Utilisateur:Anne Bauval/Brouillon2

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La définition axiomatique est essentiellement donnée en introduction. $\mathbb {R}$ est l'unique corps totalement ordonné qui soit à la fois archimédien et complet ; un tel corps est nécessairement commutatif. Mais on trouve aussi d'autres définitions axiomatiques qui lui sont équivalentes. Ainsi :

\mathbb {R}

est l'unique corps totalement ordonné qui satisfait l'axiome de la borne supérieure.

\mathbb {R}

est l'unique corps totalement ordonné qui satisfait le lemme de Cousin.

L'unicité est à isomorphisme (unique) près, c'est-à-dire que si K est un corps totalement ordonné vérifiant les mêmes hypothèses, alors il existe un (unique) isomorphisme strictement croissant de K dans $\mathbb {R}$ .

$\mathbb {R}$ est un corps commutatif, autrement dit les deux opérations, addition et multiplication, possèdent toutes les propriétés usuelles, en particulier la somme et le produit de deux réels sont réels, ainsi que l'inverse d'un réel non nul. (L'adjectif commutatif signifie qu'un produit ab est toujours égal au produit ba.)

$\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ est un corps totalement ordonné . Cela signifie que tous les nombres peuvent être comparés entre eux (l'un est soit plus grand, soit plus petit, soit égal à l'autre) et que cette relation respecte l'addition et la multiplication. En langage mathématique on a:
- $\forall (a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}\quad a>b\;\Rightarrow a+c>b+c\;$ ;
  
  $\forall (a,b)\in \mathbb {R} ^{2},\forall c\in \mathbb {R} _{+}^{*}\quad a>b\;\Rightarrow a\times c>b\times c\;$

L'axiome de la borne supérieure s'exprime de la manière suivante : si un ensemble A de réels est non vide et majoré, autrement dit s'il existe un nombre donné plus grand ou égal à chaque élément de A; alors A admet une borne supérieure, c'est-à-dire un majorant plus petit que tous les autres.

Ce dernier axiome différencie $\mathbb {R}$ de tous les autres corps. Il existe en effet une infinité de corps commutatifs totalement ordonnés, mais seul $\mathbb {R}$ satisfait l'axiome de la borne supérieure.

$\mathbb {R}$ est archimédien. Cela signifie que si l'on considère un nombre a strictement positif, par exemple 2 et que l'on considère la suite a, 2a, 3a, ... C’est-à-dire dans notre exemple 2, 4, 6, ... alors on obtiendra dans la suite, des nombres aussi grands que l'on veut. En langage mathématique, cela s'écrit :

\forall (a,b)\in {\mathbb {R} _{+}^{*}}^{2}\;\exists n\in \mathbb {N} \quad n\cdot a>b\;

$\mathbb {R}$ est complet. C'est-à-dire que dans $\mathbb {R}$ , toute suite de Cauchy converge^[1].

Démonstrations

Il s'agit de démontrer l'équivalence entre les deux définitions axiomatiques.

Si K est un corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure alors K est archimédien.

Soient a, b deux éléments strictement positifs de K. Il s'agit de trouver un entier n tel que na>b. On considère l'ensemble $A=\{ka\;|\;k\in \mathbb {N} ,ka\leq b\}$ . Cet ensemble est non vide (il contient 0) et majoré (par b), donc il possède une borne supérieure c. L'élément c-a est strictement inférieur à c, par conséquent ce n'est pas un majorant de A. Il existe donc un élément ka de A tel que c-a<ka. Alors (k+1)a n'est pas majoré par c donc n'appartient pas à A, si bien que (k+1)a>b.

Si K est un corps totalement ordonné vérifiant la propriété de la borne supérieure alors K est complet.

Soit $(a_{n})\,$ une suite de Cauchy dans K, il s'agit de prouver que $(a_{n})\,$ converge. Une telle suite est bornée, c'est-à-dire qu'il existe dans K un élément M tel que pour tout entier n, $-M\leq a_{n}\leq M$ .

Pour tout n, l'ensemble $A_{n}=\{a_{m}\;|\;m\geq n\}$ , majoré (par M) et non vide, possède une borne supérieure $b_{n}\,$ . La suite $(b_{n})\,$ est alors décroissante et minorée (par -M). Or dans K, toute suite décroissante et minorée converge (c'est une conséquence directe de la propriété de la borne supérieure - voir théorème de la limite monotone). On note a sa limite.

Pour tout $\varepsilon >0\,$ dans K, il existe donc $N\,$ tel que $b_{N}<a+\varepsilon$ et tel que de plus, pour tous $m,n\geq N$ , $a_{m}<a_{n}+\varepsilon /2$ (car la suite $(a_{n})\,$ est de Cauchy). Pour tout $n\geq N$ , $a_{n}+\varepsilon /2$ est alors un majorant de $A_{N}\,$ donc un majorant de $b_{N}\,$ , si bien que $a-\varepsilon <b_{N}-\varepsilon /2\leq a_{n}\leq b_{N}<a+\varepsilon$ . Ce qui confirme que la suite $(a_{n})\,$ converge vers $a\,$ .

Tout corps commutatif archimédien complet vérifie la propriété de la borne supérieure. La démonstration est analogue à celle utilisée pour la construction des nombres réels par les suites de Cauchy

↑
Ces deux notions ne sont pas à prendre ici au sens usuel de suite de Cauchy et de suite convergente dans un espace métrique (il ne saurait être question, sous peine de cercle vicieux, de définir a priori, sur un corps totalement ordonné K, une distance à valeurs dans ... $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ , que l'on n'a pas encore défini !), mais au sens suivant : une suite $(a_{n})\,$ $(a_{n})\,$ dans K
- est de Cauchy si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tous $m,n\geq N,\ -\varepsilon <a_{m}-a_{n}<\varepsilon$ ,
- converge vers un élément a si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tout $n\geq N,\ -\varepsilon <a_{n}-a<\varepsilon$ .
Ces deux définitions de suites de Cauchy et de suites convergentes - qui sur $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ correspondront a posteriori aux définitions usuelles - sont celles liées respectivement à la structure uniforme sur le groupe ordonné (K,+, $\leq$ $\leq$ ) et à la topologie de l'ordre qu'elle induit. La complétude d'un espace uniforme implique la convergence de ses suites de Cauchy. La réciproque, fausse en général, est vraie ici grâce au fait que K est archimédien.

Tout groupe topologique est R₀, mais pas nécessairement séparé (ce qui, pour un groupe topologique, équivaut également à T₀ ou T₁).

Matrice symétrique réelle positive[modifier | modifier le code]

Soit $M$ une matrice symétrique réelle d'ordre n. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1. La forme bilinéaire symétrique qu'elle représente est positive, c'est-à-dire : pour toute matrice colonne X à n éléments réels,

^{\mathop {t} }\!X\ M\ X\geq 0.

2. Les valeurs propres de M (qui sont automatiquement réelles) sont positives ou nulles, ce qui s'écrit :

\mathop {sp} (M)\ \subset \ [0,\,+\infty [.

Exemple[modifier | modifier le code]

Étant donné un vecteur aléatoire $(T_{1},\dots ,T_{n})$ à valeurs dans $\mathbb {R} ^{n}$ dont chaque composante admet une variance, on définit sa matrice des covariances :

\Gamma ={\Big (}\mathrm {cov} (T_{i},T_{j}){\Big )}\in {\mathcal {S}}_{n}(\mathbb {R} )

Celle-ci est positive. En effet, pour toute matrice colonne X à n éléments réels notés $x_{1},\dots ,x_{n}$ :

^{\mathop {t} }\!X\ \Gamma \ X=\mathop {Var} (x_{1}\,T_{1}+\cdots +x_{n}\,T_{n})\geq 0.

Elle est définie positive si et seulement si la seule combinaison linéaire de $T_{1},\dots ,T_{n}$ qui soit certaine est celle dont tous les coefficients sont nuls.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Pour toute matrice réelle $A$ , la matrice $^{\mathop {t} }\!A.A$ est une matrice symétrique positive. De plus si $A$ est une matrice carrée inversible, $^{\mathop {t} }\!A.A$ est définie positive.
Toute matrice réelle symétrique positive admet une unique racine carrée réelle symétrique positive.

Ce résultat se généralise aux racines n-ièmes.

Matrice hermitienne positive[modifier | modifier le code]

On étend les propriétés et définitions précédentes aux matrices complexes hermitiennes.

Soit $M$ une matrice hermitienne d'ordre n. Elle est dite positive si elle vérifie l'une des deux propriétés équivalentes suivantes :

1. La forme hermitienne qu'elle représente est positive, c'est-à-dire : pour toute matrice colonne Z à n éléments complexes, de matrice adjointe Z*,

Z^{*}\ M\ Z\geq 0.

2. Les valeurs propres de M (qui sont automatiquement réelles) sont positives ou nulles, ce qui s'écrit :

\mathop {sp} (M)\ \subset \ [0,\,+\infty [.

[1] Ces deux notions ne sont pas à prendre ici au sens usuel de suite de Cauchy et de suite convergente dans un espace métrique (il ne saurait être question, sous peine de cercle vicieux, de définir a priori, sur un corps totalement ordonné K, une distance à valeurs dans ... $\mathbb {R}$ , que l'on n'a pas encore défini !), mais au sens suivant : une suite $(a_{n})\,$ dans K
est de Cauchy si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tous $m,n\geq N,\ -\varepsilon <a_{m}-a_{n}<\varepsilon$ ,

converge vers un élément a si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tout $n\geq N,\ -\varepsilon <a_{n}-a<\varepsilon$ .
Ces deux définitions de suites de Cauchy et de suites convergentes - qui sur $\mathbb {R}$ correspondront a posteriori aux définitions usuelles - sont celles liées respectivement à la structure uniforme sur le groupe ordonné (K,+, $\leq$ ) et à la topologie de l'ordre qu'elle induit. La complétude d'un espace uniforme implique la convergence de ses suites de Cauchy. La réciproque, fausse en général, est vraie ici grâce au fait que K est archimédien.

[2] st de Cauchy si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tous $m,n\geq N,\ -\varepsilon <a_{m}-a_{n}<\varepsilon$ ,

[3] verge vers un élément a si pour tout $\varepsilon >0$ dans K, il existe un entier N tel que pour tout $n\geq N,\ -\varepsilon <a_{n}-a<\varepsilon$ .

[1]