Andrei Roiter

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Andrei Roiter
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Andrei Vladimirovitch Roiter (russe : Андрей Владимирович Ройтер ; ukrainien : Андрій Володимирович Ройтер, né le 30 novembre 1937 à Dnipro et mort le 26 juillet 2006 à Riga (Lettonie)) est un mathématicien ukrainien, plus précisément un algébriste[1].

Biographie[modifier | modifier le code]

Le père d'Andrei Roiter est le chimiste ukrainien V. A. Roiter, un grand spécialiste de la catalyse[2]. En 1955, Andrei Roiter s'inscrit à l'université nationale Taras Shevchenko de Kiev, où il rencontre sa future femme, la mathématicienne Lyudmyla Nazarova. En 1958, il part avec Nazarova partent pour l'université d'État de Saint-Pétersbourg (alors appelée université d'État de Leningrad). Ils se marient et commencent une collaboration sur la théorie des représentations qui dure jusqu'à la mort de Roiter. En 1960, il reçoit son diplôme (MS) et en 1963, il soutient sa thèse de doctorat[3], dirigée par Dimitri Constantinovich Faddeev[4], comme celle de Ludmila Nazarova[5]. Andrei Roiter est embauché en 1961 comme chercheur à l'institut de mathématiques de l'Académie des sciences d'Ukraine, où il travaille jusqu'à sa mort en 2006. Depuis 1991, il dirigeait le département d'algèbre. Il soutient son doctorat en sciences (habilitation) en 1969[3]. En 1978, il est conférencier invité au congrès international des mathématiciens à Helsinki[6].

Contributions[modifier | modifier le code]

En 1960, dans son premier article publié[7], Roiter démontre un résultat important qui ouvre la voie de la démonstration par d'autres mathématiciens du fait que pour tout groupe fini , le nombre de représentations entières indécomposables non isomorphes est fini si et seulement si pour chaque nombre premier p, le p -sous-groupe de Sylow est cyclique d'ordre au plus p2[8],[3].

Dans un article de 1966[9], il démontre un théorème important dans la théorie des représentations entières des anneaux[3]. Dans un célèbre article de 1968[10], il démontre la première conjecture de Brauer-Thrall[11],[3].

Roiter démontre la première conjecture de Brauer-Thrall pour les algèbres de dimension finie ; son article[10] ne mentionne jamais les algèbres artiniennes mais les techniques employées fonctionnent également pour elles. L'article[10] inspire une importante ligne de recherche, inaugurée par Maurice Auslander et Sverre Olaf Smalø dans un article de 1980[12]. Cet article d'Auslander et Smalø et ceux qu'il a inspiré ont introduit, entre autres, des sous-catégories finies de manière covariante et contravariante dans la catégorie des modules de type fini sur une algèbre artinienne, ce qui a conduit à la théorie des suites presque scindées[13] et plus largement à la théorie d'Auslander-Reiten.

D'après Auslander et Smalø[12] :

« ... it is perhaps surprising that the original impetus for our work did not come from the theory of hereditary artin algebras or those stably equivalent to hereditary artin algebras. Rather, the research came from an effort to explain a much older result of Gabriel and Roiter ... concerning artin algebras of finite representation type in terms of the technics and ideas developed by Auslander and Reiten in connection with almost split sequences and irreducible morphisms ... »

« [...] Il est peut-être étonnant que l'impulsion initiale de notre travail ne soit pas venue de la théorie des algèbres artiniennes héréditaires ou celles qui leur sont stablement équivalentes. Au contraire, cette recherche est née d'un effort pour expliquer un résultat bien plus ancien de Gabriel et Roiter [...] à propos des algèbres artiniennes de type de représentation fini à l'aide des idées et techniques développées par Auslander et Reiten pour les suites presque scindées et les morphismes irréductibles. »

Roiter a par ailleurs apporté des contributions importantes à propos des représentations p-adiques[3], en particulier par son article de 1967 avec Youri Drozd et Vladimir V. Kirichenko sur les ordres héréditaires et les ordres de Bass[14],[15],[16] et par le critère de Drozd-Roiter pour déterminer si un ordre commutatif a seulement un nombre fini de représentations indécomposables non isomorphes[17]. Un outil important dans cette recherche était sa théorie de la divisibilité des modules[18],[19].

En 1972, Nazarova et Roiter[20] introduisent les représentations d'ensembles partiellement ordonnés, une classe importante de problèmes matriciels qui a de nombreuses applications en mathématiques, dont la théorie des représentations des algèbres de dimension finie. (En 2005, tous deux démontrent avec M. N. Smirnova un théorème sur les formes quadratiques antimonotones et les ensembles partiellement ordonnés[21].) Toujours dans les années 1970, trois articles de Roiter, dont deux en collaboration avec Mark Kleiner[22],[23],[24],[25], introduisent les représentations de bocs (bimodule over categories), une classe très générale de problèmes matriciels[3].

La monographie de Roiter et Pierre Gabriel (avec une contribution de Bernhard Keller), publiée par Springer en 1992 en traduction anglaise, a eu une forte influence sur la théorie des représentations des algèbres de dimension finie et la théorie des problèmes matriciels[26],[3],[27]. Il en existe une réimpression de 1997[28].

Dans les années qui ont précédé sa mort, Roiter travaille sur les représentations dans les espaces de Hilbert[29]. Dans deux articles[30],[31], Nazarova, Stanislav Kruglyak et lui introduisent la notion de représentations localement scalaires des carquois (c'est-à-dire des graphes orientés) dans les espaces de Hilbert. Dans leur article de 2006, ils construisent pour de telles représentations des foncteurs de Coxeter analogues aux foncteurs de réflexion de Bernstein-Gelfand-Ponomarev[32] et utilisent ces nouveaux foncteurs pour étudier les représentations localement scalaires. En particulier, ils démontrent qu'un carquois n'a qu'un nombre fini de représentations localement scalaires indécomposables (à isomorphisme unitaire près) si et seulement si le graphe sous-jacent est un diagramme de Dynkin. Leur résultat est analogue à celui de Gabriel[33] pour les représentations « usuelles » des carquois[3].

En 1961, Roiter commence à Kiev un séminaire sur la théorie des représentations. Le séminaire devient le pilier de la très estimée école de Kiev de théorie des représentations. Roiter dirige treize thèses de doctorat. En 2007, Andrei Roiter reçoit à titre posthume le prix d'État ukrainien en science et technologie (en) pour ses recherches sur la théorie des représentations[3].

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. ↑ Yakovlev, A. V., « To the memory of Andrei Vladimirovich Roiter », Journal of Mathematical Sciences, vol. 145, no 1,‎ , p. 4831-4835 (DOI 10.1007/s10958-007-0316-x, S2CID 123095732, lire en ligne) (with list of Roiter's publications; 67 titles)
  2. ↑ V. A. Roiter, Selected Works [in Russian], Kiev, Naukova Dumka, .
  3. ↑ a b c d e f g h i et j Drozd, Yu., Kirichenko, V., Krugliak, S. et Kleiner, M., « Andrei Vladimirovich Roiter. To the 75th anniversary », Algebra Discrete Math., vol. 14, no 2,‎ , p. C-H (lire en ligne) ; "In Memory of Andrei Vladimirovich Roiter"
  4. ↑ (en) « Andrei V. Roiter », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  5. ↑ (en) « Dmitry Konstantinovich Faddeev », sur le site du Mathematics Genealogy Project.
  6. ↑ Roiter, A. V., « Matrix problems », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, 1978, Helsinki, vol. 1, p. 319-322.
  7. ↑ Roiter, A. V., « On the representations of the cyclic group of fourth order by integral matrices », Vestnik Leningrad. Univ., vol. 15,‎ , p. 65-74.
  8. ↑ Alexander I. Lichtman, « SD Herman's Contribution to the Theory of Integral Representations of Finite Groups », dans M. Isaacs, A. Lichtman, D. Passman, S. Sehgal, N. Sloane, H. Zassenhaus, Representation Theory, Group Rings, and Coding Theory: Papers in Honor of SD Berman (1922-1987), vol. 93, (ISBN 9780821850985), p. 27.
  9. ↑ Roiter, A. V., « Integer-valued representations belonging to one genus », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 30,‎ , p. 1315-1324.
  10. ↑ a b et c A. V. Roiter, « Unbounded dimensionality of indecomposable representations of an algebra with an infinite number of indecomposable representations », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 32, no 6,‎ , p. 1275-1282 ; « traduction en anglais », Math. USSR-Izv., vol. 2, no 6,‎ , p. 1223-1230 (lire en ligne).
  11. ↑ (en) Henning Krause, « Notes on the Gabriel-Roiter measure », ..
  12. ↑ a et b Auslander, M. et Smalø, S. O., « Preprojective modules over Artin algebras », Journal of Algebra, vol. 66, no 1,‎ , p. 61-122 (DOI 10.1016/0021-8693(80)90113-1, MR 0591246, lire en ligne) (Note: the word "technic" is a jargon term sometimes used by algebraists working in Auslander–Reiten theory.)
  13. ↑ Auslander, Maurice, Reiten, Idun et Smalø, Sverre O., Representation Theory of Artin Algebras, Cambridge University Press, (ISBN 978-0-521-59923-8, lire en ligne).
  14. ↑ Roiter, A. V., « An analogue of the theorem of Bass for modules of representations of non-commutative orders », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 168,‎ , p. 1261-1264.
  15. ↑ Drozd, Y. A., Kirichenko, V. V. et Roiter, V. A., « Hereditary and Bass orders », Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 31, no 6,‎ , p. 1415-1436 (DOI 10.1070/IM1967v001n06ABEH000625, Bibcode 1967IzMat...1.1357D) ; traduction en anglais : Drozd, Kiričenko et Roĭter, « On hereditary and Bass orders », Math. USSR Izvestiya, vol. 1, no 6,‎ , p. 1357-1376 (DOI 10.1070/IM1967v001n06ABEH000625, Bibcode 1967IzMat...1.1357D).
  16. ↑ (en) Tse-Chung Yang et Chia-Fu Yu, « Monomial, Gorenstein and Bass Orders », ..
  17. ↑ Drozd et Roĭter, « Commutative rings with a finite number of indecomposable integral representations », Mathematics of the USSR-Izvestiya, vol. 1, no 4,‎ , p. 757-772 (ISSN 0025-5726, DOI 10.1070/IM1967v001n04ABEH000588, Bibcode 1967IzMat...1..757D).
  18. ↑ Roiter, A. V., « Categories with division and integral representations », Dokl. Akad. Nauk SSSR, vol. 153,‎ , p. 46-48.
  19. ↑ Roiter, A. V., « Divisibility in the category of representations over a complete local Dedekind ring », Ukrain. Mat. J., vol. 17, no 4,‎ , p. 124-129.
  20. ↑ Nazarova, L. A. et Roiter, A. V., « Representations of the partially ordered sets », Zapiski Nauchnykh Seminarov POMI, vol. 28,‎ , p. 5-31 (lire en ligne).
  21. ↑ Nazarova, Roĭter et Smirnova, « Antimonotone quadratic forms and partially ordered sets », St. Petersburg Mathematical Journal, vol. 17, no 6,‎ , p. 1015-1030 (ISSN 1061-0022, DOI 10.1090/S1061-0022-06-00938-1).
  22. ↑ « Mark Kleiner, Professor of Mathematics », Faculty, Syracuse University.
  23. ↑ Roiter, A. V. et Kleiner, M. M., « Representations of differential graded categories », dans Representations of algebras (Proc. Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1974), vol. 488, Berlin, Springer, coll. « Lecture Notes in Mathematics », , p. 316-339.
  24. ↑ (ru) Kleiner, M. M. et Roiter, A. V., Matrix problems, Kiev, Akad. Nauk Ukrain. SSR Inst. Mat., , « Representations of differential graded categories », p. 5-70.
  25. ↑ (ru) Roiter, A. V., « Matrix problems and representations of BOCSs », dans Representations and quadratic forms, vol. 154, Kiev, Akad. Nauk Ukrain. SSR, Inst. Mat., , p. 3-38.
  26. ↑ Peter Gabriel et Andrei V. Roiter, Representations of finite-dimensional algebras, vol. 73, Springer, coll. « Encyclopedia of Mathematical Sciences », (ISBN 978-3-540-53732-8, lire en ligne).
  27. ↑ Brian H. Denton, « Reviewed work: Algebra VIII. Representations of Finite-Dimensional Algebras », The Mathematical Gazette, vol. 77, no 480,‎ , p. 386-387 (DOI 10.2307/3619799, JSTOR 3619799).
  28. ↑ Peter Gabriel et Andrei V. Roiter, Representations of finite-dimensional algebras, (ISBN 9783540629900, lire en ligne).
  29. ↑ (en) A. V. Roiter, S. A. Kruglyak et L. A. Nazarova, « Matrix Problems in Hilbert Spaces », ..
  30. ↑ Kruglyak, S. A., Nazarova, L. A. et Roiter, A. V., « Orthoscalar representations of quivers in the category of Hilbert spaces », Zap. Nauchn. Semin. POMI, vol. 338,‎ , p. 180-201 (lire en ligne).
  31. ↑ Kruglyak, S.A. et Roiter, A. V., « Locally scalar graph representations in the category of Hilbert spaces », Funkts. Anal. Prilozh., vol. 39, no 2,‎ , p. 13-30 ; traduction : S. A. Kruglyak et A. V. Roiter, « Locally Scalar Graph Representations in the Category of Hilbert Spaces », Functional Analysis and Its Applications, vol. 39, no 2,‎ , p. 91-105 (ISSN 0016-2663, DOI 10.1007/s10688-005-0022-8, S2CID 121930940).
  32. ↑ Bernstein, I. N., Gelfand, I. M. et Ponomarev, V. A., « Coxeter functors and a theorem of Gabriel », Uspekhi Mat. Nauk, vol. 28,‎ , p. 19-33.
  33. ↑ Gabriel, P., « Unzerlegbare Darstellungen I. », Manuscripta Math., vol. 6,‎ , p. 71-103 (DOI 10.1007/BF01298413, S2CID 119425731).

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