Radian

Radian
Définition de l'angle en radians.
Informations
Système	Unités dérivées du système international
Unité de…	Angle plan
Symbole	rad

Le radian (symbole : rad) est l'unité dérivée du système international qui mesure les angles plans.

Définition

Considérons un secteur angulaire, formé de deux droites concourantes distinctes, et un cercle de rayon r tracé dans un plan contenant ces deux droites, dont le centre est le point d'intersection des droites. Alors, la valeur de l'angle en radians est le rapport entre la longueur L de l'arc de cercle intercepté par les droites et le rayon r.

Un angle d'un radian intercepte sur la circonférence de ce cercle un arc d'une longueur égale au rayon. Un cercle complet représente un angle de 2π radians, appelé angle plein.

Concrètement, un radian vaut environ 57,3° (360°/2π). Cet angle de 57,3° intercepte un arc de longueur égale au rayon. Avec une circonférence de 360 cm, un radian intercepte un arc de longueur égale au rayon = 57,3 cm.

L'utilisation des radians est impérative lorsque l'on dérive ou intègre une fonction trigonométrique : en effet, l'angle pouvant se retrouver en facteur, seule la valeur en radians a un sens.

Caractéristiques

Autre caractéristique précieuse du radian : pour des angles $\theta$ d'une valeur inférieure à 0,1 radian ou 5,5 grades ou 5 degrés, l'approximation suivante est valable à 1 % près :

$\sin(\theta )\approx \tan(\theta )\approx \theta$.

Il n'y a aucune formule de ce genre avec les valeurs en grades et degrés.

Pour les angles â inférieurs à 3°, utiles pour l'astronomie, on peut confondre la longueur de l'arc intercepté par l'angle â avec le côté opposé à l'angle â. Ainsi, un angle de 1 degré intercepte un arc de 1 cm.

$\theta _{rad}\approx \ {1 \over 57{,}3}$

De façon générale, pour les angles inférieurs à 3° :

$\tan(\theta _{deg})\approx {\theta _{deg} \over 57{,}3}$

Relations entre grades, degrés et radians

Les formules de conversion entre les grades et les radians sont :

$\theta _{gra}=\theta _{rad}\cdot {200 \over \pi }$

$\theta _{rad}=\theta _{gra}\cdot {\pi \over 200}$.

Les formules de conversion entre les degrés et les radians sont :

$\theta _{deg}=\theta _{rad}\cdot {180 \over \pi }$

$\theta _{rad}=\theta _{deg}\cdot {\pi \over 180}$.

Voici quelques angles particuliers et leur équivalence avec les grades et degrés :

nom de l'angle	valeur en radians	valeur en grades	valeur en degrés
angle nul	0 rad	0 gon	0°
milliradian	1 mrad	0,063 661 977 gon	0° 3′ 26″ 16‴
	π/6 rad	33,333 333 gon	30°
	π/4 rad	50 gon	45°
radian	1 rad	63,661 977 gon	57° 17′ 44″ 48‴
	π/3 rad	66,666 666 gon	60°
angle droit	π/2 rad	100 gon	90°
	2π/3 rad	133,333 333 gon	120°
	3π/4 rad	150 gon	135°
angle plat	π rad	200 gon	180°
	5π/4 rad	250 gon	225°
	3π/2 rad	300 gon	270°
	7π/4 rad	350 gon	315°
angle plein	2π rad	400 gon	360°

Annexes

Articles connexes

• Angle
• Degré (angle)
• Grade (angle)