Sous-groupe caractéristique

Dans un groupe G, un sous-groupe H est dit

• caractéristique lorsqu'il est stable par tout automorphisme de G :

$\forall\sigma\in Aut(G), \sigma(H)\subset H~,$

• pleinement caractéristique lorsqu'il est même stable par tout endomorphisme de G :

$\forall\sigma\in End(G), \sigma(H)\subset H~.$

Propriétés

• Un sous-groupe H de G est sous-groupe caractéristique de G si et seulement si

$\forall\sigma\in Aut(G), \sigma(H)= H~.$

En effet, si H est caractéristique dans G, on a

$\forall\sigma \in Aut(G), \sigma^{-1}(H)\subset H~,$

d'où

$\forall\sigma \in Aut(G), H \subset \sigma(H)~.$

• Un sous-groupe caractéristique de G est en particulier stable par tout automorphisme intérieur de G : c'est donc un sous-groupe distingué de G.
• Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe caractéristique d'un groupe G est sous-groupe caractéristique de G.

En effet, si K est sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe caractéristique H de G, alors, puisque H est caractéristique dans G, tout automorphisme $\ \sigma$ de G admet une « restriction » $\ \sigma_{H}$ à H qui est un automorphisme de H. Puisque K est caractéristique dans H, $\ \sigma_{H}(K) = K$, ce qui revient à $\ \sigma(K) = K.$

• Tout sous-groupe caractéristique d'un sous-groupe normal d'un groupe G est sous-groupe normal de G.

On démontre cette propriété comme on a démontré la précédente, en considérant cette fois un automorphisme intérieur de G.

Exemples

• Le sous-groupe dérivé D(G) d'un groupe G est un sous-groupe (pleinement) caractéristique de G.

En effet, pour tout endomorphisme σ de G et pour tous éléments x, y de G, on a σ([x, y])=[σ(x), σ(y)].

• Le centre d'un groupe est un sous-groupe caractéristique (pas toujours pleinement).
• Généralement un sous-groupe défini par une expression qui ne mentionne aucun élément particulier (autre que l'élément neutre) est caractéristique, car le sens d'une telle expression ne change pas sous un automorphisme quelconque. Ainsi sont caractéristiques :
  • Le sous-groupe dérivé, qui est engendré par $\{\, xyx^{-1}y^{-1}\mid x,y\in G\,\}$,
  • Le centre, qui est égal à $\{\, x\in G \mid \forall y \in G : xy = yx\,\}$,
  • Le sous-groupe engendré par les éléments d'ordre deux (ou d'un autre ordre donné),
  • Le sous-groupe engendré par $\{\, x^2 \mid x\in G\,\}$, etc.