Propagation des incertitudes

Une mesure est toujours entachée d'erreurs dont on estime l'intensité par l'intermédiaire des incertitudes. Lorsqu'une mesure est utilisée pour obtenir la valeur d'une autre grandeur par l'intermédiaire d'une formule, outre le calcul de la valeur estimée de cette grandeur, il faut savoir déterminer l'incertitude induite sur le résultat de la formule. On parle de propagation d'incertitude, ou encore, improprement, de propagation d'erreur.

Évolution , de droite à gauche, en fonction du nombre de pas, de la position d'un marcheur aléatoire dans un plan. L'écart-type de sa position suit la formule de propagation des incertitudes analogue aux lois de la diffusion. (Illustration extraite du livre Probabilités, Statistiques et analyses multicritères).

Approches pragmatiques

Report des extrêmes dans le calcul

La première solution consiste à effectuer les calculs avec les extrêmes de l'intervalle d'incertitude. Si la mesure a pour valeur

a ± Δa

alors la « valeur réelle » est supposée être dans l'intervalle [a-Δa;a+Δa]. On calcule donc ici

y₁ = ƒ(a-Δa)

y₂ = ƒ(a+Δa)

et, selon l'ordre de y₁ et de y₂, on prend [y₁;y₂] ou [y₂;y₁] comme intervalle d'incertitude.

Cette méthode n'est valable que si la loi est monotone (c'est-à-dire croissante ou décroissante) sur l'intervalle [a-Δa;a+Δa].

Estimation à partir de la dérivée

Une manière simple, utilisée fréquemment en physique, consiste à utiliser un développement limité du premier ordre, c'est-à-dire à remplacer la loi ƒ par sa tangente locale pour estimer la propagation de l'incertitude.

On a :

ƒ(x) = ƒ(a) + ƒ '(a)·(x-a) + o(x)

où o(x) est une fonction qui « tend vite » vers 0. Si l'on remplace x par a + Δa, on a alors :

ƒ(a + Δa) = ƒ(a) + ƒ '(a)·Δa + o(a + Δa)

On peut donc estimer :

Δy ≈ | ƒ '(a) | · Δa

Ce calcul est tout aussi valable dans le cadre de la propagation simple des incertitudes (loi des erreurs uniforme ou normale), que dans le cadre (normalisé) des incertitudes estimées par intervalles de confiance. La double hypothèse sous-jacente à la validité de ce calcul est dite de "quasi-linéarité" et "quasi-gaussiannité". À défaut, si la loi physique ƒ est croissante convexe ou décroissante concave, l'incertitude propagée est sous-estimée du côté des erreurs en excès, et surestimée du côté des erreurs en défaut, et réciproquement si la loi physique ƒ est croissante concave ou décroissante convexe. La mésestimation est d'autant plus importante que la convexité, ou la concavité, est importante, en relation avec la valeur de l'incertitude (échelle de la non-linéarité). Si l’asymétrie créée sur l'incertitude devient trop importante, il convient de gérer deux demi-incertitudes différentes, une par défaut et une par excès.

Approche mathématique

Notations

• x une variable aléatoire,
• E(x) ou <x> l'espérance mathématique de x,
• V(x) la variance de x.
• $\partial_i y$ est la dérivée partielle de la fonction y par rapport à la i ^e variable.

par exemple, si x est un vecteur (x₁, x₂,…, x_n), alors

$\partial_i y(\underline{x}) = \frac{\partial y}{\partial x_i}(\underline{x})$

Formules

Une fonction de variables aléatoires

$y = y (\underline{x})$

est elle-même une variable aléatoire. Si les incertitudes sont petites, la variance du développement limité de y au premier ordre autour des valeurs moyennes μ des x est une bonne estimation de la variance de y :

$y(x) = y(\mu) + \sum \left(x_i - \mu \right) \partial_i y$

On néglige les termes d'ordre supérieur dans l'expansion, il vient :

$V(y(x)) = \sum_i\sum_j \partial_i y \partial_j y V_{ij}(x)$

Si les x sont indépendantes

$V(y(x)) = \sum_i \left( \partial_i y \right)^2 V_{ii}(x)$

Applications

Mesure d'une résistance

Une application pratique est la mesure expérimentale d'une résistance R à partir de la chute de tension U entre ses bornes et du courant I. La résistance est décrite par la loi d'Ohm.

$R = \frac{U}{I}$

Nous avons

$\langle R \rangle = \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle}$

$\partial_U R = \frac{1}{\langle I \rangle} = \frac{\langle R \rangle}{\langle U \rangle}$ et $\partial_I R = - \frac{\langle U \rangle}{\langle I \rangle^2} = - \frac{\langle R \rangle}{\langle I \rangle}$

Il vient

$\frac{V_R}{\langle R \rangle^2} = \frac{V_U}{\langle U \rangle^2} + \frac{V_I}{\langle I \rangle^2}$

Dans ce cas simple, l'incertitude relative sur R correspond à la moyenne géométrique des incertitudes relatives sur U et I :

$\frac{\sigma_R}{\langle R \rangle} = \sqrt{\left(\frac{\sigma_U}{\langle U \rangle}\right)^2 + \left(\frac{\sigma_I}{\langle I \rangle}\right)^2}.$

Cette formule est différente de la formule fondée sur la différentielle totale exposée ci-dessous :

$\frac{\delta R}{R} = \frac{\delta U}{U} - \frac{\delta I}{I}.$

La raison en est que la deuxième formule considère ce qui peut arriver dans le « pire » des cas : celui où U s'écarte de δU de sa valeur moyenne et où I s'écarte de –δI. Pour retrouver cette formule par application de la loi de propagation des incertitudes, il faut supposer que les variables U et I sont parfaitement corrélées (plus exactement, le coefficient de corrélation est égal à -1 : $\operatorname{cov}(U,I)=-\sigma_U \sigma_I$)

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables :

• P : pression du gaz
• V : volume occupé par le gaz
• n : quantité de gaz en moles (1 mole = 6,022·10²³ molécules)
• R : constante des gaz parfaits = 8,314 J·K^-1·mol^-1
• T : température absolue du gaz, en kelvin

La pression en fonction de n, R, T et V s'exprime par

$P =\frac{n \times R \times T}{V}$

écrivons sa différentielle :

$dP =\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV$

Si l'on « remplace » des variations élémentaires de variables dx par les incertitudes sur les variables δx, on obtient :

$\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n - \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V$

qui donne l'incertitude absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des incertitudes sur T, R, n et V.

Autres exemples simples :

• le calcul de la surface d'un rectangle.

$S=L l$ et $S+dS= (L+dL)(l+dl) = L l + L dl +l dL + dl dL$

peut s'écrire

$dS = ( (L+dL)(l+dl) - L l )= L dl +l dL + dL dl$

que l'on approxime par

$dS = L dl +l dL$

• le calcul d'un volume V = x·y·z

$V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)(y+dy)(z+dz) = xyz +dx y z+x dy z + x y dz + x dy dz + y dx dz + z dx dy + dx dy dz$

peut s'écrire

$dV = yz dx +zx dy + xy dz + dx dy dz$

que l'on approxime par $dV = yz dx +zx dy + xy dz$

noter que

$dV = yz dx +zx dy + xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz$

rappel: $\frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy$

• et plus généralement pour le calcul de la variation d'une fonction ƒ(x,y,z).

si $\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}$ est la dérivée partielle par rapport à x

$d f(x,y,z) = \frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}dz$

Références

• Calcul d'incertitude