Ensemble microcanonique

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En physique statistique, l'ensemble microcanonique est l'ensemble des répliques fictives d'un système réel dont l'énergie (E), le volume (V) et le nombre de particule (N) sont fixés. Cet ensemble statistique a une importance particulière, car c'est à partir de celui-ci que le postulat de la physique statistique est défini. Cet ensemble permet aussi de déterminer les ensembles canonique et grand-canonique, à l'aide d'échanges d'énergie ou de particules avec un réservoir.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Le système considéré est

  • isolé : il ne peut pas échanger de masse ou d'énergie avec l'extérieur[1];
  • composé d'objets microscopiques identiques pouvant être des atomes, des molécules, des spins, etc...

Nombre d'états microscopiques[modifier | modifier le code]

Pour une valeur de E , V et N fixe, le système considéré ne peut prendre que certains états internes. La connaissance de tous les paramètres internes du système (de son état) donne ce qu'on appelle un micro-état.

Par exemple, pour un gaz parfait, un micro-état sera composé de l'ensemble de toutes les positions, vitesses, énergies, masses... de chaque particule.

Un macro-état est quant à lui décrit uniquement par des grandeurs comme la pression, la température, le volume, qui ne sont définissables que pour un objet ayant un très grand nombre de particules.

À chaque macro-état correspond une très grande quantité de micro-états possibles (parfois infinie).

Un objet, dans un macro-état bien précis, ne va pas forcément rester dans le même micro-état. On peut citer l'exemple d'un gaz : même si sa température, son volume... ne changent pas, les particules du gaz continuent de bouger sous l'effet de l'agitation thermique, et donc, son micro-état change en permanence.

Ainsi, connaissant un macro-état, on ne connait pas à l'avance le micro-état dans lequel est le système. Tout juste pouvons-nous savoir quelle est la probabilité d'obtenir tel ou tel micro-état lors d'une mesure.

Postulat[modifier | modifier le code]

Le postulat de la physique statistique précise pour un système isolé (E, V, N fixés) :

Étant donné un système isolé en équilibre, il se trouve avec probabilités égales dans chacun de ses micro-états accessibles.

c'est-à-dire les \Omega~ états du système sont également probables.

Si on note  p_i la probabilité associé à chaque micro-état i, on obtient alors :

 p_i~ = \frac{1}{\Omega}

Entropie[modifier | modifier le code]

Article détaillé : entropie.

Dans l'ensemble microcanonique, l'entropie statistique a été définie par Boltzmann par la relation :

{S=k_B\cdot\ln(\Omega)}

Ensemble micro-canonique en physique quantique[modifier | modifier le code]

Du point de vue de la mécanique quantique, la connaissance la plus complète que l'on puisse obtenir d'un système est la connaissance de sa fonction d'onde   \psi ~(r_1, r_2, ... r_N) qui est fonction des coordonnées de chacune des molécules du système. Cette fonction d'onde est solution de l'équation de Schrödinger que l'on peut écrire de manière condensée sous la forme

 H ~ \psi = E ~ \psi


La connaissance de la composition N du système permet d'exprimer l'opérateur hamiltonien  H~ , la connaissance de V précise les conditions aux limites auxquelles doit satisfaire  \psi~ . Dans ce cas, la connaissance de l'énergie du système (E), valeur propre de l'équation, permet d'écrire la liste complète de toutes les fonctions propres  \psi~ .

Le nombre total de solutions de l'équation de Schrödinger est noté  \Omega(E, V, N)~ . Ce nombre représente mathématiquement la dimension vectorielle des solutions de l'équation de Schrödinger, et il dépend des variables qui déterminent l'état macroscopique du système. Chaque état microscopique possède, pour un état macroscopique défini, la même énergie E, le même nombre de particules N, et le même volume V.

Mesure d'une grandeur[modifier | modifier le code]

Sur la base de ce qui est dit plus haut, le sens de la mesure d'une grandeur quelconque  X~ du système est le suivant : pendant le temps t que dure la mesure, le système évolue en passant d'un état microscopique (une réplique) à un autre. Toute mesure effectuée est nécessairement une moyenne sur le temps des différents états traversés.

Dans le cas d'un système réel, la fonction d'onde dépend du temps. À tout instant i, on peut, en quelque sorte, « photographier » le système dans un état microscopique particulier, c'est-à-dire en avoir une réplique particulière (représentée par la fonction d'onde  \psi_i~, solution de l'équation de Schrödinger). Or, nous possédons théoriquement la liste des  \Omega~ fonctions d'onde permises et nous connaissons donc tous les états microscopiques par lesquels le système est susceptible de passer.

En résumé, la fonction d'onde totale solution du système réel est équivalente à un ensemble de fonctions d'onde, réplique du système dans chacun des états particuliers qu'il est susceptible d'occuper

 \psi(t) ~ = (\psi_1, \psi_2 ~ ... ~\psi_i, ~ ... ~ \psi_{\Omega})


Supposons maintenant la mesure de la grandeur  X~ . Sur base du postulat, et en considérant un ensemble de répliques d'un système où chaque réplique figure en un même nombre d'exemplaire (par exemple, une fois chacune), la valeur de la grandeur  X~ dans chaque réplique sera notée :

 X_1,~X_2,~ X_3,~ ... ~ X_i,~ ... ~ X_{\Omega}~


La moyenne de cette grandeur calculée avec l'ensemble des répliques est alors la somme (sur tous les états microscopiques du système considéré) de la probabilité d'être dans l'état i multiplié par la valeur  X_i de cet état :

 <X>~ = \frac{X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_i + ... + X_{\Omega}}{\Omega}  = \sum_{i}{X_i ~ p_i}

D'après l'hypothèse ergodique, cette moyenne doit coïncider avec la valeur moyenne mesurée sur le système réel et est définie par

 <X>~ = \lim_t ~ \frac{1}{t} \int_0^t{X(t) dt}
Article détaillé : hypothèse ergodique.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Il est important de souligner que cette notion de système "isolé" est en physique statistique différente de celle considérée en mécanique, où l'on considère qu'un système est isolé s'il n'a aucune interaction avec l'extérieur. Dans ce cas outre l'énergie la quantité de mouvement et le moment cinétique du système sont aussi des constantes du mouvement. En mécanique statistique on ne considérera généralement pas cette situation de système "totalement isolé", la quantité de mouvement et le moment cinétique du système n'étant pas fixés. En effet même un système "isolé" au sens de la physique statistique est en général fixé sur un support (la table du laboratoire...) et donc ne peut être considéré comme sans interaction avec l'extérieur comme en mécanique: les échanges de quantité de mouvement et de moment cinétique seront donc possibles. Toutefois ils ne sont que de faible influence. Cf. à se sujet: Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique,‎ 1996 [détail de l’édition], chapitre II et complément II.B.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique,‎ 1996 [détail de l’édition]

Voir aussi[modifier | modifier le code]