Incertitude de mesure

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Mesurage avec une colonne de mesure.

En métrologie, dans un ou des mesurages, une incertitude de mesure « caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées ».

  • sa définition est donnée par le BIPM ;
  • considérée comme une dispersion, elle fait appel à des notions de statistique ;
  • les causes de cette dispersion, liées à différents facteurs, influent sur le résultat de mesurage, donc sur l'incertitude ;
  • elle comprend de nombreuses composantes qui sont évaluées de deux façons différentes :
    • certaines peuvent être évaluées par une évaluation dite de type A, par une analyse statistique.
    • les autres composantes, peuvent être évaluées par une évaluation dite de type B par d'autres moyens.


Définition[modifier | modifier le code]

La définition, succincte donnée dans l'introduction, est extraite de la définition officielle donnée par le Bureau international des poids et mesures (BIPM) dans un document largement diffusé définissant la terminologie de la métrologie, le Vocabulaire international de métrologie[1] :

« paramètre non négatif qui caractérise la dispersion des valeurs attribuées à un mesurande, à partir des informations utilisées ».

La méthode de détermination de l'incertitude de mesure fait l'objet d'un fascicule métrologique du BIPM appelé Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure ou GUM[2]. Dans ce guide on retrouve la définition sous une forme plus ancienne datant de 1993 :

« paramètre, associé au résultat d'un mesurage, qui caractérise la dispersion des valeurs « qui pourraient raisonnablement » être attribuées au mesurande ».


NOTE 1 Le paramètre peut être, par exemple, un écart-type (ou un multiple de celui-ci)…

Approche statistique[modifier | modifier le code]

Dans le cas de mesurages comportant plusieurs mesures individuelles, on peut appliquer les lois de la statistique à ces mesurages[3].

La dispersion des mesures peut se caractériser par l'estimateur de son écart-type dit aussi écart-type expérimental

s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2}

Pratiquement, cet écart-type est à prendre en compte lorsqu'on effectue une seule mesure.

Pour n mesures individuelles, la dispersion des mesures sur la moyenne se caractérise par l'estimateur de l'écart-type de la moyenne

s_{\bar x}=\frac{s}{\sqrt{n}}


L'incertitude (uncertainty), étant un paramètre qui caractérise la dispersion, on utilisera des notations statistiques classiques : écart-type, écart-type composé (pour différentes composantes) et étendue de dispersion pour un nombre arbitraire d'écarts-types de 2[N 1].

Notations
Incertitude type  u (x)
Incertitude type A  u (a)
Incertitude type A sur une moyenne u(a)_{\bar x}=\frac{u(a)}{\sqrt{n}}
Incertitude type A & B composée u_c (y)=\sqrt{ (u_a)^2 + (u_b)^2}
Facteur d'élargissement  k = 2
Incertitude élargie U = k  u_c (y)
Résultat de mesurage Y = y \pm U (k = 2)


Remarque : le plus souvent, la distribution de la dispersion n'est pas identifiée, elle peut avoir différentes formes ; donc, pour k = 2 on ne peut pas dire qu'on a un risque d'environ 5 %, ou un intervalle de confiance de 95 % comme dans une population gaussienne. Néanmoins on montre que pour une distribution quelconque, le risque ne sera jamais supérieur à 25 % ( Inégalité de Bienaymé-Tchebychev); ce qui montre l'humilité des termes de la définition du GUM : « dispersion des valeurs qui pourraient raisonnablement être attribuées… »

Causes d'incertitudes[modifier | modifier le code]

Les causes de la dispersion, due à l'influence des différents facteurs du processus de mesure, interviennent dans le résultat de mesurage, donc sur l'incertitude ; il est bon de les rechercher pour en différencier les effets.

2361 Facteurs d'erreurs.jpg
Facteurs Causes possibles d'incertitude
1 - Étalon Écart entre la valeur vraie et la valeur mesurée
Incertitude sur la mesure de l'étalon…
2 - Instrument Étalonnage de l'instrument
Incertitude associée
Pression de contact…
3 - Mesurande Défauts géométriques
Déformation pièce…
4 - Opérateur Manipulation
Lecture
Mise en place étalon et pièce…
5 - Méthode Suivi de la procédure
Lecture…
6 - Grandeurs d'influence Température ambiante
Coefficient de dilatation, vibrations…

Ces différentes causes pourraient aussi bien être présentées sous forme de diagramme causes-effet avec les 5 M bien connus : Matière (pièce), Moyen de mesure à la place de Machine, Main d'œuvre, Méthode, Milieu ; la finalité de l'analyse est de ne pas oublier de facteurs influents dans le calcul de l'incertitude.

Composantes[modifier | modifier le code]

« L'incertitude de mesure comprend en général de nombreuses composantes :

  • certaines peuvent être évaluées par une évaluation de type A de l'incertitude à partir de la distribution statistique des valeurs provenant de séries de mesurages et peuvent être caractérisées par des écarts-types.
  • les autres composantes, qui peuvent être évaluées par une évaluation de type B de l'incertitude, peuvent aussi être caractérisées par des écarts-types, évalués à partir de fonctions de densité de probabilité fondées sur l'expérience ou d'autres informations[4] ».

Évaluation de type A de l'incertitude[modifier | modifier le code]

« Évaluation d'une composante de l'incertitude de mesure par une analyse statistique des valeurs mesurées obtenues dans des conditions définies de mesurage[5] ».

Divers types de conditions :

  • condition de répétabilité : condition de mesurage comprenant la même procédure de mesure, les mêmes opérateurs, le même système de mesure, les mêmes conditions de fonctionnement et le même lieu, ainsi que des mesurages répétés sur le même objet ou des objets similaires pendant une courte période de temps ;
  • condition de reproductibilité : condition de mesurage comprenant soit des procédures de mesure, des lieux, des opérateurs ou des systèmes de mesure différents, mais avec des mesurages répétés sur le même objet ou des objets similaires[6] ;
  • voir VIM…

Exemples[modifier | modifier le code]

  • exemple 1 - Répétabilité (même opérateur, même instrument, même lieu, même étalon) extraite d'un étalonnage d'un micromètre suivant procédure le concernant ; on mesure cinq fois une cale étalon de 25 mm ; le nombre de mesures individuelles est réduit pour l'exemple.
Répétabilité
Mesure n° Relevé Écart à 25 en μm
Mesure n° 1 25,007 7
Mesure n° 2 25,01 10
Mesure n° 3 25,008 8
Mesure n° 4 25,011 11
Mesure n° 5 25,008 8
Écart-type estimé uA (pour une mesure) 1,65 μm
  • exemple 2 - Répétabilité et reproductibilité R & R simultanées dans un processus industriel.

Évaluation de type B de l'incertitude[modifier | modifier le code]

« évaluation d'une composante de l'incertitude de mesure par d'autres moyens qu'une évaluation de type A de l'incertitude [7]. »

Ces incertitudes sont parfois assez difficiles à quantifier ; elles sont liées à la maitrise du processus de mesurage et à l'expérience de l'opérateur. Elles peuvent être évaluées à partir d'informations :

  • de valeurs publiées faisant autorité : notices constructeur ;
  • obtenues à partir d'un certificat d'étalonnage avec une incertitude précisée avec son facteur d'élargissement ;
  • ou à partir de la classe d'exactitude d'un instrument de mesure vérifié ;
  • obtenues à partir de limites déduites de l'expérience personnelle ;
  • autres informations : la résolution d'un indicateur numérique, les effets de la température…

Exemples[modifier | modifier le code]

Évaluation d'incertitudes de type B[8]
Information Évaluation de l'écart-type
Donnée constructeur f(donnée)
Incertitude d'étalonnage u (x) = \frac{U}{k}
Classe de vérification donnée ± α u(x)=\frac{\alpha}{\sqrt{3}}
Résolution d'un indicateur numérique q u(x)=\frac{q}{2\sqrt{3}}
Effets de la température Voir exemple type

D'autres exemples sont donnés dans l'exemple type.

Détermination de l'incertitude élargie[modifier | modifier le code]

Démarche type[modifier | modifier le code]

1 - Enregistrer, pour n mesures du même mesurande le résultat brut moyen de mesurage \bar x ;

2 - Corriger éventuellement des erreurs systématiques : justesse, température… ;

3 - Rechercher les causes d'incertitudes ; on distinguera :

  • a) les causes de type A :
    • la RÉPÉTABILITÉ - instrument, méthode, observateur identiques…
    • la REPRODUCTIBILITÉ - observateurs, parfois instruments différents…
  • b) les causes de type B : justesse résiduelle, résolution, étalons…

4 - Calculer les écarts types :

  • type A : calculer pour l'ensemble des n mesures l'écart-type expérimental ua ; en déduire, si besoin, l'écart-type sur la moyenne \scriptstyle u_ {\bar x} =\frac{u_a}{\sqrt{n}} ;
  • type B : évaluer les écart-types expérimentaux ubj ;
  • calculer l'incertitude-type composée (ici sur la moyenne) : \scriptstyle u_c =\sqrt{ (u_{\bar x})^2 + \sum_{j=1}^n(u_{bj})^2}

5 - Exprimer les résultats :

  • calculer l'incertitude élargie U = k uc avec un facteur d'élargissement k = 2 ;
  • exprimer le résultat corrigé du mesurage avec son incertitude et son facteur d'élargissement[9].

Exemple type[modifier | modifier le code]

Exemple fictif : un opérateur de métrologie, accoutumé, veut mesurer la longueur d'une éprouvette en aluminium de longueur 100 environ, avec son incertitude. Pour cela il effectue six mesures individuelles avec un pied à coulisse à vernier au 2/100e dont l'erreur systématique (erreur de justesse) après vérification est Δ = - 0,02 mm ± 0,002 mm par rapport à une valeur vraie de 100 mm[N 2]. La température de l'environnement général est évaluée à 30°C ± 1°[N 3]. Il enregistre les résultats suivants : 100,02 ; 100,01 ; 99,99 ; 100,02 ; 100 ; 100,02 dont la somme vaut 600,06.

Mesurage d'une éprouvette (6 valeurs)
Étape Complément 1 Complément 2 Expression* valeur finale*
1 Résultat brut moyen xbar 100,01
2 Corrections
due à l'erreur de justesse 0,02
due à la dilatation - 0,014
résultat corrigé 100,01 + 0,02 - 0,014 100,016
3 Causes d'incertitudes
de type A répétabilité
de type B
B0 : incertitude étalon
B1 : résolution
B2 : justesse résiduelle
B3 : température
B4 : coef. de dilatation
4 Écarts types
type A répétabilité du mesurage u a 0,01265
écart type sur la moyene uxbar = 0,01265 / \scriptstyle \sqrt{6} 0,0052
type B
U étalon négligé
résolution ub1 = 0,02 / 2 \scriptstyle \sqrt{3} 0,0058
erreur de justesse ub2 = 0,002 / 2 0,001
température ub3 = 0,0014 / 3 0,00047
coef. de dilatation négligé -
incertitude type composée uc \scriptstyle \sqrt{ 0,0052^2 + 0,0058^2 + 0,0001^2 + 0,00047^2 } 0,0079
5 Résultats
incertitude élargie U = 2 x 0,0079 0,0158
* unités : mm Résultat corrigé du mesurage 100,016 ± 0,016 (k = 2)

Le résultat pourrait être arrondi à 100,02 mm ± 0,02 mm (k = 2).

Présentation industrielle[modifier | modifier le code]

Voir l'exemple précédent sur tableur.

Voir un autre exemple avec procédure dans l'article Métrologie dans l'entreprise.

Incertitude et tolérance[modifier | modifier le code]

Le concept d'incertitude a été développé pour répondre aux besoins d'exactitude dans les laboratoires et l'industrie.

  • les produits sont fabriqués dans des tolérances de fabrication, soit  \scriptstyle IT la tolérance d'un mesurande ;
  • les mesurages sont effectués dans des processus de mesure avec des moyens de mesure ayant leur incertitude propre, soit \scriptstyle U l'incertitude élargie du moyen de mesure.

Conventionnellement, il a été crée un rapport admissible entre incertitude et tolérance dans le but, entre autres, de simplifier le choix des moyens de mesure. Cette relation s'écrit

U \le IT / 8
Article détaillé : Capabilité d'un moyen de mesure.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

  1. Ce nombre est un choix lié à l'entité effectuant l'étude. En France, dans le domaine industriel il est le plus souvent de 2 ou 3.
  2. L'étalon de 100 mm est inconnu. Son incertitude - peut-être de ± 0,3 μm pour une cale de classe 0 - est négligée à priori.
  3. On rappelle à titre d'information que la dilatation d'un barreau en acier de longueur 100 mm est d'environ 11 μm, pour une différence de température Δt de 10° C ; pour un aluminium, elle est de 25 μm dans les mêmes conditions.

Références[modifier | modifier le code]

  1. VIM collectif 2008, p. 25, n° 2.26. ; il existe une version plus actuelle du VIM, de 2012, avec de petites corrections, mais moins facile d'exploitation.
  2. GUM JCGM 2008, p. 2, n° 2.2.3
  3. Collectif AFNOR 1996, p. 149-173.
  4. VIM collectif 2008, p. 25, n° 2.26.
  5. VIM collectif 2008, p. 26 ; n° 2.28.
  6. VIM collectif 2008, p. 23-24 ; n° 2.20 et 2.24.
  7. VIM collectif 2008, p. 26 n° 2.29.
  8. Collectif MFQ Franche-Comté, Guide pour la détermination des incertitudes de mesure, Nanterre, Mouvement Français pour la Qualité, coll. « Bibliothèque Qualité »,‎ 1995 (ISBN 2-909430-36-7), p. 33-35
  9. D'après les norme NF E 02-204, E 06-044, E 10-100, X 07-001 et surtout le GUM JCGM 2008

Annexes[modifier | modifier le code]

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Document utilisé pour la rédaction de l’article : document utilisé comme source pour la rédaction de cet article.

  • Document utilisé pour la rédaction de l’article (en+fr) VIM collectif, JCGM 200:2008 : Vocabulaire international de métrologie - Concepts fondamentaux et généraux et termes associés, BIPM,‎ 2008 (lire en ligne).
  • Document utilisé pour la rédaction de l’article JCGM, Évaluation des données de mesure : Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure GUM, BIPM,‎ 2008 (lire en ligne).
  • Document utilisé pour la rédaction de l’article Collectif AFNOR, Métrologie dans l'entreprise : Outil de la qualité, Paris, AFNOR,‎ 1996 (ISBN 2-12-460701-4).

Article connexe[modifier | modifier le code]

Liens externes[modifier | modifier le code]

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