Discussion:Logique polyvalente

J'ai renommé ainsi cet article anciennement appelé "Logique plurivalente". Il faudrait ici parler de l'article d'E. Post de 1921 qui fait en gros la théorie complète des logiques propositionnelles finies-valentes et faire le lien avec les logiques infinies valentes comme la logique floue. Epsilon0 9 mai 2006 à 20:35 (CEST)

Matériel de l'article logiques multi-valuées

J'ai redirigé l'article logique mutivaluées vers celui-ci. Je sauvegarde ci-desous son matérile, si qualqu'un voit quelque chose à en tirer. Pierre de Lyon

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Les logiques multivaluées (multi-valued logics en anglais) font partie du domaine des logiques non classiques ; en effet, il est apparu de nombreuses limites à la logique classique, et le remède fut de créer un certain nombre de logiques dites "non classiques" dont les logiques multivaluées.

Pourquoi multivaluée ? Prenons le Paradoxe du barbier : "Le barbier rase tous ceux qui ne se rasent pas eux même", "Le barbier se rase". Ces deux prédicats conduisent à une contradiction : $\lnot R\Leftrightarrow R$. Mais si on prend $I(R)$, la valeur de vérité de $R$, alors on obtient : $I(R)=I(\lnot R)=1-I(R)=0.5$.

Les logiques multivaluées ajoutent donc d'autres valeur de vérité, notamment le 0.5 symbole pour certaines d'entre elles de l'indéterminé, de l'absurde, ...

Plusieurs points de vue existent concernant ce type de logique, où chacun définie ses propres opérateurs logiques ainsi que le nombre de valeur de vérité supplémentaire.

Historique

Le premier logicien à remettre en question le principe du tiers exclu fut Aristote, qui admit que ses lois ne s'appliqueraient pas complètement à des évènements futurs (De Interpretatione, ch. IX). Mais il ne créa aucun système de logique multi-valuée pour expliquer cette remarque isolée. Le principe du tiers exclu fut admis par les philosophes stoïciens. Par la suite, les logiciens ont utilisé la logique aristotélicienne, qui inclut ou implique le principe du tiers exclu.

L'idée de logique multi-valuée revint au début du vingtième siècle, lorsque le philosophe et logicien polonais Jan Łukasiewicz commença à créer des des systèmes logiques multi-valués en 1920, en utilisant comme troisième valeur "possible". En 1921 le mathématicien américain Emil Post présenta la formulation de degrés de vérité supplémentaires pour des valeurs de vérité $n>2$. Jan Łukasiewicz et Alfred Tarski formulèrent une logique sur n valeurs de vérité ($n>2$). En 1932, Hans Reichenbach mit en place une logique multi-valuée avec n tendant vers l'infini. La même année, Kurt Gödel montra que la logique intuitionniste n'était pas une logique sur un nombre fini de valeurs.

La logique multivaluée de Lukasiewicz

Il s'agit d'une logique à trois valeurs :

• 1 : vrai
• 0 : faux
• 0.5 : indéterminé

Voici les définitions des opérateurs logiques :

La négation

A	$\lnot$A
1	0
1/2	1/2
0	1

L'implication

$A\Rightarrow B$	0	1/2	1
0	1	1	1
1/2	1/2	1	1
1	0	1/2	1

Remarquons que $A\Rightarrow B$ vaut 1 si $A=B=0.5\,$.

La disjonction

$A\lor B$	0	1/2	1
0	0	1/2	1
1/2	1/2	1/2	1
1	1	1	1

Ce ou logique correspond en fait au max(A,B). De plus $A\lor B\equiv (A\Rightarrow B)\Rightarrow B$.

La conjonction

$A\land B$	0	1/2	1
0	0	0	0
1/2	0	1/2	1/2
1	0	1/2	1

Le et logique correspond au min(A,B).

L'équivalence

$A\Leftrightarrow B$	0	1/2	1
0	0	1/2	0
1/2	1/2	1/2	1/2
1	0	1/2	1

La relation d'équivalence $A\Leftrightarrow B$ vaut $(A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A)$.

Remarques sur cette logique multivaluée :

• $A\lor \lnot A$ n'est plus une tautologie ;
• on perd le principe du tiers exclu (soit A est vrai, soit A est faux, pas d'autre choix) ;
• $A\Leftrightarrow \lnot A$ n'est plus insatisfiable.

La logique de Kleene

Il s'agit également d'une logique tri-valuée :

• $P(x)\,$ est vrai si $1/2\leq x\leq 2\,$ : V
• $P(x)\,$ est indéterminé (incalculable) si $x=0\,$ : I
• $P(x)\,$ est faux sinon : F

Seule l'implication diffère de la logique de Lukasiewicz :

L'implication

	F	I	V
F	V	V	V
I	I	I	I
V	F	I	V

La logique de Bockvar

Il s'agit encore d'une logique tri-valuée : faux, vrai ou absurde. La particularité de cette logique est que toute formule composée d'une partie absurde est absurde ; d'où les opérateurs logiques suivants :

La négation

A	$\lnot$A
F	V
A	A
V	F

L'implication

	F	A	V
F	V	A	V
A	A	A	A
V	F	A	V

La conjonction

$A\land B$	F	A	V
F	F	A	F
A	A	A	A
V	F	A	V

Les logiques à N-valeurs (1922)

Ces logiques multivaluées prennent, comme leur nom l'indique, un nombre $n$ de valeurs de vérité possibles : $\left\{0;{\frac {1}{n-1}};{\frac {2}{n-1}};{\frac {3}{n-1}};...;{\frac {n-2}{n-1}};1\right\}\,$

La négation

A	$\lnot$A
0	1
${\frac {1}{n-1}}$	$1-{\frac {1}{n-1}}={\frac {n-2}{n-1}}$
...	...
${\frac {n-2}{n-1}}$	$1-{\frac {n-2}{n-1}}={\frac {1}{n-1}}$
1	0

Voici quelques propriétés :

• $I(\lnot A)=1-I(A)$
• $I(A\Rightarrow B)=min\left\{1,1-I(A)+I(B)\right\}$
• $I(A\land B)=min\left\{I(A),I(B)\right\}$
• $I(A\lor B)=max\left\{I(A),I(B)\right\}$
• $I(A\Leftrightarrow B)=1-\left|I(A)-I(B)\right|$

A recycler

Cet article mêle trop de choses dans un ordre confus issu de x interventions non concertées. Me semble qu'il faut reprendre sur le développement tout à fait classique de la logique à 2 valeurs à une logique finie valente quelconque comme exposé dès 1921 par Emil Post ; qui en gros a fait la théorie complète de ce sujet. Après seulement peut être exposé les qq tentatives notables, parmi d'innombrables, de placage idéologique/sémantique sur une syntaxe, elle, non plus classique, mais de type modale. --Epsilon0 ε₀ 30 janvier 2012 à 21:42 (CET)

Tout-à-fait d'accord. L'analyse est correcte. Je me hasarderais à dire que quelques personnes qui parlent de logique polyvalente ne connaissent pas les développements récents de la logique. --Pierre de Lyon (d) 17 février 2012 à 16:36 (CET)

Aspects modaux

• si on parle de Kripke, peut-être faut-il citer Leibniz ?
• Ni Moisil ni Quisquater ?
• logiques possibilistes (assignant à un prédicat une valeur de nécessité et une valeur de possibilité).

Aspects applicatifs

Cet article demande à être rajeuni en rapport avec la question de la validité/validation des moteurs d'inférence dans les systèmes experts, question émergente depuis les années 70 et plus vitale pour les lecteurs.

Les règles d'inférence que l'on souhaite conserver dans une logique L engendrent des équations fonctionnelles dont les opérateurs seront solutions. De ce point de vue, certains jeux d'opérateurs logiques de la littérature se révèlent invalides au plan inférentiel. Voir à ce sujet Didier Dubois, Henri Prade. Théorie des Possibilités. Applications à la Représentation des Connaissances en Informatique, Collection Méthode + Programmes, Masson, Paris, 2, 1985.

La vraie sémantique est celle des inférences fondamentales que les jeux d'opérateurs doivent refléter, et non celle d'opérateurs bâtis au jugé, qui risquent de faire raisonner "comme un tambour crevé" les systèmes-experts garantissant la sécurité des transports ou des usines.

Logiques de Lukasiewicz

De fait, la 1ère logique de Lukasiewicz est inutilisable car généreuse en inconsistances, et la seconde est peu utile car trop avare en conclusions.

Fonctions phi-booléennes à la Kleene

L'optimisation technologique des fonctions booléennes utilise des fonctions tri-valentes, le troisième état, indéfini, (don't care) étant compatible avec les deux autres. Ce qui permet de traiter comme fonctions trivalentes parfaitement définies des fonctions booléennes partielles.

Expression des nuances linguistiques en logique floue

Si P est à valeur dans [0 1], et si v(P) est sa valeur de vérité, on peut poser v(très P) = v(p)², et v(assez P)= v(p)^1/2... Très utile pour l'expression des règles empiriques :

si très(chaud(réacteur4)) alors alarme 403.

--Lf69100 (discuter) 22 novembre 2016 à 17:59 (CET)

Bruno Paul

Est-ce que quelqu'un connaît Bruno Paul, l'inventeur de la logique trétravalente publiée en 2017 et 2018 chez d'obscurs éditeurs ? Je crains que cette contribution à l'article ne soit supprimée, d'autant plus que des IP tentent d'imposer ce point de vue, malgré des suppressions. --Pierre de Lyon (discuter) 17 novembre 2018 à 11:00 (CET)

J'invite la personne qui intervient sous la rubrique « tétravalence », à lire le lien dans la boite à droite. --Pierre de Lyon (discuter) 18 novembre 2018 à 11:57 (CET)

Bruno Paul et son ouvrage La Signature du Quaternaire, souffrent me semble t-il a minima de ne pas être connus. Une condition nécessaire pour qu'une théorie soit mentionnée sur wikipédia est qu'elle ait fait l'objet d'étude par des auteurs académiques. Donc tant qu'il n'est pas rapporté qu'il y a des preuves que ce soit le cas, cette théorie (celle de Bruno Paul, hein, pas la logique tétravalente qui elle existe comme chacune des logiquee n-valentes usuelles telles étudiées par Post) ne peut figurer dans cet article. --Epsilon0 ε₀ 19 novembre 2018 à 18:52 (CET)