Multiplicateur de Schur

En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

$H_2(G, {\Bbb Z})\,$.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

$G \simeq F/R$,

alors par la formule intégrale d'homologie de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à

$(R \cap [F, F])/[F, R]$,

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs

$aba^{-1}b^{-1}\,$

pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

$H^2(G, \Bbb{C}^\times)$

où G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe parfait possède une seule extension centrale (en) parfaite maximale, ou groupe universel de revêtement, dont le centre contient le multiplicateur de Schur et dont le quotient par celui-ci est le groupe parfait.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur, peut être considéré comme le début de la cohomologie des groupes.

Références

• Karpilovsky, Gregory: The Schur Multiplier, Oxford University Press, 1987, ISBN 0-19-853554-6.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur multiplier » (voir la liste des auteurs)