Lemme de Whitehead

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Le lemme de Whitehead, nommé d'après J. H. C. Whitehead[1],[2], est un lemme d'algèbre abstraite qui permet de décrire le sous-groupe dérivé du groupe général linéaire infini d'un anneau unitaire[3],[4]. Il est utilisé en K-théorie algébrique[5],[6].

Notations[modifier | modifier le code]

Soit R un anneau unitaire.

Le groupe des matrices inversibles de taille n à coefficients dans R est noté GL(n, R) et la réunion croissante de ces groupes est notée GL(R).

Le sous-groupe de GL(n, R) engendré par les matrices élémentaires de transvections est noté E(n, R). Le sous-groupe de GL(R) constitué de la réunion des E(n, R) est noté E(R).

Dans un groupe G, le sous-groupe dérivé (engendré par les commutateurs [x, y] = xyx−1y−1) sera noté ici [G, G].

Énoncés[modifier | modifier le code]

Divers énoncés portent en fait le nom de « lemme de Whitehead » :

  1. Pour toutes matrices A et B dans GL(n, R),
    \begin{pmatrix}AB&0\\0&I_n\end{pmatrix}\in\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}~{\rm E}(2n,R),[7]
    autrement dit : pour toute matrice B dans GL(n, R),
\begin{pmatrix}B&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}\in{\rm E}(2n,R).
  1. Le groupe dérivé du groupe linéaire infini est le sous-groupe engendré par les matrices élémentaires de transvections[1],[4],[5] :
    [GL(R), GL(R)] = E(R).
  2. De plus, ce sous-groupe est parfait : [E(R), E(R)] = E(R).

Remarques[modifier | modifier le code]

L'analogue des énoncés 2 et 3 pour GL(n, R) et E(n, R) est faux, par exemple pour R égal au corps fini ℤ/2ℤ et pour n = 2 : GL(2, ℤ/2ℤ) est non abélien et d'ordre 6, donc isomorphe au groupe symétrique S3, dont le groupe dérivé est le sous-groupe alterné A3, alors que E(2, ℤ/2ℤ) est égal à GL(2, ℤ/2ℤ) tout entier.

Cependant :

Le premier de ces trois points assure que E(R) = [E(R), E(R)] ⊂ [GL(R), GL(R)]. Pour l'inclusion réciproque de [GL(R), GL(R)] dans E(R), il suffit d'utiliser l'énoncé 1 ci-dessus du « lemme de Whitehead » et l'égalité

\begin{pmatrix}[A,B]&0\\0&I_n\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A&0\\0&A^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}B&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}(BA)^{-1}&0\\0&BA\end{pmatrix}.

L'énoncé 2 du lemme de Whitehead revient à dire que le sous-groupe E(R) est normal dans GL(R) et que le groupe quotient GL(R)/E(R) est l'abélianisé K1(R) de GL(R). Si l'anneau R est commutatif, on a un morphisme déterminant, de K1(R) dans le groupe R× des inversibles de R. Pour que ce soit un isomorphisme, il suffit que E(n, R) = SL(n, R) pour tout n assez grand[10], comme dans les « bons cas » ci-dessus, mais il ne suffit pas que R soit principal[11].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. a, b, c et d (en) John Milnor, « Whitehead torsion », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 72, no 3,‎ 1966, p. 358-426 (lire en ligne).
  2. (en) Tsit Yuen Lam, Serre's problem on projective modules, Springer,‎ 2006 (ISBN 978-3-540-34575-6, lire en ligne), p. 68.
  3. a et b Lam 2006, p. 52.
  4. a et b (en) Jonathan Rosenberg (de), Algebraic K-Theory and Its Applications, coll. « GTM » (no 147),‎ 1994 (ISBN 978-0-38794248-3, lire en ligne), p. 61.
  5. a et b (en) John Milnor, Introduction to algebraic K-theory, PUP, coll. « Annals of Mathematics Studies » (no 72),‎ 1971 (lire en ligne), p. 25.
  6. Rosenberg 1994, p. 62-63.
  7. a et b Lam 2006, p. 44.
  8. Lam 2006, p. 43.
  9. Lam 2006, p. 69.
  10. Lam 2006, p. 53.
  11. Rosenberg 1994, p. 75.