Centralisateur

En mathématiques, et plus précisément en théorie des groupes, le centralisateur d'une partie X d'un groupe G est le sous-groupe de G formé par les éléments de G qui commutent avec tout élément de X.

Centralisateur d'un élément

Soient G un groupe et x un élément de G. Le centralisateur de x dans G, noté C_G(x) (ou C(x) si le contexte n'est pas ambigu) est, par définition, l'ensemble des éléments de G qui commutent avec x. Cet ensemble est un sous-groupe de G.

Trois démonstrations

• Première démonstration. Les relations 1 x = x = x 1 montrent que l'élément neutre de G appartient à C_G(x). Si g et h sont deux éléments de C_G(x), alors g h x = g x h = x g h, donc g h appartient lui aussi à C_G(x). Enfin, si g appartient à C_G(x), alors g x = x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g^-1 à gauche, nous trouvons x = g^-1 x g ; en multipliant les deux membres de cette relation par g^-1 à droite, nous obtenons x g^-1 = g^-1 x, ce qui montre que g^-1 appartient à C_G(x).

• Seconde démonstration. Pour tout élément x de G, désignons par Int_G(x) l'automorphisme intérieur $\ g\mapsto xgx^{-1}$ de G. Dire que deux éléments x et g de G commutent revient à dire que g est point fixe de Int_G(x) (et revient aussi, évidemment, à dire que x est point fixe de Int_G(g)). Donc C_G(x) est l'ensemble des points fixes de Int_G(x). De façon générale, l'ensemble des points fixes d'un endomorphisme d'un groupe est un sous-groupe de ce groupe, donc C_G(x) est un sous-groupe de G.

• Troisième démonstration. D'après une remarque faite dans la seconde démonstration, C_G(x) est l'ensemble des éléments g de G tels que Int_G(g) admette x pour point fixe. Autrement dit, C_G(x) est l'image réciproque de l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe par l'application $\ G\rightarrow \mathrm {Aut} (G):g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)$. Cette application $\ g\mapsto \mathrm {Int} _{G}(g)$ est un homomorphisme de G dans le groupe S_G des permutations de G (c'est même un homomorphisme de G dans Aut(G)) et l'ensemble des permutations de G qui admettent x comme point fixe est un sous-groupe de S_G, donc C_G(x) est l'image réciproque d'un groupe par un homomorphisme partant de G, donc c'est un sous-groupe de G.

La troisième des démonstrations ci-dessus montre en fait que C_G(x) est le stabilisateur du point x relativement à l'action du groupe G sur lui-même par conjugaison. D'après la formule des classes, on peut donc énoncer :

• Soient G un groupe et x un élément de G. Le cardinal de l'ensemble des conjugués de x dans G est égal à l'indice de C_G(x) dans G.

Centralisateur d'une partie

Soient G un groupe et X une partie de G. Le centralisateur de X dans G, noté C_G(X) (ou C(X) si le contexte n'est pas ambigu) est l'ensemble des éléments de G qui commutent avec tous les éléments de X. Si X est un singleton {x}, C_G(X) est égal au centralisateur C_G(x) de x défini plus haut. Si X est une partie non vide de G, on peut parler de l'intersection $\ \bigcap _{x\in X}C_{G}(x)$ et il est clair que cette intersection est égale à C_G(X) ; donc C_G(X) est une intersection de sous-groupes de G et est ainsi un sous-groupe de G. Si X est vide, C_G(X) est G tout entier et est donc encore un sous-groupe de G.

Le centralisateur de la partie G de G est le centre de G.

Propriétés du centralisateur d'une partie

• Les premières propriétés du centralisateur d'une partie d'un groupe G sont des cas particuliers des propriétés du commutant d'une partie d'un magma :
  • Si X et Y sont des parties de G, dire que X est contenu dans C_G(Y) revient à dire que Y est contenu dans C_G(X), car chacune de ces conditions revient à dire que tout élément de X commute avec tout élément de Y.
  • En particulier, une partie X de G est contenue dans C_G(X) si et seulement si tous les éléments de X commutent entre eux.
  • Si X et Y sont des parties de G et si X est contenue dans Y, alors C_G(Y) est contenu dans C_G(X).
  • Toute partie X de G est incluse dans son bicommutant C_G(C_G(X)).
  • C_G(C_G(C_G(X))) = C_G(X). Cette équation peut se reformuler en disant que dans un groupe G, un sous-ensemble H est un centralisateur (i.e. il existe une partie de G dont H est le centralisateur) si et seulement s'il est le centralisateur de C_G(H).
• Si X est une partie d'un groupe G, le centralisateur de X dans G est égal au centralisateur dans G du sous-groupe ⟨X⟩ de G engendré par X.

Justification. Puisque X est contenue dans ⟨X⟩, il résulte de la remarque précédente que C_G(⟨X⟩) est contenu dans C_G(X), que nous noterons Y. Réciproquement, montrons que C_G(⟨X⟩) contient Y. D'après une propriété énoncée plus haut, le sous-groupe C_G(Y) contient X, donc contient ⟨X⟩ (par définition du sous-groupe engendré). En réutilisant la même propriété, ceci revient à dire que C_G(⟨X⟩) contient Y.

Lemme N/C (ou théorème N/C) — Soit H un sous-groupe d'un groupe G. Le centralisateur C_G(H) est un sous-groupe normal du normalisateur N_G(H) et le groupe quotient N_G(H)/C_G(H) est isomorphe à un sous-groupe de Aut(H).

Justification. Il est clair que si c est un élément de C = C_G(H), alors c H c^-1 = H, donc c appartient à N = N_G(H), ce qui montre que C est sous-groupe de N. D'autre part, puisque H est normal dans N, tout automorphisme intérieur Int_N(n) de N (avec n dans N) induit un automorphisme (non forcément intérieur) Int_N(n)_|H de H. L'application $\ n\mapsto \mathrm {Int} _{N}(n)_{|H}$ est un homomorphisme de N dans Aut(H) et il est clair que le noyau de cet homomorphisme est C. Donc C est sous-groupe normal de N et, d'après le premier théorème d'isomorphisme, N/C est isomorphe à l'image de cet homomorphisme, image qui est un sous-groupe de Aut(H).

Grâce au lemme N/C, la structure interne d'un sous-groupe H de G peut fournir des renseignements sur N_G(H)/C_G(H). On montre ainsi, par exemple, que si G est un groupe fini non trivial, si p est le plus petit diviseur premier de l'ordre de G, si un p-sous-groupe de Sylow P de G est cyclique, alors N_G(P)/C_G(P) = 1, autrement dit N_G(P) est réduit à C_G(P), de sorte que les hypothèses du théorème du complément normal de Burnside sont satisfaites et que P admet un complément normal dans G.

• Soit X une partie de G. Le normalisateur de X dans G est par définition l'ensemble des éléments g de G tels que g X g^-1 = X. On vérifie facilement que si h est un élément de G tel que $\ hXh^{-1}\subseteq X,$ et c un élément de C_G(X), alors h^-1 c h appartient lui aussi à C_G(X). On en tire en particulier que C_G(X) est sous-groupe normal de N_G(X), ce qui, dans le cas où X est un sous-groupe de G, a été démontré autrement au point précédent.

Soient G₁ et G₂ deux groupes, H un sous-groupe de G₁ et f un homomorphisme de G₁ dans G₂. On vérifie facilement que $\ f(C_{G_{1}}(H))\subseteq C_{G_{2}}(f(H))$ et que

• si f est un isomorphisme de G₁ sur G₂, alors $\ f(C_{G_{1}}(H))=C_{G_{2}}(f(H))$.

En appliquant cela aux automorphismes et aux automorphismes intérieurs d'un groupe G, on en tire que

• le centralisateur d'un sous-groupe caractéristique de G est lui-même caractéristique dans G

et (ce qu'on peut tirer aussi du lemme N/C) que

• le centralisateur d'un sous-groupe normal de G est lui-même normal dans G.

(On utilise ce dernier fait pour prouver par exemple qu'un groupe complet est facteur direct de tout groupe dont il est sous-groupe normal.)