Discussion:Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

Mesure de Lebesgue des courbes (précisions)

Quelques remarques sur mes modifications :

- Je suis d'accord pour dire que la mesurabilité est une forme (très faible) de régularité. Toutefois "mesurable" me paraît à la fois plus concis et plus précis que "suffisament régulière".

- La remarque floue sur "les phénomènes de type courbe de Peano" me paraît abérrante : une courbe de Peano ne se définit pas avec une relation implicite. Pour le coup quelques précisions seraient nécessaires, je ne vois absolument pas ce que l'auteur de cette remarque a voulu signifier.

- La propriété sur ψ me paraît bancale : tout fermé de R² est l'ensemble des zéros d'une fonctions infiniment dérivable. Le problème n'est pas la "régularité" de ψ, mais de savoir si ψ définit une courbe qui est localement le graphe d'une fonction (ce qu'elle peut faire sans être régulière). Je laisse quand même l'énoncé en mettant un lien vers le théorème des fonctions implicites.

- Merci pour le "ministère de la censure". Je ne sais pas où on irait si il fallait laisser passer des énormités sous prétexte de permettre à tour le monde de s'exprimer.

RRt (d) 3 mars 2010 à 12:01 (CET)

"régulière" a des sens très différents dans différentes bouches et sous différentes plumes. Par manque de recul, tu n'en acceptes qu'un et le problème est là. L'exigence de régularité au sens ou tu l'entends n'est effectivement pas pertinente. Mais, bon, on ne va permettre à n'importe qui (ou à tout le monde ) de figer le sens d'une expression mathématique, comme "régulière", utilisée dans le monde entier et recouvrant une infinité de sens pour un grand nombre de chercheurs.

On est à peu près d'accord sur le fait qu'il suffit que ψ soit suffisamment régulière au sens où le mot est employé dans l'intro de théorème des fonctions implicites. Dans cette intro, "suffisamment régulière" signifie, aux yeux de l'auteur de la page, « à qui on peut appliquer le théorème des fonctions implicites », ce qui entraine bien que « ψ définit une courbe qui est localement le graphe d'une fonction », fonction C1 qui plus est. Donc « régulier » est parfaitement adapté, puisque conforme à l'usage. Ce n'est en aucun cas une énormité (une des règles de wikipedia est d'être prudent, de ne pas contester trop imprudemment la compétence des autres contributeurs, et d'intégrer le fait que des différences subtiles de terminologie existent entre disciplines et sous-disciplines).

« ψ définit une courbe qui est localement le graphe d'une fonction (ce qu'elle peut faire sans être régulière) ». Critique non pertinente, consistant à dire qu'on donne une condition qui n'est pas nécessaire, mais seulement suffisante (et encore ...). Or on ne prétend à aucun moment donner une condition nécessaire et suffisante pour que la courbe soit de mesure nulle. Un critère ergonomique pour le lecteur lambda ferait l'affaire, donc donner une condition suffisante pourvu que simple, et, à défaut, attirer son attention sur la possibilité de monstruosités (donc sur la nécessité d'être circonspect, le mot "régulier" signifiant "attention, danger"). Ici on ne prétend jamais donner une condition nécessaire et suffisante, seulement attirer l'attention sur le fait qu'une justification est nécessaire. En ce sens le paragraphe tel qu'il était, remplissait son rôle. Il pouvait être amélioré, peut-être : que ne l'as-tu fait ? Si tu as un énoncé simple et précis à donner, affiche-le sur la page, au lieu de supprimer une info utile.

Nota : tes dernières modifications, sans être parfaitement convaincantes, sont des améliorations. C'est beaucoup mieux que de censurer ... .

Qu'une courbe de Péano ne soit pas définie de façon implicite n'est pas une objection pertinente. Il s'agit juste de donner un exemple de courbe de mesure non nulle. Ta lecture au pied de la lettre manque de hauteur, est une lecture de censeur. Si tu as un exemple simple et pédagogique de courbe de mesure non nulle définie de manière implicite, accessible rapidement au lecteur, remplace la référence aux courbes de péano par cet exemple : ce sera une amélioration. Améliore au lieu de censurer pour un oui ou un non. Au boulot. Il est plus difficile d'améliorer que d'effacer. On attend de te voir à l'oeuvre .--Chassaing 3 mars 2010 à 14:56 (CET)

Ce qui est amusant dans tes remarques, c'est qu'elles donnent l'impression que j'ai sauvagement supprimé un passage fondamental de l'article alors que je n'ai fait que retirer un résultat faux et, de plus, totalement insignifiant. Merci aussi pour le "manque de recul". RRt (d) 4 mars 2010 à 08:56 (CET)

Le fait que la fonction ψ définisse implicitement une courbe, ou que la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable soit nulle, ne justifient pas vraiment que $\mathbb {P} \left(\psi (X,Y)=0\right)=0$ (comme expliqué abondamment par RRt lui-même dans la discussion précédente). Ainsi la nouvelle version affirme abruptement un fait sans préciser suffisamment pour quel ψ ce fait est vérifié : RRt a donné suffisamment de contrexemples . La version antérieure était plus précise, même si elle reste à améliorer. Il ne s'agit pas d'un passage fondamental de l'article, et n'a pas le statut de proposition ou de théorème, comme le style l'indique clairement. En ce sens le lecteur n'est pas induit en erreur. Il reste à prouver que la version antérieure, floue, est plus fausse que cette version (clairement insuffisante, après mure réflexion). Pour cela il faudra démontrer que le terme « régulier » a une signification bien établie et universellement acceptée, ce qui n'a pas été fait. --Chassaing 4 mars 2010 à 13:58 (CET)

Je propose :

- Pour φ mesurable, P(X=φ(Y))=0.

- Pour A⊂R² de mesure de Lebesgue nulle, P((X,Y)∈A)=0.

Le deuxième point frise la trivialité, mais ça a l'avantage d'être indéniablement juste et sans ambiguité. La question de savoir si une "courbe" (terme mal défini) définie implicitement est de mesure nulle ne me paraît pas avoir sa place ici (je verrais plutôt ça dans la page sur le théorème des fonctions implicites, ou celle sur la mesure de Lebesgue).RRt (d) 4 mars 2010 à 08:56 (CET)

Sur la page, j'ai fait une proposition dans la ligne de (inspirée par) la proposition ci-dessus. On pourrait l'améliorer, plus tard, en donnant explicitement des exemples en footnote, comme ci-dessous :

De même, il y a de nombreux exemples où ...

ou bien en renvoyant, dans cette footnote, à une page wikipedia où figurent une foule d'exemples classiques de courbes, page que je n'ai pas le temps de chercher tout de suite ...--Chassaing 5 mars 2010 à 17:29 (CET)

Noms des théorèmes ?

Ce qui est présenté ici sous le nom de « théorème de Radon-Nikodym » semble être le « théorème de décomposition de Lebesgue », et le théorème de Radon-Nikodym semble être la propriété annoncée par « En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante […] » : cf

• Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] p. 117
• en:Radon–Nikodym theorem
• en:Lebesgue's decomposition theorem

Les interwikis sont peut-être aussi à revoir. Anne Bauval (d) 5 décembre 2011 à 13:37 (CET)

je crois bien que vous avez raison, même si mes souvenirs sont flous ... Chassaing 5 décembre 2011 à 22:39 (CET)