Discussion:Transformation conforme

Formalisme mathématique

Bonjour,

Lorsque j'ai recherché "Transformation conforme" sur Wikipédia, je m'attendais à trouver un minimum de formalisme dans la définition, quelques exemples de transformation conformes, du disque unité sur le demi-plan de Poincaré, par exemple.

Bien sûr, les exemples sont bien et donnent une idée intuitive très claire de ce qu'est une transformation conforme, de ce qui fait qu'une fonction holomorphe en est une ou non. Mais le formalisme mathématique n'est pas là, et je trouve que ça manque. Le problème est que certains résultats élémentaires sont disséminés sur toute la page (transformation de Möbius, les transformations conformes sont localement des similitudes, leur dérivée ne s'annule jamais, etc...), et cela pourrait nuire à ce qui a déjà été fait de les concentrer dans un même paragraphe "Propriétés élémentaires" (détail : le théorème de l'application conforme de Riemann n'est pas cité).

Par ailleurs, je crois que le paragraphe "Exemples holomorphes" gagnerait à être scindé (justement en une partie formelle et une partie exemples).

Bref, je voudrais savoir si quelqu'un a des idées sur un plan de l'article qui permettrait aux mathématiques d'apparaître sans masquer la partie intuitive de l'article.

ArgCo (d) 5 juin 2012 à 09:52 (CEST)

N'ayant pas d'avis sur le formalisme mathématique je me permettrai simplement une remarque : « Le titre de l’article devrait apparaître dans la première phrase du résumé introductif, si possible au tout début de la phrase. On le met en caractères gras, mais uniquement la première fois, et seulement dans le résumé d’introduction (pas dans les sections de l’article) » (Wikipédia:Résumé introductif). Je ne trouve pas la référence mais il me semble qu'il faut les éviter pour les expressions qui apparaissent dans le corps de l'article (personnellement je préfère insister avec des caractères italiques).--Jct (d) 5 juin 2012 à 11:05 (CEST)

En me fiant à ce qui a été fait dans les articles sur les fonctions holomorphes et les fonctions analytiques, j'ai remplacé les caractères gras par des caratères italiques dans les définitions.
ArgCo (d) 5 juin 2012 à 11:46 (CEST)

Des définitions qui ne semblent pas correspondre à ce qu'on trouve dans la littérature

Je viens sur cet article sans aucune compétence dans ce domaine et suis un peu troublée car je ne reconnais pas dans cet article ce que j'arrive à comprendre dans le livre de Marcel Berger, Géométrie, Tome 2, isbn 2-7124-0702-4, p 93 et suivante. Je liste donc les problèmes

1. La définition en intro : pour moi, on ne peut pas dire qu'une transformation conforme conserve les angles, on peut juste dire qu'elle les conserve infinitésimalement.
2. Marcel Berger définit une transformation conforme comme une bijection affine, de classe C¹ dont la dérivée en x est une similitude vectorielle bref la définition que l'on trouve dans l'article pour les dimensions strictement plus grandes que 2. Avec sa définition, toutes les similitudes (directes ou indirectes) sont des transformations conformes que l'on soit en dim 2 ou supérieur mais cela ne correspond pas à la définition donnée dans l'article pour une transformation conforme de dimension 2. Dans cette section de notre article, on ne parle que de transformations qui conservent infinitésimalement les angles orientés.
3. Marcel Berger précise que , dans le cas de la dimension 2, il y a équivalence entre « f appartient à Conf⁺(U, f(U))» et « f est injective, holomorphe et de dérivée jamais nulle ». Cette dernière condition a disparu dans la définition de l'article.
4. Dans le cas de la dimension 3 et plus , Marcel Berger ajoute comme condition nécessaire pour l'équivalence : f appartient à Conf(U, f(U)) ssi f est la restriction à U d'un produit d'inversions, la condition f est de classe C⁴.

Je n'ai pas de compétences suffisantes pour évaluer la gravité des erreurs (si celles-ci existent) ni les corriger. Je demande donc l'avis et le secours de ceux qui suivent l'article. HB (d) 2 janvier 2013 à 15:53 (CET)

Toutes ces remarques me dépassent. Simplement, même si on conteste l'imprécision de l'introduction, la première phrase de Cas du plan me convient : « Une transformation conforme dans le plan est une transformation d'un domaine du plan dans un plan, cette transformation conservant les angles entre deux courbes orientées. Autrement dit, c'est localement une similitude directe. »

Comme indiqué dans cette section, l'article ne parle que de problèmes plans. Mon incompréhension (et sans doute celle de beaucoup d'autres) provient de ce que je n'ai jamais entendu parler de transformations conformes à n dimensions. Plutôt que de transformer un article technique en un article mathématique, il serait plus clair de créer un nouvel article pour les personnes aptes à le comprendre.--Jct (d) 3 janvier 2013 à 10:16 (CET)

Théorème de l'application conforme semble répondre à cette remarque. J'emploie le mot semble parce que je n'y comprends naturellement rien. Il faut donc conserver l'article actuel pour les non-mathématiciens susceptibles de rencontrer des transformations conformes.--Jct (d) 3 janvier 2013 à 12:33 (CET)

Je ne cherche pas à ce que la définition générale soit donnée d'emblée. Au contraire, je suis d'accord avec toi pour dire que le développement des transformations conformes du plan est à mettre en avant, en insistant sur son utilité (dans mes lectures, je vois sans trop maitriser le sujet que l'on accorde une grande importance aux transformations d'un domaine simplement connexe en le disque unité - théorème de Riemann, transformation de Schwart-Christoffel (en) - et à la conservation de l'harmonicité pour la résolution de l'équation de Poisson). Je trouve cependant que l'on s'étale un peu trop sur les exemples et qu'il y a des moments où on pourrait être plus clair (exemple 1 : une phrase comme «La singularité essentielle $z\mapsto e^{1/z}$ par exemple est nulle pour $z=0^{-}$» me parait passablement obscure voire fausse et pourrait être remplacée par « la fonction analytique $z\mapsto e^{1/z}$ possède en 0 un singularité essentielle ...» - Exemple 2 : parler de transformation de Möbius là où tout le monde parle de transformation homographique est un peu confusionnant). Mais ma remarque précédente porte principalement sur ce qui me semble des incohérences:  :

1. Je suis étonnée que les deux définitions ne coïncident pas dans le plan : Berger considère aussi comme conformes les transformations qui changent tous les angles en leur opposé, ce que ne fait pas notre article qui les taxe d'anti-conforme et c'est gênant.
2. Berger dit qu'un fonction injective, holomorphe et de dérivée non nulle est une transformation conforme de U sur f(U). Notre article dit qu'une fonction holomophe et bijective de U sur V est une transformation holomorphe. Quid de la disparition de la condition dérivée non nulle ?
3. En ce qui concerne le Théorème de Liouville sur les transformations conformes, qui n'est pas le théorème de l'application conforme, Berger insiste pour parler de fonction C⁴ ce que ne fait pas notre article.

Il ne s'agit donc pas de transformer cet article de technique à mathématique (?) mais de corriger ces erreurs éventuelles. HB (d) 6 janvier 2013 à 17:20 (CET)

Il y a longtemps, dans une autre vie, j'ai dit que cet article était à refaire entièrement. Pour ce qui est de la condition f à dérivée nulle, elle est équivalente à f bijective par suite du théorème d'inversion locale. Donc c'est juste une manière de présenter les choses.Quant au vocabulaire utilisé, conforme, anticonforme, il est classique.Cordialement. Claudeh5 (d) 6 janvier 2013 à 17:50 (CET)

Une chose dont je suis sure c'est qu'il n'y a pas équivalence entre holomorphe de dérivée non nulle et bijection. Prendre la fonction f z -> z² définie sur l'ouvert C*, elle est holomorphe de dérivée non nulle et n'est évidemment pas une bijection. Mais en cherchant un peu sur le net, il me semble qu'une implication existe : si f est holomorphe et bijective d'un ouvert U sur un ouvert V alors sa dérivée ne s'annule pas sur U. Cette seule implication validerait alors la définition ici présente. Reste le manque de stabilité sur la définition à donner à conforme (conserve les angles? ou les angles orientés?) que je vois mal comment régler ici. Quant à la condition C⁴, je pense qu'il est plus prudent de la rajouter. Merci de ta réponse. HB (d) 6 janvier 2013 à 23:24 (CET)

Rudin, analyse réelle et complexe, 3e edition, p326:

th 14.2 : Soit Omega un domaine du plan. Si f'(z0) existe en un point z0 de Omega et si f'(z0) différent de 0, l'application f conserve les angles en z0. Réciproquement si la différentielle de f existe en z0 n'est pas nulle et si f conserve les angles alors f'(z0) existe et n'est pas nulle.

remarque 1: il s'agit de la conservation des angles orientés. Ceci explique que les applications f(conjugué de z) soient qualifiée d'anti-conformes

remarque 2: Ce que ne dit pas Rudin c'est qu'en fait on a la situation suivante localement:

si f(z0+h)= f(z0)+ a_p h^p +... où le coefficient a_p est le premier coefficient non nul en h, alors f multiplie les angles orientés par p dans un voisinage infinitésimal de z0.Cordialement. Claudeh5 (d) 7 janvier 2013 à 09:19 (CET)

Je vois que dans l'article, comme dans cette discussion, il y a de nouvelles précisions qui me dépassent, ce qui ne m'interdit pas de faire des remarques élémentaires sur le seul point que je puisse discuter (conserve les angles? ou les angles orientés?).

Je m'en tiendrai donc à ma réponse initiale. J'ai du mal à me replonger dans des notions que j'ai plus ou moins oubliées mais je lis dans Fonction holomorphe : « Près d'un point z0 où la dérivée d'une fonction holomorphe f est non nulle, f est une transformation conforme, c'est-à-dire qu'elle préserve les angles (orientés) et les formes de petites figures (mais pas les longueurs, en général) ».

Au niveau le plus bas, je dirai qu'une transformation conforme plane est une « bonne » transformation comme on parle de bonnes fonctions, régulières. L'identité est conforme, pas la symétrie obtenue par une conjugaison. L'article présente un exemple de transformation dont le second terme est le produit conforme d'une inversion par une symétrie ; si on le conjugue on obtient une inversion pure, non conforme.

Dans le plan, une symétrie interdit généralement la superposition des deux figures par translation. L'adjonction d'un troisième axe l'autorise par rotation. C'est, me semble-t-il, la raison pour laquelle la transformation dans le plan complexe, utilisée pratiquement, impose une restriction qui pose problème si on regarde les choses de plus haut.

L'article actuel parle des utilisations pratiques de la transformation conforme plane. Ce n'est qu'un avis personnel, peu partagé dans ce débat, mais je jugerais dommage qu'on le transforme en un monument mathématique illisible pour le lecteur qui se demande ce qu'est une transformation conforme. (« Mon objectif est de rendre accessible les mathématiques au plus grand nombre. »)--Jct (d) 7 janvier 2013 à 09:33 (CET)

Joli clin d'oeil et effet miroir . Mais je n'ai pas l'impression que Dfeldmann ou moi ayons pour l'instant diminué l'accessibilité de l'article. Dfeldmann a mis en évidence une utilisation pratique et j'ai seulement étoffé l'intro en partant de ce que tu souhaitais (une transformation conforme ressemble localement à une similitude). J'ai seulement explicité les différences de définition et précisé le rapport avec les fonctions holomorphes. Il me semble donc que nous avons plutôt contribué à éclairer les choses mais je me trompe peut-être. Quant à l'article, je doute qu'il ait été dans sa version de 2012 si accessible truffé de phrases qui n'ont pour moi aucun sens comme « Après les fonctions holomorphes dont on visualise la dérivée, on comprend également, dans le cadre plus général des fonctions méromorphes, la position et l'ordre des pôles.» ou «La singularité essentielle $z\mapsto e^{1/z}$ par exemple est nulle pour $z=0^{-}$, avec accumulation de zéros, et indéterminée pour $z=0^{+}$ avec accumulation de pôles.». Mais personnellement je m'arrêterai là faute de compétence après avoir seulement corrigé deux erreurs (sur l'inversion et sur la classe C4), clarifié un vocabulaire flottant et mis quelques sources. Bon courage à tous. HB (d) 7 janvier 2013 à 13:07 (CET)

ces deux propos étaient soit dénués de sens (le premier) soit hors sujet (le second).Cordialement. Claudeh5 (d) 8 janvier 2013 à 07:18 (CET)

Je ne cherche pas à avoir le dernier mot, ce serait ridicule. À ma manière naïve je tentais simplement de faire valoir, face à des notions mathématiques qui me dépassent et n'apparaissent pas aussi brutalement dans l'article, que la transformation conforme utilisée pratiquement (dans le plan) conserve les angles orientés, sans prétendre, bien sûr, valider les affirmations les plus précises.--Jct (d) 9 janvier 2013 à 14:42 (CET)

A propos des horloges

Je le dis tout de go : les illustrations ne me paraissent pas pertinentes. Quant aux explications associées, idem. Stefan jaouen (discuter) 20 juillet 2022 à 12:29 (CEST)