q-analogue

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En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend le cas limiteq tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogue étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIXe siècle[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres (en) q-déformées[réf. souhaitée].

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson (en)[2], et les q-analogues non-classiques[3].

q-théorie classique[modifier | modifier le code]

La q-théorie classique commence par la définition des q-analogues des entiers positifs[3]. L'égalité

suggère que l'on peut définir le q-analogue de l'entier n comme étant

En lui-même, le choix de ce q-analogue particulier parmi tous les choix qui étaient possibles n'a pas de justification. Cependant, ce q-analogue précis apparait naturellement dans plusieurs contextes. Par exemple, si on décide d'utiliser [n]q comme étant le q-analogue de n, on peut définir le q-analogue de la factorielle, connue sous le nom de q-factorielle, par

Ce q-analogue de la factorielle apparait ainsi naturellement dans le cas suivant : alors que n! compte le nombre de permutations de longueur n, [n]q! est la série génératrice des permutations de longueur n compté avec un poids égal au nombre d'inversion de ces permutations. C'est-à-dire que si on note inv(w) le nombre d'inversion de la permutation w et que Sn est l'ensemble des permutations de longueur n, on a :

En particulier, on retrouve la factorielle classique en prenant la limite .

La q-factorielle a aussi une définition concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

.

À partir de la q-factorielle, on peut alors définir les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss (en)[4] et notés comme les coefficients du binôme mais entre crochets et non parenthèses, qui sont les q-analogues des coefficients binomiaux

souvent notés plutôt [5].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle

,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-analogues non classiques[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Article connexe : Corps à un élément.

Notes et références[modifier | modifier le code]

Notes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]

  1. (en) H. Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538.
  2. (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
  3. a et b (en) Thomas Ernst, « A Method for q-calculus », Journal of Nonlinear Mathematical Physics, vol. 10, no 4,‎ , p. 487–525 (lire en ligne)
  4. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. I, Springer, (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 11. En note en bas de cette page 11 il est écrit : « Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially p. 16–17. »
  5. Cf. par exemple (en) Eric W. Weisstein, « q-binomial coefficient », MathWorld ou (en) « Umbral calculus », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]