Loi des gaz parfaits

En physique, et plus particulièrement en thermodynamique, la loi des gaz parfaits, ou équation des gaz parfaits, est l'équation d'état applicable aux gaz parfaits. Elle a été établie en 1834 par Émile Clapeyron par combinaison de plusieurs lois des gaz établies antérieurement.

Historique[modifier | modifier le code]

Les premières lois physiques fondamentales relatives aux gaz sont énoncées entre le milieu du XVII^e siècle et le milieu du XVIII^e siècle, lorsque des savants constatent que certaines relations entre pression, volume et température demeurent vérifiées indépendamment de la nature du gaz. Les lois des gaz décrivent le comportement des gaz lorsqu'on maintient constant l'une des variables d'état volume, pression et température, et que l'on étudie comment les deux autres variables changent l'une en fonction de l'autre. Ces lois ne sont toutefois applicables qu'à des pressions modérées (moins de 10 atm), pour des gaz dits « parfaits ». La loi des gaz parfaits résume ces diverses lois en une seule formule : l'équation d'état des gaz parfaits^[1]^,^[2]^,^[3].

En 1824, Sadi Carnot combine deux des lois précédentes, celle de Boyle-Mariotte et celle de Gay-Lussac, en une loi unique qu'il écrit^[4]^,^[5] : $Pv=c\cdot \left(267+t\right)$ . $267$ est une approximation de l'inverse du coefficient de compressibilité précédemment mesuré par Gay-Lussac^[6]^,^[7]. En 1834, Émile Clapeyron reprend les travaux de Carnot et, combinant les deux mêmes lois, écrit^[8]^,^[9] : $Pv=R_{s}\cdot \left(267+t\right)$ , où $v$ est le volume massique, $t$ la température en degrés Celsius et 267 une valeur expérimentale. La constante $R_{s}$ est la constante spécifique du gaz parfait, propre à chaque gaz, exprimée en J K⁻¹ kg⁻¹. En 1850, Rudolf Clausius, en s'appuyant sur des données de Victor Regnault, réécrit la loi selon^[10] : $Pv=R_{s}\cdot \left(273+t\right)$ . En 1856 et 1857, August Krönig et Clausius obtiennent la loi dans le cadre de la théorie cinétique des gaz^[11]^,^[12]^,^[13]. En 1864, Clausius introduit la température absolue $T$ et écrit^[14] : $Pv=R_{s}T$ . En 1873, August Horstmann écrit la loi en utilisant le volume molaire au lieu du volume massique^[15]. La constante $R$ cesse alors d'être variable d'un gaz à l'autre et devient une constante universelle^[9]^,^[16]^,^[17].

Actuellement, à l'inverse, la loi des gaz parfaits est déduite de la théorie cinétique des gaz. Celle-ci est fondée sur un modèle de gaz idéal dont les particules constitutives (atomes ou molécules) sont réduites à des points matériels n'ayant entre eux d'autre relation que des chocs parfaitement élastiques. Les autres lois sont alors des conséquences de la loi des gaz parfaits.

Loi des gaz parfaits[modifier | modifier le code]

Énoncé général[modifier | modifier le code]

La loi des gaz parfaits, ou équation des gaz parfaits, s'écrit :

Loi des gaz parfaits :

PV=nRT

avec :

$P$ la pression (Pa) ;
$V$ le volume du gaz (m³) ;
$n$ la quantité de matière (mol) ;
$R$ la constante universelle des gaz parfaits ;
$T$ la température absolue (K).

Une formulation équivalente est donnée par :

PV=Nk_{\text{B}}T

avec :

$k_{\text{B}}$ la constante de Boltzmann ;
$N$ est le nombre de particules.

Les relations suivantes permettent de passer d'une forme à une autre :

N=n\cdot N_{\text{A}}

R=N_{\text{A}}\cdot k_{\text{B}}

avec $N_{\text{A}}$ le nombre d'Avogadro.

D'autre part, si le gaz parfait est composé de $k$ espèces différentes, chaque espèce $i$ étant représentée par une quantité $n_{i}$ , alors la loi des gaz parfaits s'écrit plus généralement :

Loi des gaz parfaits :

PV=\left(\sum _{i=1}^{k}n_{i}\right)RT

La loi des gaz parfaits n'est exacte que pour les gaz pour lesquels les effets des diverses interactions moléculaires sont négligeables (voir gaz réel). Les gaz rares, néon, argon, xénon répondent à cette loi. Les molécules diatomiques telles que l'hydrogène, l'azote ou l'oxygène en dévient peu. La loi s'applique mal aux molécules plus lourdes, comme le butane^[18]. Cependant, cette loi constitue une bonne approximation des propriétés de la plupart des gaz réels sous pression (moins de 10 atm) et température modérées.

Énoncé en météorologie[modifier | modifier le code]

La forme de la loi des gaz parfaits utilisée en météorologie est la suivante^[19] :

En météorologie :

P=\rho \left(c_{P}-c_{V}\right)T

avec :

$P$ la pression atmosphérique ;
$\rho$ la masse volumique de l'air ;
$c_{P}$ la capacité thermique isobare massique de l'air (~ 1005 J/(K·kg))^[20] ;
$c_{V}$ la capacité thermique isochore massique de l'air (= 5/7 $c_{P}$ )^[20] ;
$T$ est la température absolue.

La relation de Mayer pour un gaz parfait donne $c_{P}-c_{V}={R \over M}$ avec $M$ la masse molaire du gaz. La masse volumique du gaz vaut $\rho ={m \over V}$ , avec $m$ la masse de gaz dans le volume $V$ . La masse molaire du gaz est liée à la masse de gaz et à sa quantité de matière $n$ correspondante par $M={m \over n}$ . Ainsi, à partir de la loi des gaz parfaits :

P={1 \over V}\cdot n\cdot R\cdot T={\rho  \over {\bcancel {m}}}\cdot {{\bcancel {m}} \over {\cancel {M}}}\cdot \left[{\cancel {M}}\left(c_{P}-c_{V}\right)\right]\cdot T=\rho \left(c_{P}-c_{V}\right)T

Lois composant la loi des gaz parfaits[modifier | modifier le code]

Loi de Boyle-Mariotte[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de Boyle-Mariotte.

La loi de Boyle-Mariotte est souvent appelée « loi de Boyle » par les anglophones, « loi de Mariotte » ou « loi de Boyle-Mariotte » par les francophones. Elle fut établie en 1662 par Robert Boyle et confirmée en 1676 par l'abbé Edmé Mariotte^{[réf. nécessaire]}.

La loi de Boyle-Mariotte spécifie qu'à température constante, la pression est inversement proportionnelle au volume et réciproquement. On met expérimentalement cette loi en évidence à l'aide d'un récipient hermétique de volume variable équipé d'un manomètre. Lorsqu'on réduit le volume, en veillant à ce que la température demeure constante, la pression augmente en proportion inverse, et le coefficient de proportionnalité est le même quel que soit le gaz utilisé.

Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 ( $P_{1}$ , $V_{1}$ ) à l'état 2 ( $P_{2}$ , $V_{2}$ ) :

P_{1}V_{1}=P_{2}V_{2}=f(T,n)

où $P$ est la pression, $V$ le volume de gaz et $f(T,n)$ dépend de la température $T$ et de la quantité de matière $n$ , constantes entre les états 1 et 2.

Loi de Charles[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de Charles.

Quand la pression d'un gaz reste constante, le volume d'une quantité donnée d'un gaz varie proportionnellement à la température absolue. Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 ( $V_{1}$ , $T_{1}$ ) à l'état 2 ( $V_{2}$ , $T_{2}$ ) :

{\frac {V_{1}}{T_{1}}}={\frac {V_{2}}{T_{2}}}=f(P,n)

où $f(P,n)$ dépend de la pression $P$ et de la quantité de matière $n$ , constantes entre les états 1 et 2.

La température $T$ est mesurée dans une échelle absolue qui a son origine au zéro absolu. Dans le système SI, elle est mesurée en kelvins.

Loi de Gay-Lussac[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de Gay-Lussac.

Si le volume reste constant, la pression d'une quantité donnée d'un gaz varie proportionnellement à la température absolue. Si le gaz contenu dans le récipient passe de l'état 1 ( $P_{1}$ , $T_{1}$ ) à l'état 2 ( $P_{2}$ , $T_{2}$ ) :

{\frac {P_{1}}{T_{1}}}={\frac {P_{2}}{T_{2}}}=f(V,n)

où $f(V,n)$ dépend du volume $V$ et de la quantité de matière $n$ , constants entre les états 1 et 2.

La température $T$ est mesurée dans une échelle absolue qui a son origine au zéro absolu. Dans le système SI, elle est mesurée en kelvins.

Loi d'Avogadro[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi d'Avogadro.

La loi d'Avogadro, appelée aussi en France « loi d'Avogadro-Ampère », spécifie que des volumes égaux de gaz parfaits différents, aux mêmes conditions de température et de pression, contiennent le même nombre de molécules, autrement dit qu'à pression et température données, les gaz parfaits ont tous le même volume molaire.

La relation entre nombre de particules et volume, à pression et température constante, est donnée par :

{\frac {V_{1}}{n_{1}}}={\frac {V_{2}}{n_{2}}}=f(P,T)

où $n$ est la quantité de matière, et où $f(P,T)$ dépend de la pression et de la température, constantes entre les états 1 et 2.

L'énoncé d'Avogadro a été formulé simultanément et indépendamment par Avogadro et Ampère en 1811.

Cette loi n'a pas le même statut que les lois précédentes : ce n'est pas une loi expérimentale mais une hypothèse, postulant la nature atomique de la matière à une époque où cette hypothèse atomique était purement spéculative. Elle résultait toutefois de résultats expérimentaux, connus depuis Lavoisier, sur la dissociation et la synthèse de gaz tels que la vapeur d'eau et l'acide chlorhydrique.

L'hypothèse d'Avogadro-Ampère n'a pris force de loi qu'à la fin du XIX^e siècle, à la suite des succès de la théorie cinétique des gaz (1866) et lorsque de multiples résultats d'expériences, dont la détermination du nombre d'Avogadro par Jean Perrin (1900)^[21], conduisirent à considérer l'hypothèse atomique comme un fait expérimental.

Loi de Dalton[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi de Dalton.

La loi de Dalton (ou loi des pressions partielles) établit que la pression d'un mélange de gaz parfaits dans un volume $V$ et à une température $T$ est la somme des pressions partielles des $k$ composants du mélange :

P_{\text{total}}=P_{1}+P_{2}+P_{3}+\cdots +P_{k}=\sum _{i=1}^{k}P_{i}

où $P_{i}=n_{i}RT/V$ est la pression partielle du constituant $i$ , c'est-à-dire la pression qu'aurait ce gaz s'il occupait seul le volume $V$ à la température $T$ .

Loi d'Amagat[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Loi d'Amagat.

La loi d'Amagat (ou loi d'additivité des volumes) établit que le volume d'un mélange de gaz parfaits à la pression $P$ et à la température $T$ est la somme des volumes partiels des $k$ composants du mélange :

V_{\text{total}}=V_{1}+V_{2}+V_{3}+\cdots +V_{k}=\sum _{i=1}^{k}V_{i}

où $V_{i}=n_{i}RT/P$ est le volume partiel du constituant $i$ , c'est-à-dire le volume qu'aurait ce gaz seul à la pression $P$ et à la température $T$ .

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

↑ Rothen 1999, p. 385.
↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. équation d'état, p. 272, col. 1.
↑ Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. gaz parfait, p. 333, col. 2.
↑ Carnot 1824, p. 67, n. 1.
↑ Marquet 2019, p. 46, col. 2-3.
↑ Gay-Lussac 1802, p. 166.
↑ Marquet 2019, p. 46, col. 3.
↑ Clapeyron 1834, p. 164.
↑ ^{a et b} Menten de Horne 2013, p. 190, col. 2.
↑ Clausius 1850, p. 377 et 378.
↑ Krönig 1856.
↑ Clausius 1857.
↑ Lang 2013, p. 143.
↑ Clausius 1864, p. 289.
↑ Horstmann 1873, p. 199.
↑ Melzani 2022, p. 128, n. 2.
↑ Baker 2015, p. 32-33.
↑ Joanne Baker, 50 clés pour comprendre la physique, Dunod, 2015, 208 p. (ISBN 9782100728190, lire en ligne), p. 33-34.
↑ (en) Roland B. Stull, An Introduction to Boundary Layer Meteorology, Kluwer Academic Publishers, 2003, 670 p. (ISBN 978-90-277-2769-5, lire en ligne), p. 76.
↑ ^{a et b} (en) « Specific Heat Capacities of Air ».
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Articles[modifier | modifier le code]

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[Clausius 1850] (de) Rudolf Clausius, « Ueber die bewegende Kraft der Wärme und die Gesetze, welche sich daraus für die Wärmelehre selbst ableiten lassen », Annalen der Physik und Chemie, vol. 155 (2^e série, vol. 79), n^o 3,‎ 1850, p. 368-397 (OCLC 4643655307, DOI 10.1002/andp.18501550306, S2CID 222711007, lire en ligne [PDF]).
[Clausius 1857] (de) Rudolf Clausius, « Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen », Annalen der Physik und Chemie, vol. 176 (2^e série, vol. 100, n^o 3,‎ 1857, p. 353-380 (OCLC 4643704799, DOI 10.1002/andp.18571760302, S2CID 122773380, lire en ligne [PDF]).
[Clausius 1864] (de) Rudolf Clausius, « Ueber die specifische Wärme der Gase bei constantem Volumen », dans Rudolf Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, t. 1^er, Brunswick, Vieweg, hors coll., 1864, 1^re éd., XVIII-361 p., in-8^o (OCLC 7987659, BNF 37278069, DOI 10.3931/e-rara-74635, S2CID 117719569, SUDOC 024434159, lire en ligne [PDF]), p. 286-296.
[Gay-Lussac 1802] Louis-Joseph Gay-Lussac, « Recherches sur la dilatation des gaz et des vapeurs », Annales de chimie, vol. 43,‎ 1802, p. 137-175 (lire en ligne [PDF]).
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[Krönig 1856] (de) August Krönig, « Grundzüge einer Theorie der Gase », Annalen der Physik und Chemie, vol. 175 (2^e série, vol. 99), n^o 10,‎ 1856, p. 315-322 (OCLC 4643701492, DOI 10.1002/andp.18561751008, S2CID 120834106, lire en ligne [PDF]).
[Marquet 2019] Pascal Marquet, « Le troisième principe de la thermodynamique ou une définition absolue de l'entropie. – Partie 1 : origines et applications en thermodynamique », La Météorologie : revue de l'atmosphère et du climat, n^o 107,‎ novembre 2019, p. 45-52 (OCLC 8319351794, DOI 10.4267/2042/70558, Bibcode 2019arXiv190411696M, arXiv 1904.11696, HAL meteo-03353537, S2CID 135464913, résumé, lire en ligne [PDF]).

Bibliographie[modifier | modifier le code]

[Baker 2015] Joanne Baker (trad. de l'anglais par Julien Randon-Furling), 50 clés pour comprendre la physique [« 50 physics ideas you really need to know »], Paris, Dunod, coll. « 50 clés pour comprendre », mai 2015 (réimpr. février 2017), 1^re éd., 207 p., 17 × 20 cm (ISBN 978-2-10-072510-6 et 978-2-10-076083-1, EAN 9782100725106, OCLC 910204695, BNF 44335553, SUDOC 185705618, présentation en ligne, lire en ligne), 1^re partie, chap. 8 (« La loi des gaz parfaits »), p. 32-35.
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Henry Fauduet, Principes fondamentaux du génie des procédés et de la technologie chimique, Lavoisier, 2012, 800 p. (ISBN 978-2-7430-6455-6, lire en ligne), p. 147.
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[Lang 2013] (en) Kenneth R. Lang, Essential astrophysics, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Undergraduate lecture notes in physics », juin 2013, 1^re éd., XXI-635 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-35962-0, EAN 9783642359620, OCLC 867748792, DOI 10.1007/978-3-642-35963-7, Bibcode 2013esas.book.....L, SUDOC 170395545, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 5, sec. 5.4, § 5.4.2 (« The ideal gas law »), p. 142-144.
[Melzani 2022] Mickaël Melzani, Physique et mesure : histoire et fonctionnement de la physique à travers la mesure et les unités, Paris, Ellipses, hors coll., juin 2022, 1^re éd., XVI-395 p., 16,5 × 24 cm (ISBN 978-2-340-06866-7, EAN 9782340068667, OCLC 1331669648, BNF 47059018, SUDOC 263154351, présentation en ligne, lire en ligne), partie II, chap. 11, sec. 1, § 1.1, p. 126-132.
[Menten de Horne 2013] Pierre de Menten de Horne (préf. Brigitte Van Tiggelen), Dictionnaire de chimie : une approche étymologique et historique, Bruxelles, De Boeck Supérieur, hors coll., octobre 2013, 1^re éd., 395 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8041-8175-8, EAN 9782804181758, OCLC 863131805, BNF 43681551, SUDOC 172765986, présentation en ligne, lire en ligne).
[Rothen 1999] François Rothen, Physique générale : la physique des sciences de la nature et de la vie, Lausanne, PPUR, coll. « physique », octobre 1999, 1^re éd., XXII-862 p., 16 × 24 cm (ISBN 2-88074-396-6, EAN 9782880743963, OCLC 43271676, BNF 37056834, SUDOC 048060984, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 18, sec. 18.3 (« Équation d'état des gaz parfaits »), p. 384-386.
[Taillet, Villain et Febvre 2018] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, Louvain-la-Neuve, De Boeck Supérieur, hors coll., janvier 2018, 4^e éd. (1^re éd. mai 2008), X-956 p., 17 × 24 cm (ISBN 978-2-8073-0744-5, EAN 9782807307445, OCLC 1022951339, BNF 45646901, HAL hal-02017867, SUDOC 224228161, présentation en ligne, lire en ligne).

Liens externes[modifier | modifier le code]

Jacques Schwartzentruber, École nationale supérieure des mines d'Albi-Carmaux, « Le gaz parfait », sur nte.mines-albi.fr, 11 mars 2021 (consulté le 9 décembre 2023).

Articles connexes[modifier | modifier le code]

[Rothen1999385-1] Rothen 1999, p. 385.

[TailletVillainFebvre2018272,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;1</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_équation_d'état-2] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. équation d'état, p. 272, col. 1.

[TailletVillainFebvre2018333,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>''<abbr_class="abbr_"_title="sub_verbo_(«_à_l'article_»)"_>s.v.</abbr>''_gaz_parfait-3] Taillet, Villain et Febvre 2018, s.v. gaz parfait, p. 333, col. 2.

[Carnot182467,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;1</span>-4] Carnot 1824, p. 67, n. 1.

[Marquet201946,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2-3</span>-5] Marquet 2019, p. 46, col. 2-3.

[Gay-Lussac1802166-6] Gay-Lussac 1802, p. 166.

[Marquet201946,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;3</span>-7] Marquet 2019, p. 46, col. 3.

[Clapeyron1834164-8] Clapeyron 1834, p. 164.

[Menten_de_Horne2013190,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="colonne(s)"_>col.</abbr>&nbsp;2</span>-9] {a et b} Menten de Horne 2013, p. 190, col. 2.

[Clausius1850377_et_378-10] Clausius 1850, p. 377 et 378.

[Krönig1856-11] Krönig 1856.

[Clausius1857-12] Clausius 1857.

[Lang2013143-13] Lang 2013, p. 143.

[Clausius1864289-14] Clausius 1864, p. 289.

[Horstmann1873199-15] Horstmann 1873, p. 199.

[Melzani2022128,_<span_class="nowrap"><abbr_class="abbr_"_title="note(s)"_>n.</abbr>&nbsp;2</span>-16] Melzani 2022, p. 128, n. 2.

[Baker201532-33-17] Baker 2015, p. 32-33.

[18] Joanne Baker, 50 clés pour comprendre la physique, Dunod, 2015, 208 p. (ISBN 9782100728190, lire en ligne), p. 33-34.

[19] (en) Roland B. Stull, An Introduction to Boundary Layer Meteorology, Kluwer Academic Publishers, 2003, 670 p. (ISBN 978-90-277-2769-5, lire en ligne), p. 76.

[Ohio-20] {a et b} (en) « Specific Heat Capacities of Air ».

[21] Jean Perrin et Pierre-Gilles de Gennes (avant-propos), Les Atomes, Paris, Flammarion, coll. « Champs » (n^o 225), 1991 (ISBN 978-2-08-081225-4, BNF 35412740).

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