Groupe de Steinberg (K-théorie)

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Dans le domaine mathématique de la K-théorie algébrique, le groupe de Steinberg St(A) d'un anneau unitaire A est un groupe défini par générateurs et relations, à partir de certaines relations vérifiées par les matrices élémentaires de transvections. Il est nommé d'après Robert Steinberg[1] et est relié aux premiers groupes de K-théorie, en particulier K2 et K3.

Relations de Steinberg[modifier | modifier le code]

Les matrices élémentaires de transvections epq(λ) pour pq — avec des 1 sur la diagonale, un coefficient λ en position (p, q), et des 0 partout ailleurs — vérifient les relations suivantes, appelées relations de Steinberg :

\begin{align}
e_{ij}(\lambda)e_{ij}(\mu)&=e_{ij}(\lambda+\mu),\\
\left[e_{ij}(\lambda),e_{jk}(\mu)\right]&=e_{ik}(\lambda\mu)&\text{si }i\ne k,\\
\left[e_{ij}(\lambda),e_{kl}(\mu)\right]&= \mathbf{1}&\text{si }i\ne l\text{ et }j\ne k.
\end{align}

Le groupe de Steinberg « stable » St(A) est défini par les générateurs xij(λ) (i, j ∈ ℕ*, ij, λ ∈ A), soumis à ces relations. C'est la limite inductive des groupes de Steinberg « non stables » Stn(A), définis de même mais pour i, jn.

Le groupe général linéaire « stable » GL(A) est défini comme la réunion croissante des GL(n, A), via l'identification de toute matrice carrée M de taille n à la matrice diagonale par blocs diag(M, 1), de taille n + 1. Par construction, il existe un unique morphisme de groupes φ : St(A) → GL(A) qui envoie les xij(λ) sur les eij(λ).

D'après le lemme de Whitehead, l'image de φ est le groupe dérivé de GL(A), c'est-à-dire que les matrices élémentaires de transvections engendrent, dans GL(A), le même sous-groupe que les commutateurs. Ce sous-groupe est noté E(A).

Liens avec la K-théorie[modifier | modifier le code]

K1[modifier | modifier le code]

Le groupe K1(A) est défini comme l'abélianisé de GL(A), c'est-à-dire le quotient de GL(A) par son sous-groupe dérivé E(A). Autrement dit, c'est le conoyau de φ.

K2[modifier | modifier le code]

Milnor[2],[3] a défini K2(A) comme le centre de St(A).

C'est aussi le noyau du morphisme φ : St(A) → GL(A), de sorte qu'on a une suite exacte

1 → K2(A) → St(A) → E(A) → 1.

Cette suite est en fait l'extension centrale universelle du groupe parfait E(A). Autrement dit, K2(A) est le multiplicateur de Schur de E(A). Il s'écrit donc aussi comme un groupe d'homologie : K2(A) = H2(E(A), ℤ).

K3[modifier | modifier le code]

Gersten[4] a démontré que K3(A) = H3(St(A), ℤ).

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Steinberg group (K-theory) » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Robert Steinberg, Lectures on Chevalley Groups, Yale University,‎ 1968 (lire en ligne)
  2. (en) John Willard Milnor, Introduction to algebraic K-theory, PUP, coll. « Annals of Mathematics Studies » (no 72),‎ 1971 (lire en ligne)
  3. Voir aussi : K-théorie de Milnor.
  4. (en) S. M. Gersten, « K3 of a Ring is H3 of the Steinberg Group », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 37, no 2,‎ 1973, p. 366-368 (lire en ligne)