Équation de Rankine-Hugoniot

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L'Équation de Rankine-Hugoniot est une équation de la mécanique des fluides, une branche de la physique qui s'intéresse à l’étude du comportement des fluides (liquides et gaz) et des forces internes associées.

Origine et énoncé de l'équation

L’expérience d’Hugoniot permet de mettre en relation la variation de section avec la variation de vitesse en fonction du domaine de l’écoulement. Elle consiste à observer l'écoulement d'un fluide compressible dans un convergent avec une vitesse d'entrée inférieure puis supérieure à la vitesse de propagation des ondes dans ce fluide. La formule de Rankine-Hugoniot peut se retrouver à partir de l'expression de la conservation de mouvement :

$v\,\mathrm dv+\frac{\mathrm dP}{\rho}=0$

où $v$ est la vitesse, $\mathrm dv$ la variation de vitesse, $\mathrm dP$ la variation de pression et $\rho$ la masse volumique du gaz considéré. $\mathrm dP$ peut être remplacé par $c^{2}\mathrm d\rho$ puisque la célérité $\scriptstyle c=\sqrt{\frac{\mathrm dP}{\mathrm d\rho}}$.

Nous obtenons alors :

$\frac{\mathrm d\rho}{\rho}=-\frac{v\,\mathrm dv}{c^{2}}=-\frac{v^{2}\,\mathrm dv}{c^{2}\,v}=-M^{2}\,\frac{\mathrm dv}{v}$

En utilisant la loi de Pascal sous sa forme dérivée, $\scriptstyle\frac{\mathrm d\rho}{\rho}$ peut être remplacé par $\scriptstyle -\left(\frac{\mathrm dv}{v}+\frac{\mathrm ds}{s}\right)$ où $s$ est la section de l'écoulement et $\mathrm ds$ la variation de section.

Ceci nous donne la formule de Rankine-Hugoniot :

$\frac{\mathrm ds}{s}=(M^{2}-1)\,\frac{\mathrm dv}{v}$

Voir aussi

Articles connexes

• Pierre-Henri Hugoniot
• William Rankine