Fonction êta de Dedekind

La fonction êta de Dedekind est une fonction définie sur le demi-plan de Poincaré formé par les nombres complexes de partie imaginaire positive. Pour chaque nombre complexe $\tau$ dans cet ensemble, on définit $q = e^{2i\pi\tau}$ et la fonction êta est alors : $\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})$

La fonction êta est holomorphe dans le demi-plan supérieur mais n'admet pas de prolongement analytique en dehors de cet ensemble.

La fonction êta vérifie les équations fonctionnelles :

$\eta(\tau+1) = \exp(2 \pi i/24)\eta(\tau)$

$\eta(-1/\tau) = \sqrt {-i\tau} \eta(\tau)$

Plus généralement,

$\eta \left( \frac{a\tau+b}{c\tau+d} \right) = \epsilon (a,b,c,d) \left( -i(c\tau+d) \right)^{1/2} \eta(\tau)$

où a,b,c,d sont des entiers tels que ad-bc=1, qui sont donc associés à une transformation appartenant au groupe modulaire, et

$\epsilon (a,b,c,d)=\exp i\pi \left( \frac{a+d}{12c} + s(-d,c) \right)$

où s(h,k) est la somme de Dedekind

$s(h,k)=\sum_{n=1}^{k-1} \frac{n}{k} \left( \frac{hn}{k} - \left\lfloor \frac{hn}{k} \right\rfloor -\frac{1}{2} \right)$

À cause des équations fonctionnelles, la fonction êta est une forme modulaire de poids 1/2. On peut s'en servir pour définir d'autres formes modulaires. En particulier, le discriminant modulaire de Weierstrass peut être défini comme

$\Delta(\tau) = (2 \pi)^{12} \eta(\tau)^{24}$.

La fonction Δ est une forme modulaire de poids 12. Comme la fonction êta est facile à calculer, il est souvent utile d'exprimer, quand c'est possible, d'autres fonctions comme produits et quotients de fonctions êta. Ceci est possible pour beaucoup de formes modulaires.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dedekind eta function » (voir la liste des auteurs)
• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique [détail des éditions]
• (en) Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0 Voir chapitre 3.