Automorphisme intérieur

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Un automorphisme intérieur est une notion mathématique utilisée en théorie des groupes.

Soit G un groupe et g un élément de G. On appelle automorphisme intérieur associé à g, noté ιg, l'automorphisme de G défini par :

\forall x \in G,\quad \iota_g(x)=gxg^{-1}.

Pour un groupe abélien, les automorphismes intérieurs sont triviaux. Plus généralement, l'ensemble des automorphismes intérieurs de G forme un sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G, et ce sous-groupe est isomorphe au groupe quotient de G par son centre. L'isomorphisme est induit par l'action par conjugaison de G sur lui-même.

Définitions[modifier | modifier le code]

Automorphisme intérieur[modifier | modifier le code]

  • Soit G un groupe. Un automorphisme intérieur de G est une application de la forme
    \iota_g:G\to G,x\mapsto gxg^{-1}
    pour un certain élément g de G (on parle alors d'automorphisme intérieur par g).

Tout automorphisme intérieur de G est un automorphisme du groupe G, c'est-à-dire un endomorphisme bijectif, en effet :

\forall (x, y) \in G^2, \quad \iota_g(xy)=gxyg^{-1}=(gxg^{-1})(gyg^{-1})=\iota_g(x)\iota_g(y) .

et

\iota_{gh}=\iota_g\circ\iota_h.

L'inverse de ιg est ιg-1.

Si g est un élément central de G (i.e. un élément du centre Z(G) de G), l'automorphisme intérieur par g est l'identité. Plus généralement, l'ensemble des points fixes de ιg est exactement le centralisateur de g.

  • Si x et y sont deux éléments de G tel que x est l'image de y par un automorphisme intérieur, alors x et y sont dits conjugués. De même, deux sous-groupes de G qui sont images l'un de l'autre par automorphisme intérieur sont dits conjugués.

Remarque : Si G est muni de structures supplémentaires (groupe topologique, groupe de Lie, groupe algébrique), les automorphismes intérieurs sont toujours des isomorphismes pour les structures considérées.

Sous-groupe normal[modifier | modifier le code]

Article détaillé : Sous-groupe normal.

Un sous-groupe H de G est dit normal ou distingué dans G lorsqu'il est globalement stable par tous les automorphismes intérieurs. Cela revient à dire qu'il est son seul conjugué.

Groupe des automorphismes intérieurs[modifier | modifier le code]

L'application \iota:g\mapsto\iota_g est un morphisme de groupes de G dans le groupe Aut(G) des automorphismes de G. L'image est exactement l'ensemble des automorphismes intérieurs de G, qui est donc un sous-groupe de Aut(G), noté Int(G). Par le théorème d'isomorphisme, le morphisme surjectif \iota:G\rightarrow \mathrm{Int}(G) induit un isomorphisme :

G/Z(G)\rightarrow \mathrm{Int}(G).

Si \phi est un automorphisme de G, et si g est un élément de G, alors :

\forall x\in G,\quad \phi\iota_g\phi^{-1}(x)=\phi\left[g\phi^{-1}(x)g^{-1}\right]=\phi(g)x\phi(g)^{-1}

d'où

 \phi\iota_{g}\phi^{-1}=\iota_{\phi(g)}.

Le conjugué d'un automorphisme intérieur par un automorphisme est donc un automorphisme intérieur. De ce fait, Int(G) est un sous-groupe normal de Aut(G).

Pour résumer, on dispose donc de deux suites exactes :

1\rightarrow Z(G)\rightarrow G\rightarrow \mathrm{Int}(G)\rightarrow 1

et

1\rightarrow \mathrm{Int}(G)\rightarrow \mathrm{Aut}(G)\rightarrow \mathrm{Aut}(G)/\mathrm{Int}(G)\rightarrow 1.

Le quotient de Aut(G) par Int(G) est noté Out(G) ; ce sont les automorphimes extérieurs de G.

Groupe d'automorphismes d'un sous-groupe normal[modifier | modifier le code]

Avec les notations ci-dessus, si H est un sous-groupe normal de G, tout automorphisme intérieur de G se restreint en un automorphisme de H. D'où un morphisme de groupes éventuellement surjectif \mathrm{Int} (G)\rightarrow \mathrm{Aut} (H). La surjectivité est espérée pour déterminer le groupe des automorphismes de H.

La composition par \iota donne un morphisme G\rightarrow \mathrm{Aut}(H), dont le noyau est le centralisateur de H.

Cas des anneaux[modifier | modifier le code]

Un automorphisme d'anneau unifère est dit intérieur s'il est de la forme xuxu−1 pour une certaine unité u de l'anneau.

Histoire[modifier | modifier le code]

Le fait que le groupe des automorphismes intérieurs d'un groupe G est sous-groupe normal du groupe des automorphismes de G a été énoncé et démontré par Otto Hölder en 1895[1].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (de) O. Hölder, « Bildung zusammengesetzter Gruppen », Mathematische Annalen, vol. 46,‎ 1895, p. 326 (lire en ligne). (Référence donnée par (en) W. Burnside, Theory of Groups of Finite Order,‎ 1911, 2e éd., réimpr. Dover, 2004, p. 84.)