Commutant

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En algèbre, le commutant[1] d'un sous-ensemble X d'un magma A (par exemple une algèbre sur un anneau, pour la multiplication) est le sous-ensemble X' des éléments de A qui commutent avec tout élément de X. Autrement dit,

X'=\{a\in A~|~\forall x\in X, xa=ax\}.

En théorie des groupes, le commutant est appelé centralisateur.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Les deux premières propriétés expriment, de deux façons équivalentes, que l'application {\mathcal P}(A)\to{\mathcal P}(A), X\mapsto X' permet de définir une correspondance de Galois antitone. La troisième[2] en est une conséquence[3].

  • X\subset Y'\Leftrightarrow Y\subset X'
  • (X\subset Y\Rightarrow Y'\subset X') et X\subset X''
  • X'''=X'~
  • Si A est un demi-groupe (par exemple un groupe, ou bien un pseudo-anneau, pour la multiplication) alors[2] le commutant d'une partie quelconque de A forme une partie stable de A.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.7
  2. a et b Bourbaki, op. cit., p. A I.8
  3. Voir Propriétés des correspondances de Galois

Articles connexes[modifier | modifier le code]