En physique , et plus précisément en thermodynamique , un gaz de Dieterici est un modèle de gaz qui a historiquement joué un rôle non négligeable car il confortait la théorie de la loi des états correspondants .
Équation d'état
L'équation d'état de Dieterici, semi-empirique, est de la forme extensive :
Forme extensive:
P
⋅
(
V
−
n
b
)
=
n
R
T
exp
(
−
n
a
V
R
T
)
{\displaystyle P\cdot \left(V-nb\right)=nRT\,\exp \!\left(-{na \over VRT}\right)}
avec :
P
{\displaystyle P}
la pression ;
T
{\displaystyle T}
la température ;
V
{\displaystyle V}
le volume ;
n
{\displaystyle n}
la quantité de matière ;
a
{\displaystyle a}
le terme de cohésion ;
b
{\displaystyle b}
le covolume ;
R
{\displaystyle R}
la constante universelle des gaz parfaits .
Elle peut aussi être écrite sous la forme :
P
⋅
(
V
−
N
b
′
)
=
N
k
B
T
exp
(
−
N
a
′
V
k
B
T
)
{\displaystyle P\cdot \left(V-Nb'\right)=Nk_{\text{B}}T\,\exp \!\left(-{Na' \over Vk_{\text{B}}T}\right)}
avec :
N
=
n
N
A
{\displaystyle N=nN_{\text{A}}}
le nombre de particules ;
a
′
=
a
N
A
2
{\displaystyle a'={a \over {N_{\text{A}}}^{2}}}
;
b
′
=
b
N
A
{\displaystyle b'={b \over N_{\text{A}}}}
;
k
B
{\displaystyle k_{\text{B}}}
la constante de Boltzmann ;
N
A
{\displaystyle N_{\text{A}}}
le nombre d'Avogadro .
Rappelons que
R
=
N
A
k
B
{\displaystyle R=N_{\text{A}}k_{\text{B}}}
.
En faisant apparaitre le volume molaire
V
¯
=
V
n
{\displaystyle {\bar {V}}={V \over n}}
on obtient la forme intensive :
Forme intensive :
P
⋅
(
V
¯
−
b
)
=
R
T
exp
(
−
a
V
¯
R
T
)
{\displaystyle P\cdot ({\bar {V}}-b)=RT\exp \!\left(-{a \over {\bar {V}}RT}\right)}
Enfin, en normant les divers termes :
Forme normée :
Z
−
B
=
exp
(
−
A
Z
)
{\displaystyle Z-B=\exp \!\left(-{A \over Z}\right)}
avec :
A
=
a
P
R
2
T
2
{\displaystyle A={aP \over R^{2}T^{2}}}
;
B
=
b
P
R
T
{\displaystyle B={bP \over RT}}
;
Z
=
P
V
¯
R
T
{\displaystyle Z={P{\bar {V}} \over RT}}
le facteur de compressibilité .
Équation réduite au point critique
Au point critique , les dérivées première et seconde de la pression en fonction du volume sont nulles. En effet, la courbe isotherme y atteint un point d'inflexion de tangente horizontale. Ainsi :
(
∂
P
∂
V
)
T
,
n
=
(
∂
2
P
∂
V
2
)
T
,
n
=
0
{\displaystyle \left({\partial P \over \partial V}\right)_{T,n}=\left({\partial ^{2}P \over \partial V^{2}}\right)_{T,n}=0}
Le point critique de ce gaz a pour coordonnées :
V
¯
c
=
2
b
{\displaystyle {\bar {V}}_{\text{c}}=2b}
le volume molaire critique ;
P
c
=
a
4
e
2
b
2
{\displaystyle P_{\text{c}}={a \over 4{\text{e}}^{2}b^{2}}}
la pression critique ;
T
c
=
a
4
R
b
{\displaystyle T_{\text{c}}={a \over 4Rb}}
la température critique[ 1] .
avec
e
{\displaystyle {\text{e}}}
le nombre e .
Le facteur de compressibilité critique vaut en conséquence :
Z
c
=
P
c
V
¯
c
R
T
c
=
2
e
2
≈
0,271
{\displaystyle Z_{\text{c}}={P_{\text{c}}{\bar {V}}_{\text{c}} \over RT_{\text{c}}}={2 \over {\text{e}}^{2}}\approx 0{,}271}
L'équation réduite du gaz de Dieterici par rapport à ce point critique est :
Forme réduite :
P
r
⋅
(
V
r
−
1
2
)
=
e
2
2
T
r
exp
(
−
2
V
r
T
r
)
{\displaystyle P_{\text{r}}\cdot \left(V_{\text{r}}-{1 \over 2}\right)={{\text{e}}^{2} \over 2}T_{\text{r}}\exp \!\left(-{2 \over V_{\text{r}}T_{\text{r}}}\right)}
avec les coordonnées réduites :
P
r
=
P
P
c
{\displaystyle P_{\text{r}}={P \over P_{\text{c}}}}
la pression réduite ;
T
r
=
T
T
c
{\displaystyle T_{\text{r}}={T \over T_{\text{c}}}}
la température réduite ;
V
r
=
V
V
c
{\displaystyle V_{\text{r}}={V \over V_{\text{c}}}}
le volume réduit.
Autres résultats
Son principal avantage est de donner une alternative transcendante au gaz de van der Waals , donnant des résultats légèrement différents pour la courbe de pression de vapeur saturante
P
sat
(
T
)
{\displaystyle P^{\text{sat}}\!\left(T\right)}
(qui peut être calculée selon la règle du palier de Maxwell ), la courbe d'inversion de l'effet Joule-Thomson , ou courbe de Joule, etc.
Notes et références
↑ R. Kubo , H. Ichimura , T. Usui et N. Hashitsume , « Thermodynamics », Journal of Applied Mechanics , vol. 36, no 2, 1er juin 1969 , p. 382–382 (ISSN 0021-8936 et 1528-9036 , DOI 10.1115/1.3564680 , lire en ligne , consulté le 3 janvier 2021 ) .