Fonction liouvillienne

En mathématiques, et plus précisément en analyse, les fonctions liouvilliennes sont un ensemble de fonctions plus générales que les fonctions élémentaires, obtenues à partir de celles-ci en itérant l'opération d'antidérivation. Elles ont été introduites par Joseph Liouville dans une série d'articles entre 1833 et 1841.

Définition

Partant de l'ensemble $F_{0}$ des fonctions élémentaires (fonctions à valeurs complexes d'une variable réelle) on construit successivement des ensembles $F_{n}$ (avec $n\in \mathbb {N}$) en appelant $I_{n}$ l'ensemble des primitives de $F_{n}$, puis en appliquant à $F_{n}\cup I_{n}$ les opérations définissant les fonctions élémentaires (clôture algébrique et clôture par composition), obtenant $F_{n+1}$ ; les fonctions liouvilliennes sont celles appartenant à la réunion des $F_{n}$.

Plus généralement, on peut prendre comme corps de base un corps différentiel $K$ quelconque (la définition précédente prend pour $K$ le corps $\mathbb {C} (X)$ des fractions rationnelles à coefficients complexes), et en introduisant à chaque étape de la construction de nouvelles fonctions « primitives » des précédentes ($g$ est une primitive de $f$ si $\partial g=f$, où $\partial$ est l'opérateur de dérivation) ; la théorie algébrique correspondante, appelée algèbre différentielle (en), permet en particulier de démontrer que certaines fonctions ne sont pas liouvilliennes, en généralisant le théorème analogue sur les primitives de fonctions élémentaires.

Exemples

Par définition, toutes les fonctions élémentaires et leurs primitives sont liouvilliennes, en particulier les fonctions spéciales Si (sinus intégral) et Li (logarithme intégral) ou encore la fonction d'erreur $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt$.

On voit facilement par récurrence que toutes les fonctions liouvilliennes sont solutions d'équations différentielles algébriques (en), mais la réciproque est fausse : en dehors de quelques cas particuliers, les fonctions de Bessel et les fonctions hypergéométriques ne sont pas liouvilliennes. A fortiori, les fonctions hypertranscendantesFonction hypertranscendante, comme la fonction gamma (c'est le théorème de Hölder) ou la fonction zêta, ne sont pas liouvilliennes.

Voir aussi

• Expression de forme fermée
• Théorie de Galois différentielle

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Liouvillian fonction » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) J. H. Davenport, Towards Mechanized Mathematical Assistants, Berlin/Heidelberg, Springer, 2007, 55–65 (ISBN 3-540-73083-4, lire en ligne), « What Might ‘Understand a Function’ Mean »