Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définitions — Soit $ν$ une mesure positive sur $(X,{\mathcal {A}})$ et soient $ρ$ , $ρ$ des mesures positives ou complexes sur $(X,{\mathcal {A}})$ .

On dit que $ρ$ est absolument continue par rapport à $ν$ , et l'on note $ρ ≪ ν$ , si pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ tel que $ν (A) = 0$ , on a également $ρ (A) = 0$ .
On dit que $ρ$ est portée par^[1] $E\in {\mathcal {A}}$ (ou concentrée sur $E$ ) si pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on a $ρ (A) = ρ (A \cap E)$ . (Cela équivaut à l'hypothèse : pour tout $A\in {\mathcal {A}},$ $ρ(A\E) = 0$ .)
On dit que $ρ$ et $ρ$ sont mutuellement singulières^[1] (ou étrangères), et l'on note $ρ ⊥$ $ρ$ , s'il existe $E\in {\mathcal {A}}$ telle que $ρ$ soit portée par $E$ et $ρ$ soit portée par $E c$ .

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue[modifier | modifier le code]

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XX^e siècle^[1]. Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient $ν$ une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et $μ$ une mesure positive σ-finie (respectivement réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}})$ .

Il existe un unique couple (μ₁, μ₂) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
- $\mu =\mu _{1}+\mu _{2},$
- $\mu _{1}\ll \nu ,$
- $\mu _{2}\perp \nu .$

Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue (en) de

μ

par rapport à

ν

.

Il existe une unique (à égalité $ν$ -presque partout près) fonction $h$ mesurable positive (resp. $ν$ -intégrable réelle, resp. $ν$ -intégrable complexe) telle que pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on ait : $\mu (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}h~\mathrm {d} \nu .$ Cette fonction $h$ s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de $μ$ par rapport à $ν$ .

Densité d'une mesure[modifier | modifier le code]

Définition — Soit $ν$ une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et soit $ρ$ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}}).$ On dit que $ρ$ possède une densité $h$ par rapport à $ν$ si $h$ est une fonction mesurable positive (resp. $ν$ -intégrable réelle, resp. $ν$ -intégrable complexe), telle que pour tout $A\in {\mathcal {A}}$ on ait :

\rho (A)=\int _{A}h~\mathrm {d} \nu =\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu .

On note

h={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} \nu }}.

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient $ν$ une mesure positive σ-finie sur $(X,{\mathcal {A}})$ et $μ$ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur $(X,{\mathcal {A}}).$ Il y a équivalence entre :

$\mu \ll \nu ,$
$μ$ possède une densité par rapport à $ν$ .

Démonstration

Si $\mu \ll \nu$ alors, clairement, $\mu =\mu +0$ est une décomposition de $μ$ satisfaisant le théorème de Radon-Nikodym donc, en vertu de la dernière partie du théorème, $μ$ possède une densité par rapport à $ν$ . Réciproquement, notons $h$ la densité de $μ$ par rapport à $ν$ . Si

\nu (A)=\int _{X}1_{A}~\mathrm {d} \nu =0,

alors $1_{A}$ est nul $ν$ -presque partout. Il suit que $1_{A}\,h$ est nul $ν$ -presque partout également, donc

\mu (A)=\int _{X}1_{A}\,h~\mathrm {d} \nu =0.

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire[modifier | modifier le code]

Rappel —

On appelle densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans ℝ^d une fonction $f$ mesurable, telle que pour toute partie borélienne $A$ ⊂ ℝ^d : $\mathbb {P} (X\in A)=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\ 1_{A}(u)\,f(u)~\mathrm {d} u=\int _{A}\ f(u)~\mathrm {d} u.$
La loi de probabilité $\mathbb {P} _{X}$ d'une variable aléatoire $X$ à valeurs dans ℝ^d est la mesure de probabilité définie, pour toute partie borélienne $A$ ⊂ ℝ^d, par : $\mathbb {P} _{X}(A)=\mathbb {P} (X\in A).$
Si d = 1, $X$ est appelée une variable aléatoire réelle, ou encore v.a.r.

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

Une variable aléatoire $Z$ à valeur dans ℝ^d possède une densité de probabilité.
La mesure $\mathbb {P} _{Z}$ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.
La mesure $\mathbb {P} _{Z}$ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝ^d.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Critère — Une variable aléatoire $Z$ à valeurs dans ℝ^d possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien $A$ de ℝ^d dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

\mathbb {P} \left(Z\in A\right)=0.

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que $Z$ possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire $Z = (X, Y)$ possède une densité, alors :

$\mathbb {P} \left(X=Y\right)=0,$
$\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}=1\right)=0,$

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

$\mathbb {P} \left(Y=\varphi (X)\right)=0.$

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble $\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \psi (x,y)=0\right\}$ est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

$\mathbb {P} \left(\psi (X,Y)=0\right)=0.$

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

Z=\left(\cos \Theta ,\sin \Theta \right),

où $Θ$ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur $[0, 2π]$ , alors $Z$ ne possède pas de densité car :

\mathbb {P} \left(X^{2}+Y^{2}-1=0\right)=1.

Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire $Z$ à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Note et référence[modifier | modifier le code]

↑ ^{a b et c} Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Leo Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists, coll. « London Mathematical Society Lecture Note Series », 1984, 351 p. (ISBN 978-0-521-31715-3, lire en ligne)
(en) Gerald Folland (en), Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley & Sons, 2013, 2^e éd. (lire en ligne)
(en) J. von Neumann, « On rings of operators, III », Ann. Math., vol. 41, n^o 1,‎ 1940, p. 94-161 (lire en ligne) (cf. p. 127-130)
Otton Nikodym, « Sur une généralisation des intégrales de M. J. Radon », Fund. Mat., vol. 15,‎ 1930, p. 131-179 (zbMATH 56.0922.02, lire en ligne)
(de) J. Radon, « Theorie und Anwendungen der absolut additiven Mengenfunktionen », Sitz. Kais. Akad. Wiss. Wien, math.-Naturwiss. Kl. IIa, vol. 122,‎ 1913, p. 1295-1438

Portail de l'analyse

[Rudin-1] {a b et c} Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.

[1]