Calcul d'incertitude

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Le calcul d'incertitude permet d'évaluer correctement les erreurs qui se produisent lors de mesures liées à la vérification d'une relation entre différentes grandeurs physiques. Les instruments de mesure n'étant pas de précision infinie, les mesures faites pendant une expérience ne sont pas exactes. Il faut donc évaluer ces incertitudes pour répondre à la question : « la relation n'est pas vérifiée exactement parce qu'elle est fausse ou parce que les mesures sont incertaines ? » On en déduit des marges d'erreurs, en dehors desquelles la relation sera invalidée. Cela fait partie intégrante de la méthode scientifique.

Méthodes de base

Quand on calcule un produit ou une somme de deux mesures expérimentales, il est nécessaire d'en connaître l'incertitude. On utilise alors ce qu'on appelle la propagation des incertitudes :

Soit les grandeurs mesurées $a$ et $b$ avec leurs incertitudes absolues $\Delta a$ et $\Delta b$, et leurs incertitudes relatives $\frac{\Delta a}{a}$ et $\frac{\Delta b}{b}$

L'incertitude de $c = a + b$ ou $c = a - b$ est donnée par $\Delta c = \sqrt{\Delta a^2 + \Delta b^2}$

Autrement dit, l'incertitude absolue sur la somme ou la différence de 2 grandeurs est égale à la somme quadratique de leurs incertitudes absolues.

L'incertitude de $c = a * b$ ou $c = a / b$ est donnée par $\frac{\Delta c}{c} = \sqrt {(\frac{\Delta a}{a})^2 + (\frac{\Delta b}{b})^2 }$

Autrement dit, l'incertitude relative sur un produit ou un rapport de 2 grandeurs est égale à la somme quadratique de leurs incertitudes relatives.

Ces résultats sont démontrés par la formule statistique de propagation des incertitudes. Pour une fonction de n variables indépendantes x_i, f(x₁, x₂ ... ,x_i ... ,x_n) :

$\Delta f = \sqrt { \sum_{i=1}^n (\frac{\partial f}{\partial x_i})^2 (\Delta x_i)^2 }$

Cette formule tient compte des compensations. Ainsi nous obtenons le $\Delta f$ avec la même confiance que les $\Delta x_i$.

Attention, la propagation de l'erreur ne suit pas les mêmes lois.

Incertitude entre une valeur exacte et une valeur approchée (erreur)

La calcul de l'erreur s'effectue de la manière suivante:

en prenant $A$ la valeur exacte, et $B$ la valeur approchée, le calcul de l'erreur est $e = \frac{A - B}{A}$.

Ce calcul bien que très simplifié, est très utilisé dans l'ingénierie et la recherche pour déterminer et quantifier simplement une erreur de mesure ou de calcul.

Utilisation des différentielles totales exactes

Une loi physique s'exprime par une relation algébrique entre un certain nombre de grandeurs mesurables.

Exemples simples : surface et volume

Le calcul de la surface d'un rectangle de côtés L et l :

$S=L \cdot l$

devient lorsque les côtés deviennent L+dL et l+dl:

$S(L+dL,l+dl) = (L+dL) \cdot(l+dl) = L\cdot l + L \cdot dl +l\cdot dL + dl\cdot dL$

Donc la variation de la surface dS peut s'écrire :

$dS = (L+dL)\cdot (l+dl) - L \cdot l = L\cdot dl +l\cdot dL + dL\cdot dl$

que l'on approche par :

$dS = L\cdot dl +l\cdot dL$ car dL.dl est négligeable.

Noter que

$\frac{\partial (L\cdot l) }{\partial L}= l ; \frac{\partial (L\cdot l) }{\partial l}=L$

d'où

$dS = \frac{\partial S(L,l) }{\partial L}dL+\frac{\partial S(L,l) }{\partial l}dl$

De même la variation de volume d'une boîte de côtés x, y, z de volume V=xyz :

$V(x+dx,y+dy,z+dz) = (x+dx)\cdot(y+dy)\cdot(z+dz)$

$= x\cdot y\cdot z +dx\cdot y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz + y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz$

peut s'écrire

$dV =V(x+dx,y+dy,z+dz) - x\cdot y\cdot z =$

$= dx\cdot y \cdot z+x\cdot dy\cdot z + x\cdot y\cdot dz + x\cdot dy\cdot dz + y\cdot dx\cdot dz + z\cdot dx\cdot dy + dx\cdot dy\cdot dz$

que l'on approche par :

$dV = y\cdot z\cdot dx +z\cdot x\cdot dy + x\cdot y\cdot dz$

Noter que :

$dV = yz dx +zx dy + xy dz = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz$

car

$\frac{\partial (xyz) }{\partial x}= yz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial y}=xz ; \frac{\partial (xyz) }{\partial z}=xy$

et donc

$dV = \frac{\partial (xyz) }{\partial x}dx+\frac{\partial (xyz) }{\partial y}dy+\frac{\partial (xyz) }{\partial z}dz= \frac{\partial V(x,y,z) }{\partial x}dx+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial y}dy+\frac{\partial V(x,y,z) }{\partial z}dz$

La variation d'une fonction f(x,y,z)

Et plus généralement, pour le calcul de la variation d'une fonction f(x,y,z).

$\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}$ = dérivée partielle par rapport à x

$d f(x,y,z) = |\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial x}|dx+|\frac{\partial f(x,y,z) }{\partial y}|dy+|\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial z}|dz$

Loi des gaz parfaits

Prenons par exemple la loi des gaz parfaits reliant :

• P : la pression du gaz
• V : le volume occupé par le gaz
• n : la quantité de gaz en moles (1 mole = 6,022 10²³ molécules)
• R : la constante des gaz parfaits = 8,314 J.K^-1.mol^-1
• T : la température absolue du gaz, en kelvin.

$P =\frac{n \times R \times T}{V}$ exprime la pression en fonction de n, R, T et V.

Écrivons sa différentielle :

$\begin{array}{rcl} dP (T,R,n,V) & = & P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)\\[2ex] ~ & = & \displaystyle{\frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR + \frac{ R \times T}{V}dn - \frac{n \times R \times T}{V^2}dV} \end{array}$.

la variation la plus grande s'obtiendra lorsque les 4 termes ci-dessus s'ajouteront :

$\delta P =\frac{n \times R}{V}\delta T + \frac{n \times T}{V}\delta R +\frac{ R \times T}{V}\delta n + \frac{n \times R \times T}{V^2}\delta V$

donne l'erreur absolue sur P déduite du calcul de P à partir de la connaissance des erreurs sur T, R, n et V.

Dans ce cas particulier, on a :

$\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{P (T+dT,R+dR,n+dn,V+dV)-P (T,R,n,V)}{P}$.

$\frac{dP (T,R,n,V)}{P} = \frac{ \frac{n \times R}{V} dT + \frac{n \times T}{V} dR +\frac{ R \times T}{V} dn - \frac{n \times R \times T}{V^2} dV }{P}= \frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}$.

et donc dans l'absolu :

$\frac{\delta P}{P} =\frac{\delta T}{T} + \frac{\delta R}{R} +\frac{\delta n}{n} - \frac{\delta V}{V}$.

On peut aussi utiliser la différentielle logarithmique :

$P =\frac{n \times R \times T}{V}$.

Donc

$\ln(P) =\ln(n) +\ln(R) +\ln(T) -\ln(V)\,$.

En dérivant, on obtient :

$\frac{dP}{P} =\frac{dT}{T} + \frac{dR}{R} +\frac{dn}{n} - \frac{dV}{V}$

soit : $\frac{{\Delta}P}{P} =\frac{{\Delta}T}{T} + \frac{{\Delta}R}{R} +\frac{{\Delta}n}{n} + \frac{{\Delta}V}{V}$.

Cette méthode plus rapide s'applique lorsqu'on cherche à faire la différentielle d'une fonction, quotient ou produit de plusieurs variables.

Les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque l'on a un produit de variables et ce résultat est remarquable car il est facile à retenir : les incertitudes relatives s'ajoutent lorsque la formule ne comporte que des produits (au sens large : une division est un produit par l'inverse).

Références

• Propagation des incertitudes

Références externes

• Évaluation des données de mesure – Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure
• Proposition d'un tableur qui réalise la régression linéaire avec ou sans barres d'erreurs

• Ten Theses for a New GUM