Liste des groupes finis simples

En mathématiques, la classification des groupes finis simples établit que chacun de ces groupes est :

soit cyclique,
soit alterné,
soit membre d'une des seize familles de groupes de type de Lie (incluant le groupe de Tits),
soit l'un des 26 groupes sporadiques (le groupe de Tits est parfois inclus dans les groupes de type de Lie, d'autres fois dans les groupes sporadiques).

La liste ci-dessous recense les groupes finis simples en les organisant par famille et précise à chaque fois leur ordre, la taille de leur multiplicateur de Schur, celle de leur groupe d'automorphismes extérieurs et éventuellement certaines représentations habituelles. Les groupes finis simples sont déterminés par leur ordre, excepté les groupes B_n(q) et C_n(q) dont l'ordre est identique pour n > 2 et q impair, et les groupes A₈ (ou A₃(2)) et A₂(4) dont l'ordre est 20 160.

À titre de notation, dans cette liste, n désigne un entier strictement positif, p un nombre premier et q une puissance entière de p. L'ordre du groupe d'automorphismes extérieurs est donné sous la forme d·f·g, où d est l'ordre du groupe des automorphismes diagonaux, f est celui du groupe d'automorphismes de corps (engendrés par un automorphisme de Frobenius) et g celui du groupe des automorphismes de graphe (provenant des automorphismes du diagramme de Dynkin).

Familles infinies[modifier | modifier le code]

Groupes cycliques Z_p, p premier[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe cyclique.

Notation : ℤ_p ou ℤ/pℤ

Simplicité : tous simples.

Ordre : p.

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : cyclique d'ordre p-1.

Remarque : parmi les groupes simples, les groupes cycliques d'ordre premier sont les seuls abéliens, donc non parfaits.

Groupes alternés A_n, n ≥ 5[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe alterné.

Notation : A_n. Il existe un conflit avec la notation des groupes de type de Lie A_n(q) qui n'ont aucun lien avec les groupes alternés ; certains auteurs utilisent des polices distinctes afin de les distinguer.

Simplicité : tous simples.

Ordre : n ! / 2.

Multiplicateur de Schur : 2 en général. Exceptions : ℤ₆ pour n = 6 ou 7.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 2 en général. Exception : pour n = 6, c'est le groupe de Klein (d'ordre 4).

Remarques :

A_n existe aussi pour n < 5 mais il est trivial pour n ≤ 2, A₃ est isomorphe à ℤ₃, A₄ est résoluble ;
A_n est un sous-groupe d'indice 2 du groupe symétrique S_n des permutations de n points dès n > 1 ;
A₆ est l'unique groupe simple d'ordre 360.

Groupes classiques[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley linéaires A_n(q)[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupes de Chevalley.

Notation : A_n(q)

Autres noms : groupes projectifs spéciaux linéaires, PSL_n₊₁(q), L_n₊₁(q), PSL(n+1,q), PSL_n₊₁(F_q)

Simplicité : A₁(2)≃S₃ et A₁(3)≃A₄ sont résolubles, les autres sont simples.

Ordre :

{1 \over (n+1,q-1)}q^{n(n+1)/2}\prod _{i=1}^{n}(q^{i+1}-1),

où $(a,b)$ désigne le PGCD de $a$ et $b$ .

Multiplicateur de Schur : pour les groupes simples, il est cyclique d'ordre (n+1, q − 1), excepté pour A₁(4) (ordre 2), A₁(9) (ordre 6), A₂(2) (ordre 2), A₂(4) (ordre 48, produit de groupes cycliques d'ordres 3, 4, 4), A₃(2) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour n = 1 ; (n+1, q − 1) ·f·2 pour n > 1, où q = p^f.

Isomorphismes (entre eux ou avec des groupes précédents) :

A₁(4) et A₁(5) sont isomorphes à A₅.
A₁(7) et A₂(2) sont isomorphes.
A₁(9) est isomorphe à A₆.
A₃(2) est isomorphe à A₈.

Remarques :

A_n(q) s'obtient à partir du groupe général linéaire GL_n₊₁(q) sur le corps fini F_q en prenant les éléments de déterminant 1 (ce qui donne le groupe spécial linéaire SL_n₊₁(q)) puis en quotientant par le centre.
Le plus petit groupe de cette famille qui soit simple et non isomorphe à un A_n est le groupe simple d'ordre 168, A₁(7)≃A₂(2).

Groupes de Chevalley orthogonaux B_n(q), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Simplicité : B₂(2)≃S₆ n'est ni simple, ni résoluble ; les autres sont simples.

Ordre :

{1 \over (2,q-1)}q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exceptions : 2 pour B₂(2)≃S₆, 2 pour B₃(2), 6 pour B₃(3).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1 pour q impair ou n>2 ; (2, q − 1) ·f·2 si q est pair et n=2, où q = p^f.

Autres noms : O_2n+1(q), Ω_2n+1(q) (pour q impair).

Remarques :

Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(2n+1) en prenant le noyau du déterminant et de l'application norme de spin.
B₁(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q).

Groupes de Chevalley symplectiques C_n(q), n ≥ 3[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre :

{1 \over (2,q-1)}q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}(q^{2i}-1)

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1) en général. Exception : 2 pour C₃(2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = p^f.

Autres noms : groupe projectif symplectique, PSp_2n(q), PSp_n(q) (non recommandé), S_2n(q).

Isomorphismes (avec des groupes précédents) : C_n(2^m) est isomorphe à B_n(2^m).

Remarques :

Ce groupe est obtenu à partir du groupe symplectique en 2n dimensions en quotientant par le centre.
C₁(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q).
C₂(q) existe aussi, mais est isomorphe à B₂(q).

Groupes de Chevalley orthogonaux D_n(q), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre :

{1 \over (4,q^{n}-1)}q^{n(n-1)}(q^{n}-1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)

Multiplicateur de Schur : l'ordre est (4,qⁿ-1), sauf pour D₄(2) (ordre 4). Cyclique pour n impair, abélien élémentaire (en) pour n pair.

Groupe d'automorphismes extérieurs :

(2, q − 1)²·f·6 pour n=4 (le groupe de diagramme d'automorphismes, inhabituellement grand, est isomorphe à S₃ et contient l'automorphisme de trialité (en)).
(2, q − 1)²·f·2 pour n>4 pair,
(4, qⁿ − 1)²·f·2 pour n impair,

où q = p^f.

Autres noms : O_2n⁺(q), PΩ_2n⁺(q).

Remarques :

Ce groupe est obtenu à partir du groupe orthogonal O(n,n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application norme de spin puis en quotientant par le centre.
D₂(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q)×A₁(q).
D₃(q) existe aussi, mais est isomorphe à A₃(q).

Groupes de Steinberg unitaires ²A_n(q²), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Autres noms : groupes de Chevalley tordus, groupes projectifs spéciaux unitaires (en).

Notations : ²A_n(q²), PSU_n+1(q), PSU(n+1,q), U_n+1(q), ²A_n(q), ²A_n(q,q²), pour n > 1.

Simplicité : ²A₂(2²) est résoluble (c'est une extension du groupe des quaternions par ℤ₃×ℤ₃), les autres sont simples.

Ordre :

{1 \over (n+1,q+1)}q^{n(n+1)/2}\prod _{i=1}^{n}(q^{i+1}-(-1)^{i+1})

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (n + 1, q + 1) pour les groupes simples, excepté pour ²A₃(2²) (ordre 2) ²A₃(3²) (ordre 36, produit de groupes cycliques d'ordres 3,3,4) et ²A₅(2²) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3)

Groupe d'automorphismes extérieurs : (n+1, q + 1) · f·1, où q² = p^f.

Isomorphisme : ²A₃(2²) est isomorphe à B₂(3).

Remarques :

Ce groupe s'obtient à partir du groupe unitaire en n+1 dimensions en prenant le sous-groupe des éléments de déterminant 1 puis en quotientant par le centre.
²A₁(q²) existe aussi mais il est résoluble.

Groupes de Steinberg orthogonaux ²D_n(q²), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre :

{1 \over (4,q^{n}+1)}q^{n(n-1)}(q^{n}+1)\prod _{i=1}^{n-1}(q^{2i}-1)

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre (4, qⁿ + 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (4, qⁿ + 1) ·f·1, où q² = p^f.

Autres noms : ²D_n(q), O_2n^–(q), PΩ_2n^–(q), groupe de Chevalley tordu.

Remarques :

Ce groupe s'obtient à partir du groupe orthogonal O(2n) en prenant le noyau du déterminant (ou l'invariant de Dickson en caractéristique 2) et de l'application de norme de spin puis en quotientant par le centre.
²D₂(q²) existe aussi, mais est isomorphe à A₁(q).
²D₃(q²) existe aussi, mais est isomorphe à ²A₃(q²).

Groupes de type de Lie exceptionnels[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E₆(q)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q³⁶(q¹²−1)(q⁹−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵−1)(q²−1) /(3,q-1)

Multiplicateur de Schur : (3,q − 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q − 1) ·f·2, où q = p^f.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : possède deux représentations de degré 27, et agit sur l'algèbre de Lie de dimension 78.

Groupes de Chevalley E₇(q)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q⁶³(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1) /(2,q-1).

Multiplicateur de Schur : (2,q − 1).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (2, q − 1) ·f·1, où q = p^f.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : possède une représentation de degré 56, et agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 133.

Groupes de Chevalley E₈(q)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q¹²⁰(q³⁰−1)(q²⁴−1)(q²⁰−1)(q¹⁸−1)(q¹⁴−1)(q¹²−1)(q⁸−1)(q²−1)

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où q = p^f.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarques :

Il agit sur l'algèbre de Lie correspondante de dimension 248.
E₈(3) contient le groupe de Thompson.

Groupes de Chevalley F₄(q)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q²⁴(q¹²−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q²−1).

Multiplicateur de Schur : trivial excepté pour F₄(2) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q impair, 1·f·2 pour q pair, où q = p^f.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : ces groupes agissent sur des algèbres de Jordan exceptionnelles de dimension 27, ce qui leur donne des représentations de degré 26. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 52.

Groupes de Chevalley G₂(q)[modifier | modifier le code]

Simplicité : G₂(2) n'est ni simple, ni résoluble (son sous-groupe dérivé, isomorphe au groupe simple ²A₂(3²), est d'indice 2) ; les autres sont simples.

Ordre : q⁶(q⁶−1)(q²−1).

Multiplicateur de Schur : trivial pour les groupes simples excepté pour G₂(3) (ordre 3) et G₂(4) (ordre 2).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1 pour q non puissance de 3, 1·f·2 pour q puissance de 3, où q = p^f.

Autre nom : groupe de Chevalley exceptionnel.

Remarque : ces groupes sont des groupes d'automorphismes des algèbres de Cayley de dimension 8 sur des corps finis, ce qui leur donne des représentations de degré 7. Ils agissent aussi sur les algèbres de Lie correspondantes de dimension 14.

Groupes de Steinberg ²E₆(q²)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q³⁶(q¹²−1)(q⁹−1)(q⁸−1)(q⁶−1)(q⁵−1)(q²−1)/(3,q+1).

Multiplicateur de Schur : (3, q + 1) excepté pour ²E₆(2²) (ordre 12, produit de groupes cycliques d'ordres 2,2,3).

Groupe d'automorphismes extérieurs : (3, q + 1) ·f·1, où q² = p^f.

Autres noms : ²E₆(q), groupe de Chevalley tordu.

Remarques : un des revêtements (en) doubles exceptionnels de ²E₆(2²) est un sous-groupe du groupe Bébé Monstre, et l'extension centrale exceptionnelle par le groupe de Klein est un sous-groupe du groupe Monstre.

Groupes de Steinberg ³D₄(q³)[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q¹²(q⁸+q⁴+1)(q⁶−1)(q²−1).

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où q³ = p^f.

Autres noms : ³D₄(q), groupes de Chevalley tordus.

Remarque : ³D₄(2³) agit sur l'unique réseau pair à 26 dimensions de déterminant 3 sans racine.

Groupes de Suzuki ²B₂(2²ⁿ⁺¹), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q²(q²+1)(q−1), où q = 2²ⁿ⁺¹.

Multiplicateur de Schur : trivial en général. Exception : groupe de Klein pour ²B₂(8).

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.

Autres noms : Suz(2²ⁿ⁺¹), Sz(2²ⁿ⁺¹).

Remarques :

Les groupes de Suzuki sont des groupes de Zassenhaus (en) agissant sur les ensembles de taille (2²ⁿ⁺¹)²+1, et ont des représentations de degré 4 sur le corps à 2²ⁿ⁺¹ éléments. Ce sont les seuls groupes simples non cycliques dont l'ordre n'est pas divisible par 3. Ils ne sont pas reliés au groupe de Suzuki sporadique.
Le groupe ²B₂(2) existe aussi, mais c'est le groupe de Frobenius d'ordre 20, résoluble.

Groupes de Ree ²F₄(2²ⁿ⁺¹) et groupe de Tits[modifier | modifier le code]

Simplicité : simple pour n ≥ 1. Le groupe dérivé ²F₄(2)′ (d'indice 2 dans ²F₄(2)) est simple ; c'est le groupe de Tits.

Ordre : ²F₄(2²ⁿ⁺¹) est d'ordre q¹²(q⁶+1)(q⁴−1)(q³+1)(q−1), où q = 2²ⁿ⁺¹.

Multiplicateur de Schur : trivial pour n ≥ 1 et pour le groupe de Tits.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1. Ordre 2 pour le groupe de Tits.

Remarque : le groupe de Tits n'est pas à strictement parler un groupe de type Lie et en particulier, il n'est pas le groupe de points d'un groupe algébrique simple connexe à valeurs dans un certain corps et n'a pas de paire (B,N). Néanmoins, la plupart des auteurs le comptent comme une sorte de groupe de type Lie honoraire.

Groupes de Ree ²G₂(3²ⁿ⁺¹), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Simplicité : tous simples.

Ordre : q³(q³+1)(q−1), où q = 3²ⁿ⁺¹.

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : 1·f·1, où f = 2n+1.

Autres noms : Ree(3²ⁿ⁺¹), R(3²ⁿ⁺¹).

Remarques :

²G₂(3²ⁿ⁺¹) possède une action doublement transitive sur 3^3(2n+1)+1 points et une représentation de degré 7 sur le corps à 3²ⁿ⁺¹ éléments.
²G₂(3) existe aussi mais n'est pas simple ; son groupe dérivé (d'indice 3) est le groupe simple A₁(8).

Groupes sporadiques[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe sporadique.

Groupes de Mathieu[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Mathieu.

Groupe de Mathieu M₁₁[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁴ · 3² · 5 · 11=7 920

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 4-transitif sur 11 points, et le stabilisateur d'un point dans M₁₂. Le sous-groupe fixant un second point est quelquefois appelé M₁₀, et possède un sous-groupe d'indice 2 isomorphe au groupe alterné A₆.

Groupe de Mathieu M₁₂[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁶ · 3³ · 5 · 11 = 95 040

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : c'est un groupe de permutations 5-transitif sur 12 points.

Groupe de Mathieu M₂₂[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 = 443 520

Multiplicateur de Schur : cyclique d'ordre 12. Il y a eu plusieurs erreurs dans les calculs initiaux du multiplicateur de Schur, ainsi certains livres et articles anciens listent des valeurs incorrectes.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : c'est un groupe de permutations 3-transitif sur 22 points.

Groupe de Mathieu M₂₃[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁷ · 3² · 5 · 7 · 11 · 23 = 10 200 960

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 4-transitif sur 23 points, contenu dans M₂₄.

Groupe de Mathieu M₂₄[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹⁰ · 3³ · 5 · 7 · 11 · 23 = 244 823 040

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphisme extérieur : trivial.

Remarque : c'est un groupe de permutations 5-transitif sur 24 points.

Groupes du réseau de Leech[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Réseau de Leech et Groupes de Conway.

Groupe de Janko J₂[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Janko.

Ordre : 2⁷ · 3³ · 5² · 7 = 604 800

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Hall-Janko, HJ

Remarque : c'est le groupe d'automorphismes d'un graphe de rang 3 sur 100 points, et il est contenu dans G₂(4).

Groupe de Conway Co₁[modifier | modifier le code]

Ordre : 2²¹ · 3⁹ · 5⁴ · 7² · 11 · 13 · 23 = 4 157 776 806 543 360 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·1

Remarque : le revêtement (en) double parfait de Co₁ est le groupe d'automorphismes du réseau de Leech, et est quelquefois noté par ·0.

Groupe de Conway Co₂[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹⁸ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11 · 23 = 42 305 421 312 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·2

Remarque : c'est un sous-groupe de Co₁ qui fixe un vecteur de norme 4 dans le réseau de Leech.

Groupe de Conway Co₃[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹⁰ · 3⁷ · 5³ · 7 · 11 · 23 = 495 766 656 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : ·3

Remarque : c'est un sous-groupe de Co₁ qui fixe un vecteur de norme 6 dans le réseau de Leech.

Groupe de Higman-Sims HS[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Higman-Sims.

Ordre : 2⁹ · 3² · 5³· 7 · 11 = 44 352 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : il agit comme un groupe de permutations de rang 3 sur le graphe de Higman-Sims à 100 points et est contenu dans Co₃.

Groupe de McLaughlin McL[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁷ · 3⁶ · 5³· 7 · 11 = 898 128 000

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : il agit comme un groupe de permutations de rang 3 sur le graphe de McLauglin à 275 points et est contenu dans Co₃.

Groupe de Suzuki sporadique Suz[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹³ · 3⁷ · 5²· 7 · 11 · 13 = 448 345 497 600

Multiplicateur de Schur : ℤ₆.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autre nom : Sz.

Remarque : l'extension de Suz par ℤ₆ agit sur un réseau à 12 dimensions sur les entiers d'Eisenstein. Il n'est pas relié aux groupes de Suzuki de type de Lie.

Sous-groupes du Monstre[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Fischer.

Groupe de Fischer Fi₂₂[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹⁷ · 3⁹ · 5² · 7 · 11 · 13 = 64 561 751 654 400

Multiplicateur de Schur : ordre 6.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autre nom : M₂₂

Remarque : c'est un groupe de 3-transpositions (en) dont le revêtement double est contenu dans Fi₂₃.

Groupe de Fischer Fi₂₃[modifier | modifier le code]

Ordre : 2¹⁸ · 3¹³ · 5² · 7 · 11 · 13 · 17 · 23 = 4 089 470 473 293 005 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autre nom : M(23).

Remarque : c'est un groupe de 3-transpositions contenu dans Fi₂₄.

Groupe de Fischer Fi₂₄′[modifier | modifier le code]

Ordre : 2²¹ · 3¹⁶ · 5² · 7³ · 11 · 13 · 17 · 23 · 29 = 1 255 205 709 190 661 721 292 800

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : M(24)′, Fi₂₄′.

Remarque : le revêtement triple est contenu dans le groupe Monstre.

Groupe de Held He[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Held.

Ordre : 2¹⁰ · 3³ · 5²· 7³· 17 = 4 030 387 200

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Held (de)-Higman-McKay, HHM, F₇.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 7 dans le groupe Monstre.

Groupe de Harada-Norton HN[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Harada-Norton.

Ordre : 2¹⁴ · 3⁶ · 5⁶ · 7 · 11 · 19 = 273 030 912 000 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : F₅, D.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 5 dans le groupe Monstre.

Groupe de Thompson Th[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Thompson.

Ordre : 2¹⁵ · 3¹⁰ · 5³ · 7² · 13 · 19 · 31 = 90 745 943 887 872 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : F₃, E.

Remarque : il centralise un élément d'ordre 3 dans le Monstre et est contenu dans E₈(3).

Groupe Bébé Monstre B[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe Bébé Monstre.

Ordre : 2⁴¹ · 3¹³ · 5⁶ · 7² · 11 · 13 · 17 · 19 · 23 · 31 · 47 = 4 154 781 481 226 426 191 177 580 544 000 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autre nom : F₂.

Remarque : le double revêtement du groupe Bébé Monstre est contenu dans le groupe Monstre.

Groupe Monstre M[modifier | modifier le code]

Articles détaillés : Groupe Monstre et Conjecture Monstrous Moonshine.

Notations : M, F₁, M₁.

Autres noms : groupe de Fischer-Griess, monstre de Fischer, Géant amical.

Ordre : 2⁴⁶ · 3²⁰ · 5⁹ · 7⁶ · 11² · 13³ · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71 = 808 017 424 794 512 875 886 459 904 961 710 757 005 754 368 000 000 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarques : le groupe Monstre est le groupe d'automorphismes de l'algèbre de Griess (en) à 196 884 dimensions et de l'algèbre vertex monstre ; il agit naturellement sur l'algèbre de Lie Monstre (en). Il contient quasiment tous les autres groupes sporadiques, à part 6 groupes sporadiques que l'on nomme parias.

Parias[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Janko.

Groupe de Janko J₁[modifier | modifier le code]

Ordre : 2³ · 3 · 5 · 7 · 11 · 19 = 175 560

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Autres noms : J(1), J(11).

Remarque : c'est un sous-groupe de G₂(11), donc il possède une représentation de degré 7 sur le corps à 11 éléments.

Groupe de Janko J₃[modifier | modifier le code]

Ordre : 2⁷ · 3⁵ · 5 · 17 · 19 = 50 232 960

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Autres noms : Groupe de Higman-Janko-McKay, HJM.

Remarques : J₃ semble ne pas être relié à un quelconque groupe sporadique. Son revêtement triple possède une représentation de degré 9 sur le corps à 4 éléments.

Groupe de Janko J₄[modifier | modifier le code]

Ordre : 2²¹ · 3³ · 5 · 7 · 11³ · 23 · 29 · 31 · 37 · 43 = 86 775 571 046 077 562 880

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : il possède une représentation de degré 112 sur le corps à 2 éléments.

Groupe de O'Nan O'N[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de O'Nan.

Notation : O'N, O'NS.

Autre nom : groupe de O'Nan (de)-Sims.

Ordre : 2⁹ · 3⁴ · 5 · 7³ · 11 · 19 · 31 = 460 815 505 920

Multiplicateur de Schur : ordre 3.

Groupe d'automorphismes extérieurs : ordre 2.

Remarque : le revêtement triple possède deux représentations de degré 45 sur le corps à 7 éléments, échangés par un automorphisme extérieur.

Groupe de Rudvalis Ru[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Rudvalis.

Ordre : 2¹⁴ · 3³ · 5³· 7 · 13 · 29 = 145 926 144 000

Multiplicateur de Schur : ordre 2.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : le revêtement double agit sur un réseau à 28 dimensions sur les entiers de Gauss.

Groupe de Lyons Ly[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Groupe de Lyons.

Notations : Ly, LyS.

Autre nom : groupe de Lyons-Sims.

Ordre : 2⁸ · 3⁷ · 5⁶ · 7 · 11 · 31 · 37 · 67 = 51 765 179 004 000 000

Multiplicateur de Schur : trivial.

Groupe d'automorphismes extérieurs : trivial.

Remarque : il possède une représentation de degré 111 sur le corps à 5 éléments.

Liste par ordre croissant[modifier | modifier le code]

La liste suivante recense les groupes simples finis non cycliques d'ordre inférieur à 10 000. Les groupes cycliques ne sont pas inclus dans cette liste dans la mesure où tout groupe cyclique d'ordre p est simple dès que p est premier, ce qui est le cas pour 1 229 nombres inférieurs à 10 000.

Groupe	Ordre (valeur)	Ordre (factorisation)
A₅ = A₁(4) = A₁(5)	60	2² · 3 · 5
A₁(7) = A₂(2)	168	2³ · 3 · 7
A₆ = A₁(9) = B₂(2)′	360	2³ · 3² · 5
A₁(8) = ²G₂(3)′	504	2³ · 3² · 7
A₁(11)	660	2² · 3 · 5 · 11
A₁(13)	1 092	2² · 3 · 7 · 13
A₁(17)	2 448	2⁴ · 3² · 17
A₇	2 520	2³ · 3² · 5 · 7
A₁(19)	3 420	2² · 3² · 5 · 19
A₁(16)	4 080	2⁴ · 3 · 5 · 17
A₂(3)	5 616	2⁴ · 3³ · 13
²A₂(9)	6 048	2⁵ · 3³ · 7
A₁(23)	6 072	2³ · 3 · 11 · 23
A₁(25)	7 800	2³ · 3 · 5² · 13
M₁₁	7 920	2⁴ · 3² · 5 · 11
A₁(27)	9 828	2² · 3³ · 7 · 13

Références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « List of finite simple groups » (voir la liste des auteurs).
Lluis Puig, La classification des groupes finis simples : bref aperçu et quelques conséquences internes, Séminaire Bourbaki 24 (1981-1982), Exposé No. 584, p. 101-128
(en) Daniel Gorenstein, Richard Lyons, Ronald Solomon, The Classification of the Finite Simple Groups (volume 1), AMS, 1994 (volume 2), AMS
(en) J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker et R. A. Wilson, ATLAS of Finite Groups, OUP, 1985, 252 p. (ISBN 978-0-19-853199-9, lire en ligne) version électronique
(en) Roger W. Carter (en), Simple Groups of Lie Type, (ISBN 9780471506836)

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Groupes finis de Coxeter

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) D. Madore, « Orders of non abelian simple groups », 22 janvier 2003

Portail de l’algèbre

Familles infinies[modifier | modifier le code]

Groupes cycliques Zp, p premier[modifier | modifier le code]

Groupes alternés An, n ≥ 5[modifier | modifier le code]

Groupes classiques[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley linéaires An(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley orthogonaux Bn(q), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley symplectiques Cn(q), n ≥ 3[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley orthogonaux Dn(q), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg unitaires 2An(q2), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg orthogonaux 2Dn(q2), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Groupes de type de Lie exceptionnels[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E6(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E7(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E8(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley F4(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley G2(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg 2E6(q2)[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg 3D4(q3)[modifier | modifier le code]

Groupes de Suzuki 2B2(22n+1), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Groupes de Ree 2F4(22n+1) et groupe de Tits[modifier | modifier le code]

Groupes de Ree 2G2(32n+1), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Groupes sporadiques[modifier | modifier le code]

Groupes de Mathieu[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M11[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M12[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M22[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M23[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M24[modifier | modifier le code]

Groupes du réseau de Leech[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J2[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co1[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co2[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co3[modifier | modifier le code]

Groupe de Higman-Sims HS[modifier | modifier le code]

Groupe de McLaughlin McL[modifier | modifier le code]

Groupe de Suzuki sporadique Suz[modifier | modifier le code]

Sous-groupes du Monstre[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi22[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi23[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi24′[modifier | modifier le code]

Groupe de Held He[modifier | modifier le code]

Groupe de Harada-Norton HN[modifier | modifier le code]

Groupe de Thompson Th[modifier | modifier le code]

Groupe Bébé Monstre B[modifier | modifier le code]

Groupe Monstre M[modifier | modifier le code]

Parias[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J1[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J3[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J4[modifier | modifier le code]

Groupe de O'Nan O'N[modifier | modifier le code]

Groupe de Rudvalis Ru[modifier | modifier le code]

Groupe de Lyons Ly[modifier | modifier le code]

Liste par ordre croissant[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

Groupes cycliques Z_p, p premier[modifier | modifier le code]

Groupes alternés A_n, n ≥ 5[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley linéaires A_n(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley orthogonaux B_n(q), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley symplectiques C_n(q), n ≥ 3[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley orthogonaux D_n(q), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg unitaires ²A_n(q²), n ≥ 2[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg orthogonaux ²D_n(q²), n ≥ 4[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E₆(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E₇(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley E₈(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley F₄(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Chevalley G₂(q)[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg ²E₆(q²)[modifier | modifier le code]

Groupes de Steinberg ³D₄(q³)[modifier | modifier le code]

Groupes de Suzuki ²B₂(2²ⁿ⁺¹), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Groupes de Ree ²F₄(2²ⁿ⁺¹) et groupe de Tits[modifier | modifier le code]

Groupes de Ree ²G₂(3²ⁿ⁺¹), n ≥ 1[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M₁₁[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M₁₂[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M₂₂[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M₂₃[modifier | modifier le code]

Groupe de Mathieu M₂₄[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J₂[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co₁[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co₂[modifier | modifier le code]

Groupe de Conway Co₃[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi₂₂[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi₂₃[modifier | modifier le code]

Groupe de Fischer Fi₂₄′[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J₁[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J₃[modifier | modifier le code]

Groupe de Janko J₄[modifier | modifier le code]