Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue

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Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un théorème d'analyse, une branche des mathématiques qui est constituée du calcul différentiel et intégral et des domaines associés.

Définitions[modifier | modifier le code]

Définitions —  Soit ν une mesure positive sur \scriptstyle (X,\mathcal{A}) et soit \scriptstyle \rho,\tilde{\rho} des mesures positives (resp. réelles, resp. complexes) sur \scriptstyle (X, \mathcal{A}).

  • On dit que ρ est absolument continue par rapport à ν, et l'on note \scriptstyle \rho \ll \nu, si pour tout \scriptstyle A \in \mathcal {A} tel que \scriptstyle \nu(A) = 0, on a également \scriptstyle \rho(A) = 0.
  • On dit que ρ est concentrée sur \scriptstyle E \in \mathcal{A} si pour tout \scriptstyle A \in \mathcal{A} on a \scriptstyle \rho(A) = \rho(A \cap E), ou bien encore \scriptstyle \rho(A \backslash E) = 0.
  • On dit que \scriptstyle \rho et \scriptstyle \tilde{\rho} sont étrangères, et l'on note \scriptstyle \rho \perp \tilde{\rho}, s'il existe \scriptstyle E \in \mathcal{A} telle que \scriptstyle \rho soit concentrée par \scriptstyle E et \scriptstyle \tilde{\rho} soit concentrée par \scriptstyle E^c.

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue[modifier | modifier le code]

Le théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue est un résultat de théorie de la mesure, cependant une démonstration faisant intervenir les espaces de Hilbert a été donnée par le mathématicien John von Neumann au début du XXe siècle[1]. Il s'énonce de la façon suivante :

Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue — Soient ν une mesure positive σ-finie sur \scriptstyle\ (X, \mathcal{A}) et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle (X, \mathcal{A}).

  • Il existe un unique couple (μ1, μ2) de mesures positives σ-finies (resp. réelles, resp. complexes) tel que :
    • \mu = \mu_1 + \mu_2,
    • \mu_1 \ll \nu,
    • \mu_2 \perp \nu.
Cette décomposition s'appelle la décomposition de Lebesgue de μ.
  • Il existe une unique (à égalité ν-presque partout près) fonction h mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe) telle que pour tout \scriptstyle A \in \mathcal{A} on ait :
    \mu_1(A) = \int_A h~\mathrm d\nu = \int_X 1_A h~\mathrm d\nu.
    Cette fonction s'appelle la dérivée de Radon-Nikodym de μ1 par rapport à ν.

Densité d'une mesure[modifier | modifier le code]

Définition —  Soit ν une mesure positive σ-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et soit ρ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). On dit que ρ possède une densité h par rapport à ν si h est une fonction mesurable positive (resp. ν-intégrable réelle, resp. ν-intégrable complexe), telle que pour tout \scriptstyle\ A\in\mathcal{A}\ on ait :

\rho(A) = \int_A h~\mathrm d\nu = \int_X 1_A\,h~\mathrm d\nu.

On note

h=\frac{\mathrm d\rho}{\mathrm d\nu}.

En conséquence du théorème de Radon-Nikodym, on a la propriété suivante :

Proposition — Soient ν une mesure positive σ-finie sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A})\ et μ une mesure positive σ-finie (resp. réelle, resp. complexe) sur \scriptstyle\ (X,\mathcal{A}). Il y a équivalence entre :

  • \mu \ll \nu,
  • μ possède une densité par rapport à ν.

L'hypothèse de σ-finitude est importante : par rapport à la mesure de comptage, une mesure est toujours absolument continue mais celle de Lebesgue sur ℝ (par exemple) n'a pas de densité.

Densité de probabilité d'un vecteur aléatoire[modifier | modifier le code]

Rappel — 

Au vu des définitions, le langage probabiliste diffère légèrement du langage de la théorie de la mesure. Il y a équivalence entre les trois assertions :

  • Une variable aléatoire Z à valeur dans ℝd possède une densité de probabilité.
  • La mesure \scriptstyle\ \mathbb{P}_Z\ possède une densité par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝd.
  • La mesure \scriptstyle\ \mathbb{P}_Z\ est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue sur ℝd.

Le dernier point peut se réécrire, en langage probabiliste.

Critère — Une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝd possède une densité de probabilité si et seulement si, pour chaque borélien A de ℝd dont la mesure de Lebesgue est nulle, on a :

\mathbb{P}\left(Z\in A\right)=0.

Ce critère est rarement employé dans la pratique pour démontrer que Z possède une densité, mais il est en revanche utile pour démontrer que certaines probabilités sont nulles. Par exemple, si le vecteur aléatoire Z = (X, Y) possède une densité, alors :

  • \mathbb{P}\left(X=Y\right)=0,
  • \mathbb{P}\left(X^2+Y^2=1\right)=0,

car la mesure de Lebesgue (autrement dit, l'aire) de la première bissectrice (resp. du cercle unité) est nulle.

Plus généralement, la mesure de Lebesgue du graphe d'une fonction mesurable φ étant nulle, il suit que :

  • \mathbb{P}\left(Y=\varphi(X)\right)=0.

De même, il y a de nombreux exemples où, du fait que l'ensemble \scriptstyle\left\{(x,y)\in\R^2\mid\psi(x,y)=0\right\} est de mesure de Lebesgue nulle, on peut conclure que :

  • \mathbb{P}\left(\psi(X,Y)=0\right)=0.

Le critère de Radon-Nikodym peut aussi être utilisé pour démontrer qu'un vecteur aléatoire ne possède pas de densité, par exemple si :

Z=\left(\cos \Theta, \sin \Theta\right),

Θ désigne une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 2π], alors Z ne possède pas de densité car :

\mathbb{P}\left(X^2+Y^2-1=0\right)=1.

Remarque — Dans le cas d = 1, une variable aléatoire Z à valeurs dans ℝ possède une densité de probabilité si et seulement si sa fonction de répartition est localement absolument continue.

Note et référence[modifier | modifier le code]

  1. Voir par exemple Walter Rudin, Analyse réelle et complexe [détail des éditions] pour de plus amples détails.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) L. Egghe, Stopping Time Techniques for Analysts and Probabilists, London Mathematical Society Lecture Note Series (ISBN 978-0-521-31715-3)