Calcul d'incertitude

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Le calcul d'incertitude permet d'évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de mesures liées à la vérification d'une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n'étant pas de précision infinie, les mesures faites pendant une expérience ne sont pas exactes. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : « la relation n'est pas vérifiée exactement parce qu'elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ? » On en déduit des marges d'erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la méthode scientifique.

Méthodes de base[modifier | modifier le code]

Quand on calcule un produit ou une somme de plusieurs mesures expérimentales, il est nécessaire d’en connaître l’incertitude. Le mot incertitude signifie doute : l’incertitude du résultat d’un mesurage reflète l’impossibilité de connaître exactement la valeur du mesurande.

Vocabulaire :

  • G : Mesurande, grandeur à mesurer.
  • g : Mesure de la grandeur G.
  • u(G) : Incertitude type.
  • U(G) : Incertitude élargie.
  • \frac{U(G)} {g}: Incertitude relative

Types de mesure[modifier | modifier le code]

La mesure g d’une grandeur G peut être :

  • directe : comme la pesée, mesurer une distance.
  • indirecte comme la concentration, la vitesse.

Une mesure indirecte donne g à partir d’autres grandeurs, comme dans l’exemple suivant : U = R.I, U calculé, R et I mesurés.

Évaluation des incertitudes[modifier | modifier le code]

Il faut un instrument de mesure construit sur un étalon. Malgré tout, cet instrument possède aussi une certaine justesse. L’acte de mesurer entraîne deux types d’erreurs :

  • Évaluations de type A : c’est le cas où l’opérateur fait toute une série de mesures. Le traitement des erreurs est statistique : moyenne, écart-type, … Cette analyse statistique se fait lorsque l’on a peu d’indications sur les sources d’erreurs.
  • Évaluations de type B : il est difficile de faire un calcul statistique (cas de la mesure unique).

L’opérateur doit chercher et évaluer les sources d’erreurs. Le constructeur de l’instrument de mesure fournit des données telles que la classe de l’appareil, le calibre, la résolution. Il est nécessaire d’avoir une connaissance générale sur l’expérience.

  • Incertitudes composées : dans certains cas complexes, il faut souvent combiner les méthodes de type A et de type B, pour obtenir une meilleure évaluation de l’incertitude :
u_C = \sqrt[]{u_A^2(G) + u_B^2(G)}

Méthodes d’évaluation des incertitudes de type A et de type B[modifier | modifier le code]

  • Type A : dans les cas de plusieurs mesures indépendantes, l’incertitude se calcule à l’aide de l’écart-type de l’échantillon.

On prend alors comme valeur de g, la moyenne des mesures.

  • Type B : il est nécessaire de faire un bilan des erreurs :
    • Les erreurs systématiques telles que l’erreur de parallaxe, le réglage du zéro de l’appareil, les erreurs de méthode, le vieillissement des composants, …
    • Les erreurs aléatoires telles que les erreurs de lecture ou dues à l’appareil lui-même, ou dues aux conditions extérieures (température et dilatation, pression atmosphérique, humidité,…).

Dans un tel cas de figure, pour arriver à exprimer l’incertitude sous forme d’un écart-type, on peut changer d’instrument de mesure, voire de protocole, faire varier les paramètres influents. Mais on utilisera toujours les données du constructeur. La norme AFNOR indique ainsi que d’une manière générale, si le constructeur fournit l’incertitude type, on l’utilise directement.

  • Incertitudes élargies : le problème, et notamment dans le cas d’une évaluation de type B pour laquelle le calcul statistique n’est pas possible (mesure unique), est qu’il faut donc arriver à faire « confiance » à notre écart-type, en l’élargissant, tout simplement :

Si les mesures sont équiprobables et que l’on connaît g_{min} et g_{max}, l’incertitude élargie se calcule en multipliant u par un coefficient d’élargissement k :

U = k *u_C
  • k = 2 pour une confiance à 95 %.
  • k = 3 pour une confiance à 99 %.

On parle alors d’intervalle de confiance : [g – U(G), g + U(G)].

Sources des incertitudes[modifier | modifier le code]

La justesse, la fidélité et la résolution d'un système d'acquisition déterminent l'incertitude finale sur la mesure.

(Illustrations extraites du livre Calcul d'incertitudes).

Incertitude entre une valeur exacte et une valeur approchée (erreur)[modifier | modifier le code]

La calcul de l'erreur s'effectue de la manière suivante:

en prenant A la valeur exacte, et B la valeur approchée, le calcul de l'erreur est e = \frac{A - B}{A}.

Ce calcul bien que très simplifié, est très utilisé dans l'ingénierie et la recherche pour déterminer et quantifier simplement une erreur de mesure ou de calcul.

Attention, la propagation de l'erreur ne suit pas les mêmes lois que pour les incertitudes.

Utilisation des différentielles totales exactes[modifier | modifier le code]

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables.

Exemples simples : surface et volume[modifier | modifier le code]

Le calcul de la surface d'un rectangle de côtés L et l :

S=L \cdot l

devient lorsque les côtés deviennent L+dL et l+dl:

S(L+dL,l+dl) = (L+dL) \cdot(l+dl) = L\cdot l + L \cdot dl +l\cdot dL +  dl\cdot dL

Donc la variation de la surface dS peut s'écrire :

 dS =  (L+dL)\cdot (l+dl) - L \cdot l =  L\cdot dl +l\cdot dL + dL\cdot dl

que l'on approche par :

 dS = L\cdot dl +l\cdot dL car dL.dl est négligeable.

Noter que

 \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}= l ; \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}=L

d'où

 dS = \frac{\partial S(L,l) }{\partial L}dL+\frac{\partial S(L,l) }{\partial l}dl

De même la variation de volume d'une boîte de côtés x, y, z de volume V=xyz :

 V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)\cdot(y+dy)\cdot(z+dz)

= x\cdot y\cdot z +dx\cdot  y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz +  y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz

peut s'écrire

 dV =V(x+dx,y+dy,z+dz) - x\cdot y\cdot z =

= dx\cdot  y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz +  y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz

que l'on approche par :

 dV = y\cdot z\cdot dx +z\cdot x\cdot dy +  x\cdot y\cdot dz

Noter que :

 dV = yz dx +zx dy +  xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz

car

 \frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy

et donc

 dV = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz= \frac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}dz

La variation d'une fonction f(x,y,z)[modifier | modifier le code]

Et plus généralement, pour le calcul de la variation d'une fonction f(x,y,z).

 \frac{\partial f }{\partial x}(x,y,z) = dérivée partielle par rapport à x

   d f(x,y,z)  = |\frac{\partial  f }{\partial x}(x,y,z)|dx+|\frac{\partial f }{\partial y}(x,y,z)|dy+|\frac{\partial  f}{\partial z}(x,y,z)|dz

Loi des gaz parfaits[modifier | modifier le code]

Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :

 P =\frac{n \times R \times T}{V} exprime la pression en fonction de n, R, T et V.

Écrivons sa différentielle :


\begin{array}{rcl}
dP (T,R,n,V) & = & P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)\\[2ex]
~ & = & \displaystyle{\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV}
\end{array}
.

la variation la plus grande s'obtiendra lorsque les 4 termes ci-dessus s'ajouteront :

\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n  \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V

donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Dans ce cas particulier, on a :

\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)}{P}.
\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{ \frac{n \times R}{V} dT + \frac{n  \times T}{V} dR +\frac{ R \times T}{V} dn - \frac{n \times R \times T}{V^2} dV }{P}= \frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}.

et donc dans l'absolu :

\frac{\delta P}{P} =\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta R}{R} +\frac{\delta n}{n} - \frac{\delta V}{V}.

On peut aussi utiliser la différentielle logarithmique :

 P =\frac{n \times R \times T}{V} .

Donc

 \ln(P) =\ln(n) +\ln(R) +\ln(T) -\ln(V)\,.

En dérivant, on obtient :

\frac{dP}{P} =\frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}

En norme, \frac{\Delta P}{P} = \sqrt {\left(\frac{\Delta n}{n}\right)^2 + \left(\frac{\Delta R}{R}\right)^2 + \left(\frac{\Delta T}{T}\right)^2 + \left(\frac{\Delta V}{V}\right)^2}

On peut parfois être amené à donner une incertitude plus pessimiste: \frac{{\Delta}P}{P} =\frac{{\Delta}T}{T} + \frac{{\Delta}R}{R} +\frac{{\Delta}n}{n} +\frac{{\Delta}V}{V}.

Cette méthode plus rapide s'applique lorsqu'on cherche à faire la différentielle d'une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables.

Les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque l'on a un produit de variables et ce résultat est remarquable car il est facile à retenir : les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque la formule ne comporte que des produits (au sens large : une division est un produit par l'inverse).

Références[modifier | modifier le code]

Voir aussi[modifier | modifier le code]

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Références externes[modifier | modifier le code]