Théorème du sandwich au jambon

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Le théorème du sandwich au jambon annonce l'existence d'un plan qui coupe chacun des trois solides en deux parties de volumes égaux.

En mathématiques, le théorème du sandwich au jambon (connu également sous le nom de théorème de Stone-Tukey, d'après Arthur Stone (en) et John Tukey[1]) s'exprime de façon imagée en disant qu'on peut couper en quantités égales, d'un seul coup de couteau, le jambon, le fromage et le pain d'un sandwich[2]. Il se formalise et se généralise en dimension quelconque. Ce théorème, qu'Hugo Steinhaus avait conjecturé dans le Livre écossais, a été aussitôt démontré en 1938 par Stefan Banach à l'aide du théorème de Borsuk-Ulam[3].

Énoncé[modifier | modifier le code]

Étant données n parties[4] Lebesgue-mesurables et de mesures finies d'un espace euclidien de dimension n, il existe au moins un hyperplan affine divisant chaque partie en deux sous-ensembles de mesures égales[2].

Démonstration[modifier | modifier le code]

Soient A_1,\ldots,A_n les n parties de \R^n, de mesures finies V_1,\ldots, V_n, que l'on souhaite couper en deux parties d'égale mesure (en dimension n = 3, la figure illustre la preuve avec, pour A_1,A_2,A_3, des solides de Platon en orange et rouge).

Ayant fixé un vecteur x de la sphère S^{n-1}, on considère, pour tout réel t, l'hyperplan affine orthogonal à x passant par tx, et le demi-espace délimité par cet hyperplan et contenant (t+1)x. Le volume V_i(t,x) de l'intersection de A_i et de ce demi-espace est une fonction continue de (t,x) et vérifie :

V_i(-t,-x)=V_i-V_i(t,x).~

Comme de plus t \mapsto V_1(t,x) est une fonction décroissante de t, qui tend vers 0 quand t tend vers +\infty et vers V_1 quand t tend vers -\infty, l'ensemble des réels t tels que V_1(t,x)=V_1/2 est un segment non vide [t'(x),t''(x)] qui vérifie [t'(-x),t''(-x)]=[-t''(x),-t'(x)]. Son milieu t(x)=\frac{t'(x)+t''(x)}2 est donc une fonction continue impaire de x vérifiant V_1(t(x),x)=V_1/2 pour toute direction x.

Par composition, la fonction

f:S^{n-1}\to\R^{n-1}, x\mapsto (V_2(t(x),x),\dots,V_n(t(x),x))

est également continue. On peut donc lui appliquer le théorème de Borsuk-Ulam, ce qui fournit une direction x telle que f(x)=f(-x). Pour un tel x, l'hyperplan orthogonal à x et passant par t(x)x coupe les A_i pour i=2,\ldots,n en deux morceaux de même mesure car

V_i(t(x),x)=V_i(t(-x),-x)=V_i(-t(x),-x)=V_i-V_i(t(x),x).~

Ainsi, V_i(t(x),x)=V_i/2 est vrai pour i=2,\ldots,n par choix de x et pour i=1 par définition de t(x).

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) A. H. Stone et J. W. Tukey, « Generalized "sandwich" theorems », Duke Mathematical Journal, vol. 9,‎ 1942, p. 356–359 (DOI 10.1215/S0012-7094-42-00925-6, lire en ligne)
  2. a et b (en) Jiří Matoušek, Using the Borsuk-Ulam Theorem: Lectures on Topological Methods in Combinatorics and Geometry, Springer,‎ 2003 (ISBN 978-3-54000362-5, lire en ligne), p. 47
  3. (en) W. A. Beyer et Andrew Zardecki, « The early history of the ham sandwich theorem », Amer. Math. Monthly, vol. 111,‎ 2004, p. 58–61
  4. Les n parties ne sont pas supposées connexes : dans le sandwich, les deux tranches de pain constituent une partie.