Inégalité de Young pour la convolution

En mathématiques, l'inégalité de Young pour la convolution est le théorème d'analyse fonctionnelle suivant, démontré pour la première fois par William Henry Young en 1912 :

Soient $f$ dans l'espace L^p de Lebesgue et $g$ dans L^q et

${\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1+{\frac {1}{r}}\quad {\text{avec}}\quad 1\leq p,q,r\leq \infty .$

Alors le produit de convolution $f\ast g$ appartient à L^r et

$\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Démonstration

Notons $q':={\frac {q}{q-1}}$ l'exposant conjugué de $q$ (c.-à-d. que 1/q + 1/q' = 1) et $h(x,y):=|f(x-y)|^{p/r}|g(y)|$. Ainsi,

$|f(x-y)g(y)|=h(x,y)|f(x-y)|^{p/q'}$

donc, d'après l'inégalité de Hölder,

$|f\ast g\left(x\right)|\leq \|h(x,\cdot )\|_{q}\|f(x-\cdot )^{p/q'}\|_{q'}=\|h(x,\cdot )\|_{q}\|f\|_{p}^{p/q'},$

si bien que (en excluant le cas immédiat $r=\infty$)

$\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \|h(x,\cdot )\|_{q}^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}=\|f\|_{p}^{p/q'}\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{1/r}.$

Or d'après l'inégalité intégrale de Minkowski,

$\left(\int \left(\int h(x,y)^{q}\,\mathrm {d} y\right)^{r/q}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\leq \int \left(\int h(x,y)^{r}\,\mathrm {d} x\right)^{q/r}\,\mathrm {d} y=\int \|f(\cdot -y)\|_{p}^{pq/r}|g(y)|^{q}\,\mathrm {d} y=\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}.$

On peut ainsi conclure :

$\|f\ast g\|_{r}\leq \|f\|_{p}^{p/q'}\left(\|f\|_{p}^{pq/r}\|g\|_{q}^{q}\right)^{1/q}=\|f\|_{p}\|g\|_{q}.$

Plus précisément, pour des fonctions sur $\mathbb {R} ^{n}$,

$\|f\ast g\|_{r}\leq c_{p,q}^{n}\|f\|_{p}\|g\|_{q}$,

avec $c_{p,q}:=A_{p}A_{q}/A_{r}$ et $A_{p}:={\sqrt {p^{1/p}/p'^{1/p'}}}$ pour $p,p'$ conjugués (donc A₁ = 1 mais si p, q > 1 alors c_p,q < 1).

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Inégalité de Young » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Inégalité de Babenko-Beckner (en)
• Inégalité de Brascamp-Lieb (en)
• Théorème de Riesz-Thorin