Repère projectif

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En Géométrie projective un repère projectif d'un espace projectif de dimension n est la donnée ordonnée de n + 2 points, soit un n + 2 uplet de points de l'espace, tels que n + 1 points quelconques choisis parmi ces n + 2 points ne soient jamais inclus dans un sous-espace projectif propre l'espace de départ (ou de façon équivalente dans un hyperplan projectif de l'espace de départ). Ainsi :

  • un repère projectif d'une droite projective est donné par 3 points distincts de la droite ;
  • un repère projectif d'un plan projectif est un quadruplet de points du plan, tels que 3 parmi ceux-ci ne sont pas alignés ;
  • etc.

Les repères projectifs jouent pour les espaces projectifs un rôle analogue à celui des bases pour les espaces vectoriels, et des repères affines pour les espaces affines, c'est-à-dire qu'elle permettent de caractériser les applications associées, en l'occurrence les applications projectives. En dimension finie n il faut :

  • n vecteurs pour une base d'un espace vectoriel ;
  • n + 1 points pour un repère affine ;
  • n + 2 points pour un repère projectif.

Une application projective est définie et entièrement déterminée par les images des points d'un repère projectif. Un repère projectif d'un espace projectif de dimension n sur un corps K permet de faire correspondre à ce dernier l'espace projectif défini sur l'espace vectoriel Kn+1 (par une transformation projective ou homographie) et donc de définir un système de coordonnées homogènes (n + 1 coordonnées) sur l'espace d'origine.



Intuitivement, on veut repérer un point de l'espace projectif en se donnant un point de l'espace vectoriel de dimension n + 1 associé. On veut donc choisir une base (e_1,...,e_{n+1}) de cet espace, et considérer les points (p_1,...,p_{n+1}) = (\pi(e_1),...,\pi(e_{n+1})) comme un repère de l'espace projectif. Ayant les coordonnées (x_1,...,x_{n+1}) dans ce repère, on considèrerait alors le vecteur x = x_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \cdot e_{n+1} qui définit un unique point \pi(x) dans l'espace projectif. L'erreur de l'argument ci-dessus est que lorsque l'on ne connaît que le repère projectif (p_1,...,p_{n+1}), on ne peut pas retrouver les vecteurs (e_1,...,e_n) qui l'avaient défini, mais seulement des vecteurs de la forme \tilde e_1 = \lambda_1 \cdot e_1, ..., \tilde e_{n+1} = \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}. Si l'on considère le nouveau vecteur \tilde x = x_1 \cdot \tilde e_1 + ... + x_{n+1} \cdot \tilde e_{n+1} =
x_1 \lambda_1 \cdot e_1 + ... + x_{n+1} \lambda_{n+1} \cdot e_{n+1}, celui-ci n'a aucune raison d'être colinéaire à x, et donc de donner le même point de l'espace projectif après projection, sauf si tous les \lambda_i sont égaux. L'idée est donc alors d'adjoindre aux points (p_1,...,p_{n+1}) une contrainte, qui peut également se voir comme un point de l'espace projectif, obligeant tout choix de vecteurs \tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1} comme ci-dessus à vérifier \lambda_1 = ... = \lambda_{n+1}. Pour cela, on impose une contrainte sur la somme \tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1} qui doit être colinéaire à la somme e_1 + ... + e_{n+1} choisie initialement. Il est alors facile de voir que cela implique la contrainte recherchée. Il suffit donc d'adjoindre aux p_i le point p_{n+2} = \pi(e_1 + ... + e_{n+1}), et alors tout choix de \tilde e_1, ..., \tilde e_{n+1} vérifiant \pi(\tilde e_1 + ... + \tilde e_{n+1}) = p_{n+2} permet de retrouver le point de l'espace projectif correspondant aux coordonnées (x_1, ..., x_{n+1}) comme indiqué ci-dessus.