Théorème de différentiation de Fubini

En mathématiques, le théorème de différentiation de Fubini est un résultat d'analyse réelle, attribué à Guido Fubini, selon lequel toute série de fonctions croissantes qui converge est presque partout dérivable terme à terme.

Énoncé

Si, pour tout entier naturel n,

$f_{n}:[a,b]\to \mathbb {R}$

est une fonction croissante et si

$\forall x\in [a,b],~f(x):=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)\in \mathbb {R}$

alors, pour presque tout x ∈ [a, b],

$f'(x)=\sum _{n\in \mathbb {N} }f_{n}'(x).$

Démonstration

On utilise ici que toute fonction monotone est dérivable presque partout.

On se ramène sans peine au cas où toutes les f_n sont positives (en retranchant à chacune sa valeur en a) et où

$\forall n\in \mathbb {N} ,~\sum _{k>n}f_{k}(b)\leq 2^{-n}$

(en regroupant des termes consécutifs de la série).

La somme g des fonctions croissantes g_n définies par

$g_{n}(x)=\sum _{k>n}f_{k}(x)$

est alors finie (positive et majorée par 2) et l'on a, presque partout :

$\sum _{n\in \mathbb {N} }g'_{n}(x)\leq g'(x)<+\infty {\text{ donc }}\lim _{n\to \infty }\left(f'(x)-\sum _{k\leq n}f'_{k}(x)\right)=\lim _{n\to \infty }g'_{n}(x)=0.$

Cas d'une fonction de saut

Le cas particulier suivant n'utilise pas le théorème de dérivabilité presque partout des fonctions monotones et peut, au contraire, servir de lemme pour ce théorème. Il s'agit du cas où f est une « fonction de saut », c'est-à-dire où chaque f_n est de la forme :

• $f_{n}(x)=0$ si $x<a_{n},$
• $f_{n}(x)=b_{n}$ si $x>a_{n}$ et
• $0\leq f_{n}(a_{n})\leq b_{n}.$

Avec les notations de la section précédente, on déduit en effet directement de l'inégalité maximale de Hardy-Littlewood que

$\forall c>0,\lambda ([{\overline {D}}g_{n}\geq c])\leq 2^{1-n}/c$

où D désigne la dérivée supérieure de Dini (bilatérale). Or, presque partout,

${\overline {D}}g_{n}={\overline {D}}\left(f-\sum _{k\leq n}f_{k}\right)={\overline {D}}f-\sum _{k\leq n}f'_{k}={\overline {D}}f.$

Par conséquent,

$\forall c>0,\lambda ([{\overline {D}}f\geq c])\leq \inf _{n\in \mathbb {N} }2^{1-n}/c=0{\text{ donc }}f'=0~\lambda {\text{-p.p.}}$