Théorème d'approximation de Dirichlet

Le théorème d'approximation de Dirichlet est le résultat d'approximation diophantienne simultanée de $d$ réels $x_{1},\dots ,x_{d}$ suivant :

Pour tout réel $N \geq 1$ , il existe un entier $q$ tel que
$1\leq q\leq N\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )<N^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)$ ,

dont le cas particulier N = Q^d avec Q entier^[1] se démontre par le principe des tiroirs de Dirichlet^[2], ou le résultat suivant^[3]^,^[4] (plus général^[5]) :

Pour tout réel $M > 1$ , il existe un entier $q$ tel que
$1\leq q<M\quad {\text{et}}\quad d(qx_{j},\mathbb {Z} )\leq M^{-1/d}\quad (\forall j=1,2,\dots ,d)$ ,

qui utilise un théorème de Minkowski ou de Blichfeldt.

Utilisations[modifier | modifier le code]

Ce théorème est appliqué notamment en théorie des nombres (approximations diophantiennes, théorie des séries de Dirichlet) et dans la théorie des fonctions presque périodiques.

Un corollaire élémentaire du cas d = 1 est que la mesure d'irrationalité de tout irrationnel est supérieure ou égale à 2.

Le théorème est aussi lié à la conjecture du coureur solitaire^[6].

Références[modifier | modifier le code]

↑ Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, 1951 (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels $a 1, a 2, \dots , a d$ , tout entier $Q > 0$ et tout réel $t 0 > 0$ , il existe un réel $t$ tel que $t 0 \leq t \leq t 0 Q d$ et $d(ta_{j},\mathbb {Z} )\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)$ .
↑ G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 216-217, th. 200.
↑ Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, 1980 (lire en ligne), p. 28-32.
↑ (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, n^o 2,‎ 1977, p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour $M$ entier.
↑ Le premier énoncé se déduit du second en prenant $M=\lfloor N\rfloor +1$ .
↑ (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com, 13 mai 2015.

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Arithmétique et théorie des nombres

[1] Seul le corollaire suivant est énoncé sous cet intitulé dans (en) E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Clarendon Press, 1951 (lire en ligne), chap. VIII : pour tous réels $a 1, a 2, \dots , a d$ , tout entier $Q > 0$ et tout réel $t 0 > 0$ , il existe un réel $t$ tel que $t 0 \leq t \leq t 0 Q d$ et $d(ta_{j},\mathbb {Z} )\leq 1/Q\quad (j=1,2,\ldots ,d)$ .

[2] G. H. Hardy et E. M. Wright (trad. de l'anglais par F. Sauvageot), Introduction à la théorie des nombres [« An Introduction to the Theory of Numbers »], Vuibert-Springer, 2007, p. 216-217, th. 200.

[3] Uné généralisation est démontrée dans (en) Wolfgang M. Schmidt, Diophantine Approximation, Springer, 1980 (lire en ligne), p. 28-32.

[4] (en) Thomas W. Cusick, « Dirichlet's diophantine approximation theorem », Bulletin of the Australian Mathematical Society, vol. 16, n^o 2,‎ 1977, p. 219-224 (DOI 10.1017/S0004972700023224, lire en ligne), ne l'énonce que pour $M$ entier.

[5] Le premier énoncé se déduit du second en prenant $M=\lfloor N\rfloor +1$ .

[6] (en) Terence Tao, « A remark on the lonely runner conjecture », sur terrytao.wordpress.com, 13 mai 2015.

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