant i\leqslant I\\{\mathcal {F}}_{i+{\frac {1}{2}}}=-{\frac {u_{i+1}-u_{i}}{h_{i+{\frac {1}{2}}}}},\quad \forall \,0\leqslant i\leqslant I\\u_{0}=0=u_{I+1}\end{array}}\right.$ 
 $f_{i}=h_{i+{\frac {1}{2}}}\int _{x_{i-{\frac {1}{2}}}}^{x_{i+{\frac {1}{2}}}}f$

Proposition — On a alors un schéma numérique $({\mathcal {S}})$ pour lequel les flux sont conservatifs et consistants

Preuve

Conservativité : triviale

Consistance : Définition + formules de Taylor-Lagrange

Ce schéma numérique $({\mathcal {S}})$ est un système d'équations linéaires:

I inconnues : $(u_{i})_{1\leqslant i\leqslant I}$
I équations

On peut facilement mettre ce système sous forme matricielle : $AU=B,\;U$ est le vecteur des inconnues.

Proposition — La matrice $A$ du schéma $({\mathcal {S}})$ est tridiagonale et symétrique définie positive.

$\Rightarrow$ Elle est alors inversible et donc le schéma admet une unique solution