Théorème du sous-espace

En mathématiques, le théorème du sous-espace indique que les points de petite hauteur dans l'espace projectif se trouvent dans un nombre fini d'hyperplans. C'est un résultat obtenu par Wolfgang M. Schmidt en 1972.

Énoncé

Le théorème du sous-espace énonce que si L₁ ,. . ., L_n sont des formes linéaires linéairement indépendantes à n variables à coefficients algébriques et si ε>0 est un nombre réel donné, alors les points entiers non nuls x tels que

$|L_{1}(x)\cdots L_{n}(x)|<|x|^{-\epsilon }$

sont inclus dans un nombre fini de sous-espaces propres de Qⁿ.

Une forme quantitative du théorème, dans laquelle le nombre de sous-espaces contenant toutes les solutions, a également été obtenue par Schmidt, et le théorème a été généralisé par Schlickewei (1977) pour permettre des valeurs absolues plus générales sur les corps de nombres.

Applications

Le théorème peut être utilisé pour obtenir des résultats sur des équations diophantiennes telles que le théorème de Siegel sur les points entiers et la solution de l'équation des S-unité.

Un corollaire sur l'approximation diophantienne

Le corollaire suivant du théorème du sous-espace est souvent appelé théorème du sous-espace. Si a₁ ..., a_n sont algébriques tels que 1, a₁ ..., a_n sont linéairement indépendants sur Q et ε>0 est un nombre réel donné, alors il n'y a qu'un nombre fini de n-uplets rationnels (x₁/y...,x_n/y) avec

$|a_{i}-x_{i}/y|<y^{-(1+1/n+\epsilon )},\quad i=1,\ldots ,n.$

La spécialisation n = 1 donne le théorème de Thue-Siegel-Roth. On peut aussi noter que l'exposant 1+1/ n +ε est optimal par le théorème de Dirichlet sur l'approximation diophantienne.

Références

• Enrico Bombieri et Walter Gubler, Heights in Diophantine Geometry, vol. 4, Cambridge, Cambridge University Press, coll. « New Mathematical Monographs », 2006 (ISBN 978-0-521-71229-3, DOI 10.2277/0521846153, MR 2216774, zbMATH 1130.11034)
• Schlickewei, « On norm form equations », J. Number Theory, vol. 9, n^o 3,‎ 1977, p. 370–380 (DOI 10.1016/0022-314X(77)90072-5, MR 0444562)
• Schmidt, « Norm form equations », Annals of Mathematics, second Series, vol. 96, n^o 3,‎ 1972, p. 526–551 (DOI 10.2307/1970824, JSTOR 1970824, MR 0314761)
• Wolfgang M. Schmidt, Diophantine approximation, vol. 785, Berlin, 1996 with minor corrections, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1980 (ISBN 3-540-09762-7, DOI 10.1007/978-3-540-38645-2, MR 568710, zbMATH 0421.10019)
• Wolfgang M. Schmidt, Diophantine approximations and Diophantine equations, vol. 1467, Berlin, Springer-Verlag, coll. « Lecture Notes in Mathematics », 1991 (ISBN 3-540-54058-X, DOI 10.1007/BFb0098246, MR 1176315, zbMATH 0754.11020)