q-symbole de Pochhammer

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En combinatoire, le q-symbole de Pochhammer est un symbole permettant de noter facilement certains produits. C'est l'élément de base des q-analogues. C'est le q-analogue du symbole de Pochhammer défini par Leo Pochhammer.

Définition et notations[modifier | modifier le code]

Le q-symbole de Pochhammer est[1] :

avec

.

On peut étendre la notation à des produits infinis :

On note parfois , lorsqu'il est clair que la variable est .

Fonctions génératrices de partitions[modifier | modifier le code]

Un grand nombre de séries génératrices représentant des partitions peuvent être exprimées de façon compacte avec ces symboles. Par exemple, celle du nombre de partitions de l'entier peut s'écrire :

.

Notons que l'on retrouve ici l'inverse de la fonction d'Euler.

Identités[modifier | modifier le code]

L'une des identités les plus simples est le théorème q-binomial[2] (exprimé ici avec la notation compacte) :

,

dont des cas particuliers sont les deux identités d'Euler :

.

On peut aussi réécrire des théorèmes, comme le théorème des nombres pentagonaux : , ou encore le triple produit de Jacobi.

Les calculs sur les q-séries permettent aussi de trouver des égalités entre objets combinatoires sans expliciter de bijection, c'est le cas par exemple des identités de Rogers-Ramanujan.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eric W. Weisstein, « q-Series », MathWorld
  2. (en) George Gasper, « Lecture notes for an introductory minicourse on q-series », (arXiv math.CA/9509223), p. 3.