q-analogue

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En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIXe siècle[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres (en) q-déformées[réf. souhaitée].

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson (en)[2], et les q-analogues non classiques[3].

q-théorie classique[modifier | modifier le code]

La q-théorie classique commence par la définition des q-analogues des entiers positifs[3]. L'égalité

suggère que l'on peut définir le q-analogue de l'entier n comme étant

En lui-même, le choix de ce q-analogue particulier parmi tous les choix qui étaient possibles n'a pas de justification. Cependant, ce q-analogue précis apparait naturellement dans plusieurs contextes. Par exemple, si on décide d'utiliser [n]q comme étant le q-analogue de n, on peut définir le q-analogue de la factorielle, connue sous le nom de q-factorielle, par

Ce q-analogue de la factorielle apparait ainsi naturellement dans le cas suivant : alors que n! est le nombre de permutations de longueur n, [n]q! compte les permutations de longueur n en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note inv(w) le nombre d'inversions de la permutation w et que Sn est l'ensemble des permutations de longueur n, on a :

En particulier, on retrouve la factorielle classique en prenant la limite quand .

La q-factorielle a aussi une définition concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

.

À partir de la q-factorielle, on peut alors définir les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss (en)[4] et notés comme les coefficients du binôme mais entre crochets et non parenthèses, qui sont les q-analogues des coefficients binomiaux

souvent notés plutôt [5].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle (en)

,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-analogues non classiques[modifier | modifier le code]

Applications[modifier | modifier le code]

Article connexe : Corps à un élément.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-analog » (voir la liste des auteurs).

  1. (en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, E. Horwood, 1983 (ISBN 978-0-85312491-7).
  2. (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
  3. a et b (en) Thomas Ernst, « A method for q-calculus », JNMP, vol. 10, no 4,‎ , p. 487-525 (lire en ligne).
  4. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. I, Springer, (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 11. En note en bas de cette page 11 il est écrit : « Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially p. 16–17. »
  5. Cf. par exemple (en) Eric W. Weisstein, « q-binomial coefficient », MathWorld ou (en) « Umbral calculus », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Article connexe[modifier | modifier le code]

q-dérivée (en)

Bibliographie[modifier | modifier le code]

(en) Victor Kac (en) et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne)

Liens externes[modifier | modifier le code]