Fonction zêta de Weierstrass

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En mathématiques, les fonctions de Weierstrass sont des fonctions spéciales d'une variable complexe qui sont reliées à la fonction elliptique de Weierstrass \wp(z).

Fonction sigma de Weierstrass[modifier | modifier le code]

La fonction sigma de Weierstrass associée à un réseau bidimensionnel \Lambda\subset\Complex est définie comme le produit infini

\sigma(z:\Lambda)=z\prod_{w\in\Lambda\setminus \lbrace 0 \rbrace}\left(1-\frac{z}{w}\right)e^{z/w+\frac{1}{2}{(z/w)}^2}

Fonction zêta de Weierstrass[modifier | modifier le code]

La fonction zêta de Weierstrass est définie par

\zeta(z:\Lambda)=\frac{\sigma'(z;\Lambda)}{\sigma(z;\Lambda)}=\frac{1}{z}+\sum_{w\in\Lambda^{*}}\left(\frac{1}{z-w}+\frac{1}{w}+\frac{z}{w^2}\right)

La fonction est une dérivation logarithmique de la fonction sigma. La fonction zêta peut être ré-écrite comme :

\zeta(z;\Lambda)=\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^{\infty}\mathcal{G}_{2k+2}(\Lambda)z^{2k+1}

\mathcal{G}_{2k+2} est la série d'Eisenstein de poids 2k+2.

La dérivée de la fonction zêta est -\wp(z)

Fonction êta de Weierstrass[modifier | modifier le code]

Référence[modifier | modifier le code]

Cet article a été rédigé à l'aide du contenu de (en) Weierstrass sigma function de PlanetMath