Série d'Eisenstein

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En mathématiques, les séries d'Eisenstein sont des formes modulaires particulières avec une expansion en séries infinies qui peuvent s'écrire directement.

Sommaire

1 Séries d'Eisenstein pour le groupe modulaire
2 Relations de récurrence
3 Séries de Fourier
4 Identités de Ramanujan

[modifier] Séries d'Eisenstein pour le groupe modulaire

Pour un nombre complexe $τ$ de partie imaginaire strictement positive, on définit la série d'Eisenstein $G 2 k (τ)$ pour chaque entier $k > 1$ comme :

$G_{2k}(\tau) = \sum_{ (m,n) \neq (0,0)} \frac{1}{(m+n\tau )^{2k}}.$

C'est remarquable, la série d'Eisenstein est une forme modulaire. Explicitement, si $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$ avec $a d - b c = 1$ alors :

$G_{2k} \left( \frac{ a\tau +b}{ c\tau + d} \right) = (c\tau +d)^{2k} G_{2k}(\tau)$

Donc, $G 2 k$ est une forme modulaire de poids $2 k$ .

[modifier] Relations de récurrence

Toute forme modulaire holomorphe pour le groupe modulaire peut être écrite comme polynôme en $G 4$ et $G 6$ .

Soit $d k = (2 k + 3) k! G 2 k + 4$ . On dispose de la relation :

$\sum_{k=0}^n {n \choose k} d_k d_{n-k} = \frac{2n+9}{3n+6}d_{n+2}$

Ici, ${n \choose k}$ est le coefficient binomial et $d 0 = 3 G 4$ et $d 1 = 5 G 6$ .

Les $d k$ apparaissent dans l'expansion en séries entières de la fonction de Weirstrass :

$\wp(z) =\frac{1}{z^2} + z^2 \sum_{k=0}^\infty \frac {d_k z^{2k}}{k!} =\frac{1}{z^2} + \sum_{k=1}^\infty (2k+1) G_{2k+2} z^{2k}$

[modifier] Séries de Fourier

Posons $q = e 2π i τ$ . Alors les séries de Fourier des séries d'Eisenstein sont :

$G_{2k}(\tau) = 2\zeta(2k) \left(1+c_{2k}\sum_{n=1}^{\infty} \sigma_{2k-1}(n)q^{n} \right)$

où les coefficients de Fourier $c 2 k$ sont donnés par :

$c_{2k} = \frac{(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)! \zeta(2k)} = \frac {-4k}{B_{2k}}$ .

Ici, les B_n sont les nombres de Bernoulli, $ζ(z)$ est la fonction de Riemann et $σ p (n)$ est simplement la somme des $p$ -ièmes puissances des diviseurs de n.

$G_4(\tau)=\frac{\pi^4}{45} \left[ 1+ 240\sum_{n=1}^\infty \sigma_3(n) q^{n} \right]$