Discussion:Octaèdre régulier

Remanier

Cube  et  octaèdre  régulier  sont  duaux  l’un  de  l’autre.
Les  deux  tétraèdres  réguliers  et  leur  intersection :
l’octaèdre,  partagent les trois sections carrées.

L’adjectif “homothétique” est surnaturel dans la section actuelle “Propriétés diverses”,  dont voici le début et la fin :  L'octaèdre et le cube sont duaux l'un de l'autre, c'est-à-dire que le polyèdre ayant pour sommets les centres des faces de l'un est homothétique de l'autre.  […]  Platon l'associait à l'élément naturel « air ».  Au lieu de titrer la section “Tout et n’importe quoi”,  distribuons dans l’article son contenu,  une fois corrigé et enrichi.

Sous un nouveau titre “Étoilement et dualité”,  remplaçons par la présente image SVG l’image actuelle JPEG,  sans étoilement visible,  afin d’illustrer le texte suivant :  À partir d’un cube,  on peut construire un octaèdre régulier son dual,  en plaçant ses six sommets aux centres des faces du cube.  Cela revient à tronquer le cube par huit plans,  passant chacun par les trois sommets les plus proches du sommet éliminé.  Inversement l’étoilement d’un octaèdre régulier :  une paire de tétraèdres réguliers symétriques l’un de l’autre par rapport au centre de l’octaèdre,  a pour enveloppe convexe un cube.

Bien sûr,  associer un élément “naturel” à un octaèdre n’a rien à voir avec des maths.  Sans parler de notre satané air pollué,  une phrase dans l’introduction de l’article pourrait signaler l’antique association d’idées,  en conservant un lien vers Solide de Platon#Histoire.  Mais est‑ce une “référence” ?  Et le lien vers Graphe octaédrique irait bien dans une nouvelle section “Voir aussi”,  non ?
  Arthur Baelde (discussion) 12 octobre 2023 à 14:08 (CEST)

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En même temps qu’une infinité de sections régulières :  une infinité de sections carrées,  plus quatre sections hexagonales régulières,  une rubrique “Sections régulières et symétries” pourrait exposer les rotations et les symétries qui transforment en eux‑mêmes le solide,  et certaines de ses sections régulières.  Ce groupe d’isométries conserve aussi l’ensemble des douze arêtes de l’octaèdre,  bien sûr,  une occasion de placer un lien vers “Graphe octaédrique”.  Puis toucher un mot du tétrahémihexaèdre,  qui a les mêmes arêtes que l’octaèdre,  mais dont le centre n’est plus un centre de symétrie,  par exemple.  Dans ce cas,  le lien vers “Graphe octaédrique” ne serait pas dans une dernière section “Voir aussi”,  comme je le proposais précédemment.  Qu’en pensez‑vous ?
  Arthur Baelde (discussion) 25 octobre 2023 à 14:11 (CEST)

Manuel

Structure démontable de trois pièces carrées.
Chaque encoche laisse passer largement l’épaisseur d’une autre pièce.

Construire une structure octaèdrique avec trois pièces carrées,  évidées et crantées,  est plus rapide,  et consomme moins de papier ou de bristol qu’une maquette,  confectionnée à partir d’un patron muni de ses pattes d’assemblage.  Selon le même principe,  nous pourrions plus tard imbriquer les quatre hexagones d’un cuboctaèdre,  ou les six décagones d’un icosidodécaèdre.  Chaque pièce détachée possède un centre de symétrie,  futur centre de la structure démontable.  Le numéro de chaque pièce est le nombre de ses paires d’encoches externes.  L’ordre croissant des numéros des pièces est leur ordre d’assemblage,  la pièce n ^o 0  accueillant d’abord la pièce 1.  Si la feuille est assez souple,  ou les évidements assez grands,  ne pas évider la dernière pièce permet de marquer son centre d’une croix,  percée éventuellement d’un petit trou pour y passer un ruban,  et suspendre la structure.

Plus tard nous pourrions prolonger par des triangles les pièces carrées,  dont les douze bords extérieurs deviendraient alors des plis,  qui rendraient la structure plus rigide.  Les triangles seraient encore prolongés par des pattes d’assemblage,  et la structure tétraèdrique laisserait voir ses trois sections carrées par des triangles évidés.

Bref,  je propose une section “Travail manuel”,  où serait inséré l’ancien patron.
  Arthur Baelde (discussion) 20 octobre 2023 à 14:17 (CEST)

Chapeau

Vues  de  face,   de  profil  et  de  dessus.
Une  arête  projetée  peut  se  réduire  à  un  point,   ou  être  cachée
par une ou deux autres arêtes.  Sinon une arête cachée est en pointillé.
Tracée  en  bleu,   la  section  équatoriale  horizontale  reproduit  à  l’échelle  √3/2
le  contour  hexagonal  régulier  de  l’octaèdre,   vu  de  dessus.

Le solide de Platon associé à l’air dans l’Antiquité gréco‑romaine est l’octaèdre régulier.

Le préfixe octa indique le nombre de faces d’un octaèdre :  huit faces.  Le suffixe èdre signifie face plane.  Les faces d’un octaèdre régulier sont des triangles équilatéraux,  huit polygones réguliers qui sont isométriques.  Ses douze arêtes égales sont les côtés de trois carrés concentriques,  dans trois plans deux à deux sécants à angle droit selon une diagonale,  à la fois diagonale des deux carrés et diagonale du solide.  Le centre commun des carrés est à la fois le centre de symétrie de l’octaèdre,  son centre de gravité,  et le centre de ses sphères circonscrite et inscrite.

Un octaèdre régulier est convexe.  Son symbole de Schläfli est {3, 4},  car il a trois sommets par face,  et quatre faces par sommet.

Ainsi pourrait commencer l’article.
  Arthur Baelde (discussion) 24 octobre 2023 à 15:32 (CEST)

Article TI ?

Cet article semble un travail inédit, sans source. Dans ce cas, il faut le déplacer sur Wikiversité par exemple. Wikipedia n'est pas le lieu pour cela. Cgolds (discuter) 10 mai 2024 à 18:55 (CEST)