Ensemble grand-canonique

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En physique statistique, l’ensemble grand-canonique est un ensemble statistique, dans lequel chaque système est en équilibre thermodynamique (thermique et chimique) avec un réservoir externe d'énergie et de particules. Cela signifie que le système peut échanger de l’énergie et des particules avec le réservoir, autrement dit, l’énergie et le nombre de particules sont alors amenés à fluctuer d’un système à un autre de l’ensemble.

Cet ensemble est utilisé lorsque le nombre de particules ne peut pas être fixé, plus particulièrement pour les systèmes composés de bosons et de fermions.

Introduction[modifier | modifier le code]

Dans cet ensemble, on considère que le système est composé de particules identiques[1], et on introduit le potentiel chimique, pour prendre en considération la variation du nombre de particules. Le réservoir doit être considéré grand devant le système, afin que les échanges d’énergie et de particules n’influent pas[2] sur la température du réservoir, et donc sur la température du système. Le réservoir doit alors se comporter comme un thermostat et imposer sa température au système.

On considère l’hamiltonien[3] du système défini comme :

\hat H = \sum_{i=1}^{N} \hat h(i)

\hat h(i) |i\rangle = E_i |i\rangle est l’équation de Schrödinger pour chaque particule i.

Pour chaque ensemble microscopique |n\rangle , on a alors l’énergie et le nombre de particules associés :

 E \left(|n\rangle\right) = \sum_i E_i n_i
 N \left(|n\rangle\right) = \sum_i n_i

Suivant que le système considéré est composé de bosons, ou de fermions, n_i est soumis aux conditions suivantes :

n_i =\begin{cases} 0,...,\infty & \text{pour les bosons } \\ 0,1 & \text{pour les fermions} \end{cases}

Observable miscroscopique[modifier | modifier le code]

Fonction de partition[modifier | modifier le code]

La fonction de partition est définie comme étant :

 \Xi =  \sum_{\{|n_i\rangle\} } e^{ -\beta \big[ E \left(|n\rangle\right) - \mu N\left(|n\rangle\right)\big] } =  \sum_{ \{ |n_i \rangle \} } e^{ -\beta \sum_i \left(E_i - \mu n_i \right) }

{\{|n_i\rangle\} } représente l’ensemble statistique de tous les ensemble miscrocopique |n\rangle .

On peut[3] écrire \Xi comme :

\Xi = \big( \sum_{n_1} e^{ -\beta \left(E_1 -  \mu n_1 \right) } \Big)  \big( \sum_{n_2} e^{ -\beta \left(E_2 - \mu n_2 \right) } \Big)... = \prod_i \Xi_i

avec \Xi_i = \big( \sum_{n_i} e^{ -\beta \left(E_i - \mu n_i \right) } \Big), qui représente la fonction de partition d'un seul mode.

Probabilité d'un micro-état[modifier | modifier le code]

La probabilité pour que le système soit dans un micro-état i est défini par :

p_i = \frac{e^ { -\beta \left(E_i - \mu n_i  \right)}} {\Xi}

 \sum_{i} p_i \ = \ 1

Observables macroscopique[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. il est aussi possible de considérer un système avec des particules différentes.
  2. la variation de température du réservoir doit être négligeable
  3. a et b dans ce cas, il n’y a pas d’interactions entre les particules du systèmes

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

  • Bernard Diu, Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique,‎ 1996 [détail de l’édition]
  • Frederic Reif, Physique Statistique, Cours de Physique de Berkeley (vol. 5), Armand Colin (1972) 398 pp. réédité par Dunod.