Étoile-produit
En physique mathématique, le étoile-produit[1] est un opérateur mathématique sur une variété de Poisson pour déformer la multiplication de l'algèbre des fonctions lisses à valeurs complexes en une algèbre associative non commutative.
L'opérateur est une quantification de déformation, une formalisation mathématique de la quantification issue de la physique.
Définitions[modifier | modifier le code]
Déformation formelle[modifier | modifier le code]
Soit un anneau commutatif et une algèbre sur un anneau. Soit l'anneau des séries formelles et l'algèbre des séries formelles sur avec les coefficients dans .
La déformation formelle de l'opérateur de multiplication de l'algèbre est une application -bilinéaire[2]
tel que pour tout
et est la multiplication des séries formelles :
Étoile-produit[modifier | modifier le code]
Soit une variété de Poisson, où est un tenseur de Poisson.
Le étoile-produit est une déformation formelle sur , c'est-à-dire une multiplication -bilinéaire[3]
de la forme
et sont des applications -bilinéaire
vérifiant les axiomes:
- est associative: pour tout .
- .
- (où est le crochet de Poisson).
- pour tout .
Propriétés[modifier | modifier le code]
Si les sont des opérateurs bidifférentiels, est appelé un étoile-produit différentiel.
Si les sont des opérateurs bidifférentiels d'ordre est dans chaque argument, est appelé un étoile-produit naturel.
On appelle un du type Weyl, si et est hermitien, c'est-à-dire (avec la convention ).
Exemple[modifier | modifier le code]
- Le produit de Moyal (en) défini comme
- pour est un étoile-produit sur avec une forme symplectique canonique et la constante de Planck .
Existence[modifier | modifier le code]
Sur les variétés symplectiques[modifier | modifier le code]
De Wilde et Lecomte ont prouvé qu'un étoile-produit différentiel existe sur chaque variété symplectique[4].
Sur les variétés de Poisson[modifier | modifier le code]
Maxime Kontsevitch a prouvé que toute variété de Poisson de dimension finie peut être quantifiée, ce qui implique l'existence de étoile-produit différentiels sur des variétés de Poisson arbitraires[5].
Littérature[modifier | modifier le code]
- (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
- (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
Références[modifier | modifier le code]
- Joseph Oesterlé, « Quantification formelle des variétés de Poisson », Astérisque, vol. 252, no 843, , p. 211-229 (lire en ligne)
- (en) Chiara Esposito, Formality Theory, Springer Verlag, (ISBN 978-3-319-09289-8)
- (de) Stefan Waldmann, Poisson-Geometrie und Deformationsquantisierung, Springer Verlag, (ISBN 978-3-540-72517-6)
- (en) Marc de Wilde et Pierre B. A. Lecomte, « Existence of star-products and of formal deformations of the Poisson Lie algebra of arbitrary symplectic manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 7, no 6, (DOI 10.1007/BF00402248)
- (en) Maxime Kontsevitch, « Deformation Quantization of Poisson Manifolds », Letters in Mathematical Physics, vol. 66, no 3, (DOI 10.1023/B:MATH.0000027508.00421.bf, arXiv q-alg/9709040v1)