Classification des groupes simples finis

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En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, la classification des groupes simples finis, aussi appelée le théorème énorme, est un ensemble de travaux, principalement publiés entre environ 1955 et 1983, qui a pour but de classer tous les groupes simples finis. En tout, cet ensemble comprend des dizaines de milliers de pages publiées dans 500 articles par plus de 100 auteurs.

La classification[modifier | modifier le code]

Article détaillé : liste des groupes finis simples.

Dans l'étude de la classification des groupes finis simples, les mathématiciens ont été amenés à découvrir des êtres mathématiques inattendus qu'ils appelèrent des groupes sporadiques pour marquer qu'ils n'apparaissent dans aucune des listes générales. Si elle est correcte, la classification montre que chaque groupe fini simple est de l'un des types suivants :

Le théorème a des applications dans beaucoup de branches de mathématiques, les questions sur les groupes finis pouvant souvent se réduire à des questions sur les groupes finis simples, et donc à une énumération de cas.

Quelquefois le groupe de Tits est regardé comme un groupe sporadique (dans ce cas, il existe 27 groupes sporadiques) parce qu'il n'est pas à strictement parler un groupe de type de Lie.

Doutes sur la démonstration[modifier | modifier le code]

En raison de la longueur, de la complexité du travail publié et de la non publication d'une partie des éléments de preuves, certains doutes persistent[réf. nécessaire] quant à la complétude et à la correction de la démonstration. Jean-Pierre Serre est l'un sceptique les plus notables quant à sa pertinence.[réf. nécessaire]

Pendant plus d'une décennie, les experts (parmi lesquels Michael Aschbacher) ont émis un « doute sérieux » à propos de la classification (non publiée) des groupes quasi-minces (en) de Geoff Mason. En 1983, Daniel Gorenstein (en) put annoncer la fin du processus de classification des groupes finis simples, basée en partie sur l'affirmation que le cas quasi-mince était achevé. Pour clore le débat, Aschbacher leva ce doute au début des années 1990, sans publier cependant son résultat. Finalement, Aschbacher en collaboration avec Stephen D. Smith (de) publia une démonstration différente en deux volumes d'environ 1 300 pages.

Une classification de deuxième génération[modifier | modifier le code]

Reprochant l'extrême longueur de la démonstration de classification des groupes simples finis, des travaux, dits « révisionnistes », conduits à l'origine par Daniel Gorenstein, ont recherché une démonstration plus simple. Cette démarche fut appelée démonstration de classification de deuxième génération.

Six volumes ont été publiés en 2005 et des manuscrits pour la plupart du reste de la démonstration existent. Les deux volumes d'Aschbacher et de Smith ont été écrits dans le but de fournir une démonstration pour le cas quasi-mince qui fonctionnerait aussi bien pour la démonstration de première que pour la démonstration de la deuxième génération. Il a été estimé que la nouvelle démonstration se montera à approximativement 5 000 pages lorsqu'elle sera complète. Les nouvelles démonstrations ont été écrites dans un style plus prolixe.

Gorenstein et ses collaborateurs ont donné plusieurs arguments pour l'existence d'une démonstration plus simple. Le plus pertinent est que l'énoncé final et correct est maintenant connu, donc les résultats intermédiaires nécessitent seulement de pouvoir s'appliquer aux groupes que nous connaissons pour pouvoir être exhaustifs. En revanche, au cours du processus original de démonstration, comme personne ne savait combien il y avait de groupes sporadiques, certains (par exemple, les groupes de Janko) n'ayant été découverts que lors du processus d'élaboration de la démonstration du théorème de classification, il fut nécessaires d'appliquer les techniques les plus générales.

D'autre part, comme le résultat final et son énoncé étaient inconnus à l'origine et ce pendant une longue période, la démonstration de première génération fut la somme de théorèmes complets et séparés, classifiant des sous-cas importants. La plus grosse partie du travail original a donc été consacrée à l'analyse de nombreux cas spécifiques. Éléments d'une démonstration plus large, bon nombre de ces cas particuliers ont pu être mis en veilleuse jusqu'à ce que des propositions plus puissantes les englobent. Cette révision a un prix, à savoir que les théorèmes de première génération dépendent de la classification complète, perdant ainsi leur démonstration courte.

En outre, bon nombre de théorèmes de la première génération se recouvraient, divisant ainsi les cas possibles de façon sous-optimale. La démonstration révisée, quant à elle, vise à relier les différentes analyses de cas, pour en éliminer les redondances.

Enfin, les théoriciens des groupes finis ont acquis de l'expérience et ont élaboré des techniques plus efficaces.

Références[modifier | modifier le code]