Multiplicateur de Schur

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En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, le multiplicateur de Schur est le deuxième groupe d'homologie d'un groupe G à coefficients entiers,

H_2(G, {\Bbb Z})\,.

Si le groupe est présenté en termes d'un groupe libre F sur un ensemble de générateurs, et d'un sous-groupe normal R engendré par un ensemble de relations sur les générateurs, de sorte que

G \simeq F/R,

alors par la formule intégrale d'homologie de Hopf, le multiplicateur de Schur est isomorphe à

(R \cap [F, F])/[F, R],

où [A, B] est le sous-groupe engendré par les commutateurs

aba^{-1}b^{-1}\,

pour a dans A et b dans B. Il peut aussi être exprimé en termes de cohomologie, comme

H^2(G, \Bbb{C}^\times)

G agit trivialement sur le groupe multiplicatif des nombres complexes non nuls.

Les multiplicateurs de Schur sont d'un intérêt particulier lorsque G est un groupe parfait (un groupe égal à son sous-groupe dérivé). Un groupe G possède une extension centrale universelle (i.e. initiale – donc unique) p : EG si et seulement s'il est parfait. De plus, E est alors lui aussi parfait et ker(p) est le multiplicateur de Schur de G[1]. Plus explicitement, si le groupe parfait G a une présentation F/R comme ci-dessus, son extension centrale universelle est 1 → (R∩[F, F])/[F, R] → [F, F]/[F, R] → G → 1.

L'étude du multiplicateur de Schur, due à Issai Schur[2],[3],[4], peut être considérée comme le début de la cohomologie des groupes.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Robert Steinberg, Lectures on Chevalley Groups, Yale University,‎ 1968 (lire en ligne), p. 74-78
  2. (de) J. Schur, « Über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », Journal für die reine und angewandte Mathematik, vol. 127,‎ 1904, p. 20-50 (lire en ligne)
  3. (de) J. Schur, « Untersuchungen über die Darstellung der endlichen Gruppen durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 132,‎ 1907, p. 85-137 (lire en ligne)
  4. (de) J. Schur, « Über die Darstellung der symmetrischen und der alternierenden Gruppe durch gebrochene lineare Substitutionen », J. reine angew. Math., vol. 139,‎ 1911, p. 155-250 (lire en ligne)