Suite généralisée

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En mathématiques, la notion de suite généralisée, ou suite de Moore-Smith[1], ou filet[2],[3], étend celle de suite, en indexant les éléments d'une famille par des éléments d'un ensemble ordonné filtrant qui n'est plus nécessairement celui des entiers naturels.

Définition[modifier | modifier le code]

Pour tout ensemble X, une suite généralisée d'éléments de X est une famille d'éléments de X indexée par un ensemble ordonné filtrant A. Par filtrant (à droite) on entend que toute paire dans A possède un majorant dans A[4].

Filets et filtres[modifier | modifier le code]

Soit (x_i)_{i\in I} un filet dans un ensemble E et, pour tout i \in I, \mathcal B_i =\{x_k: k \ge i\}. L'ensemble \mathcal B=\{\mathcal \mathcal B_i : i \in I\} est une base de filtre de E, appelé base du filtre élémentaire associé au filet (x_i)_{i\in I}.

Réciproquement, soit \mathcal F un filtre sur un ensemble E, I une base de \mathcal F, ordonnée par l'inclusion. Pour tout i \in I, soit x_i\in I. Le filet (x_i)_{i\in I} est dit associé à \mathcal F.

Deux filets (x_i)_{i\in I} et (y_j)_{j\in J} sont dits équivalents (on précise parfois : AA équivalents, car d'autres types d'équivalences sont possibles et celui-ci est dû à Aarnes et Andenæes) si les filtres élémentaires qui leur sont associés sont identiques[5].

En particulier, deux suites (x_n) et (y_n) dans E sont des filets équivalents si, et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées[6] :

(i) les ensembles de leurs valeurs ne diffèrent que par un nombre fini de points ;
(ii) pour tout point z \in E, \{n \in \N: x_n=z\} est fini si, et seulement si \{n \in \N: y_n=z\} est fini.

Par exemple, les suites (0,5,6,7,8,...) et (1,5,6,7,8,...) sont des filets équivalents.

Sous-filets[modifier | modifier le code]

Il existe plusieurs notions de sous-filet (en)[7]. Détaillons-en quelques-unes parmi les plus importantes :

(1) Un filet y=(y_j)_{j\in J} dans E est un « sous-filet au sens de Aarnes et Andenæes », ou « AA sous-filet », de x=(x_i)_{i\in I}, si le filtre élémentaire associé à y est plus fin que le filtre élémentaire associé à x. Cela revient à dire que pour tout i_0\in I, il existe j_0\in J tel que \{y_j : j\ge j_0\} \subset \{x_i : i\ge i_0\}[8],[5]. Deux filets sont équivalents si, et seulement si chacun d'eux est un AA sous-filet de l'autre.
(2) Un filet y=(y_j)_{j\in J} dans E est un « sous-filet de Kelley »[9] de x=(x_i)_{i\in I} s'il existe une fonction \varphi: J \rightarrow I telle que pour tout i_0 \in I, il existe j_0 \in J tel que j \ge j_0 \Rightarrow \varphi(j) \ge i_0 , et y_j=x_{\varphi(j)} pour tout j \in J.
(3) Un filet y=(y_j)_{j\in J} dans E est un « sous-filet de Willard »[10],[8] de x=(x_i)_{i\in I} s'il existe une fonction croissante \varphi: J \rightarrow I telle que pour tout i_0 \in I, il existe j_0 \in J vérifiant \varphi(j_0) \ge i_0, et y_j=x_{\varphi(j)} pour tout j \in J. Par exemple, le filet (1, 1, 2, 3, 4, ...) est un sous-filet de Willard du filet (1, 2, 3, 4, ...).
(4) Soit un filet x=(x_i)_{i\in I} dans E. Un sous-ensemble J de I est dit fréquent si pour tout i\in I, il existe j\in J tel que j\ge i. Alors (x_j)_{j\in J} est appelé un « sous-filet fréquent » de x. Un sous-filet fréquent d'une suite (x_n) est une suite extraite (x_{n_k}).

On a de façon générale :

\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{suites} \\ 
\text{extraites}
\end{array}
\right\} \underset{
\begin{array}{c}
\text{(dans le cas } \\ 
\text{d'une suite)}
\end{array}
}{=}\left\{ 
\begin{array}{c}
\text{sous-filets} \\ 
\text{fr}\acute{e}\text{quents}
\end{array}
\right\} \subset \left\{ 
\begin{array}{c}
\text{sous-filets} \\ 
\text{de Willard}
\end{array}
\right\} \subset \left\{ 
\begin{array}{c}
\text{sous-filets} \\ 
\text{de Kelley}
\end{array}
\right\} \subset \left\{ 
\begin{array}{c}
\text{AA} \\ 
\text{sous-filets}
\end{array}
\right\}

Par exemple, le filet (1, 1, 2, 2, 3, 3, …) est un sous-filet de Willard, mais non pas un sous-filet fréquent, de la suite (1 , 2, 3, …). Soit, pour n \in \N, x_n=2^{-n} et y_n=2^{-(n+1)} si n est pair, y_n=2^{-(n-1)} si n est impair. Alors (y_n) est un sous-filet de Kelley de (x_n), mais pas un sous-filet de Willard. Enfin, il existe des exemples de AA sous-filets qui ne sont pas des sous-filets de Kelley[5].

Un AA sous-filet d'un filet x est équivalent à un sous-filet de Willard de x. Pour les questions de convergence, en topologie, on peut donc employer de manière équivalente les notions de sous-filet de Willard, de sous-filet de Kelley, ou de AA sous-filet. En revanche, la notion de sous-filet fréquent présente des inconvénients, comme on le montre plus loin.

Dans ce qui suit, sauf mention du contraire, les sous-filets sont des AA sous-filets.

Ultrafilet[modifier | modifier le code]

On dit qu'un filet (x_i)_{i\in I} est ultimement dans un sous-ensemble A de E s'il existe i\in I tel que x_k \in A pour tout k \ge i.

Un filet x dans un ensemble E est appelé un ultrafilet si pour tout sous-ensemble A, x est ultimement dans A ou dans son complémentaire. Si \mathcal U est un ultrafiltre, tout filet associé à \mathcal U est un ultrafilet. Réciproquement, si x est un ultrafilet, le filtre élémentaire associé à x est un ultrafiltre[11].

Tout filet admet un sous-filet qui est un ultrafilet. En effet, soit x un filet dans E, \mathcal F le filtre élémentaire associé à x, \mathcal U un ultrafiltre plus fin que \mathcal F, et y un filet associé à \mathcal U ; alors y est un sous-filet de x et est un ultrafilet.

Notions topologiques[modifier | modifier le code]

Les notions usuelles de limite de suite et de suite de Cauchy s'étendent aux filets :

Théorème — Soit E et F deux espace topologiques, f une application de E dans F et a un point E. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) f est continue en a.
(ii) Pour tout filet (x_i)_{i\in I} convergeant vers a dans E, le filet (f(x_i))_{i\in I} converge vers f(a) dans F.

Théorème — Soit E un espace topologique. Les conditions suivantes sont équivalentes :

(i) E est séparé.

(ii) S'il existe deux points a et b de E et un filet (x_i)_{i\in I} convergeant vers a et b dans E, alors a=b.


De manière générale, les propriétés des filets se déduisent des propriétés des filtres élémentaires qui leur sont associés. En particulier :

Un point a de E est dit adhérent au filet (x_i)_{i \in I} si pour tout voisinage U de a, et tout i \in I, il existe j \ge i tel que x_j \in U. Cela revient à dire que a est adhérent au filtre élémentaire associé au filet (x_i)_{i \in I}, ou encore qu'il existe un sous-filet de (x_i)_{i \in I} convergeant vers a.
Un espace topologique séparé E est compact si, et seulement si tout ultrafilet de E est convergent ou, de manière équivalente, si tout filet de E admet un sous-filet convergent.
Soit, dans un espace vectoriel topologique E, un filet (x_i)_{i\in I}, et disons qu'il est borné s'il existe i\in I tel que \{x_k:k\ge i\} est un sous-ensemble borné de E. Cela équivaut à dire que le filtre élémentaire associé à (x_i)_{i\in I} est borné. L'espace E est quasi-complet si, et seulement si tout filet de Cauchy borné de E est convergent. Une suite de Cauchy est un filet borné, mais un filet de Cauchy ne l'est pas nécessairement.


Remarque : Dans un espace compact mais non séquentiellement compact, il existe une suite (x_n) qui n'a pas de suite extraite convergente, mais qui a un AA sous-filet (ou un sous-filet de Willard) convergent. Ce sous-filet n'est donc pas équivalent à un sous-filet fréquent de (x_n). La notion de sous-filet fréquent n'est donc pas adaptée aux questions de topologie.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. (en) Eliakim H. Moore et Herman L. Smith (en), « A general theory of limits », Amer. J. Math., vol. 44, no 2,‎ , p. 101-121 (lire en ligne).
  2. Vilmos Komornik, Précis d'analyse réelle, tome 1. Topologie. Calcul différentiel. Méthodes d'approximation, Éditions Ellipses,‎ (ISBN 978-2729806781).
  3. A. Kirillov (en), Éléments de la théorie des représentations, Éditions de Moscou,‎ , p. 9.
  4. L. Kantorovitch et G. Akilov, Analyse fonctionnelle, t. 1, Éditions de Moscou,‎ , p. 14.
  5. a, b et c (en) J. F. Aarnes et P. R. Andenæes, « On nets and filters », Math. Scand. (nl), vol. 31,‎ , p. 285-292 (lire en ligne)
  6. (en) Eric Schechter (en), Handbook of Analysis and Its Foundations, San Diego, Academic Press,‎ (ISBN 978-0-08053299-8, lire en ligne), p. 167.
  7. Schechter 1997, chap. 7.
  8. a et b Schechter 1997, p. 162.
  9. (en) John L. Kelley, General Topology, Springer,‎ , p. 70
  10. (en) Stephen Willard, General Topology, Dover Publications,‎ (ISBN 978-0-48643479-7, lire en ligne), p. 73.
  11. (en) R. G. Bartle (en), « Nets and filters in topology », Amer. Math. Monthly, vol. 62, no 8,‎ , p. 551-557 (JSTOR 2307247).