Espace de Lindelöf

En mathématiques, un espace de Lindelöf est un espace topologique dont tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement dénombrable. Cette condition est un affaiblissement de la quasi-compacité, dans laquelle on demande l'existence de sous-recouvrements finis. Un espace est dit héréditairement de Lindelöf si tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. Il suffit pour cela que ses ouverts le soient.

Les espaces de Lindelöf sont nommés d'après le mathématicien finlandais Ernst Leonard Lindelöf.

Propriétés[modifier | modifier le code]

Un espace est quasi-compact si et seulement s'il est de Lindelöf et dénombrablement compact.
Tout espace pseudométrisable de Lindelöf est séparable (cf. Propriétés des espaces séparables) donc à base dénombrable (cf. Lien entre ces deux notions).
Pour qu'un espace X soit de Lindelöf, il suffit que tout recouvrement de X par des ouverts d'une base fixée possède un sous-recouvrement dénombrable (la démonstration est la même que l'analogue pour les quasicompacts, en remplaçant « fini » par « dénombrable »). Cela rend immédiat le résultat suivant :
Lemme de Lindelöf — Tout espace à base dénombrable est de Lindelöf^[1].
La réciproque est fausse en général. Par exemple, la droite de Sorgenfrey S est de Lindelöf (et de plus, séparable et à bases dénombrables de voisinages) mais n'est pas à base dénombrable.
Cependant, d'après ce qui précède, pour un espace pseudométrisable, les trois propriétés Lindelöf/séparable/à base dénombrable sont équivalentes.
Tout fermé d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf^[2] (la démonstration est analogue à celle de la compacité de tout fermé d'un compact).
Toute image continue d'un espace de Lindelöf est de Lindelöf^[2].
Tout espace réunion dénombrable de sous-espaces de Lindelöf (en particulier tout espace dénombrable) est de Lindelöf^[2].

Démonstration

Soit $X=\cup _{n\in \mathbb {N} }X_{n}$ un espace dont les sous-espaces $X_{n}$ sont de Lindelöf, et soit $(U_{i})_{i\in I}$ un recouvrement ouvert de $X$ . Alors, chaque $X_{n}$ est recouvert par une sous-famille dénombrable $(U_{i})_{i\in I_{n}}$ . L'ensemble $J:=\cup _{n\in \mathbb {N} }I_{n}$ est dénombrable et $(U_{i})_{i\in J}$ recouvre $X$ .

En général, on n'a aucune implication (dans un sens ou dans l'autre) entre la propriété de Lindelöf et les autres propriétés de compacité. Cependant :
- tout espace σ-compact est clairement de Lindelöf (cas particulier de la propriété précédente) ;
- d'après un théorème de Morita^[3], tout espace régulier de Lindelöf est paracompact (et a fortiori, normal^[4] donc complètement régulier) ; dans le cas non séparé, on montre directement^[5] que tout espace de Lindelöf T₃ est T₄ donc uniformisable.
Tout espace de Lindelöf est un espace de Hewitt-Nachbin (en) (ou, ce qui est équivalent : un fermé d'une puissance — éventuellement infinie — de ℝ).

Espaces fortement de Lindelöf[modifier | modifier le code]

Si ω₁ désigne le premier ordinal non dénombrable, l'ouvert [0, ω₁[ du compact [0, ω₁] n'est pas de Lindelöf.

Un espace est dit fortement de Lindelöf si tous ses ouverts sont de Lindelöf.

Tout espace fortement de Lindelöf est héréditairement de Lindelöf, c'est-à-dire que tous ses sous-espaces sont de Lindelöf. (Il suffit, pour le vérifier, d'écrire que tout recouvrement ouvert d'une partie Y de X est de la forme (Y ⋂O_i) où les O_i sont des ouverts de X et que leur réunion O est alors un ouvert contenant Y et recouvert par les O_i.)
Tout espace à base dénombrable est fortement Lindelöf (puisque ses sous-espaces sont à base dénombrable).
Tout espace souslinien est fortement de Lindelöf.
La propriété d'être fortement de Lindelöf est préservée par réunions dénombrables, sous-espaces et images continues.
Toute mesure de Radon sur un espace fortement Lindelöf est modérée, c'est-à-dire que sa mesure extérieurement régulière associée est σ-finie.

Produit d'espaces de Lindelöf[modifier | modifier le code]

Un produit d'espaces de Lindelöf n'est pas toujours de Lindelöf. Le contre-exemple classique est le plan de Sorgenfrey S×S, produit de la droite de Sorgenfrey S par elle-même. Dans le plan S×S, l'antidiagonale D (la droite d'équation y = – x) est un sous-espace discret donc n'est pas de Lindelöf (puisque D n'est pas dénombrable). Or D est un fermé de S×S, qui n'est par conséquent pas de Lindelöf non plus.

Cependant, le produit d'un espace de Lindelöf par un espace quasi-compact est de Lindelöf^[6].

Généralisation[modifier | modifier le code]

Un espace est dit κ-compact (ou κ-Lindelöf), pour un cardinal κ donné, si tout recouvrement ouvert possède un sous-recouvrement de cardinalité strictement inférieure à κ. Les espaces quasi-compacts sont donc les ℵ₀-compacts et les espaces de Lindelöf sont les ℵ₁-compacts.

À tout espace X on associe son degré de Lindelöf, ou nombre de Lindelöf, noté L(X) et son degré héréditaire de Lindelof, noté hL(X)^[7] :

L(X) est le plus petit cardinal infini κ tel que tout recouvrement ouvert de X possède un sous-recouvrement de cardinalité inférieure ou égale à κ ethL(X) est la borne supérieure des L(Y) pour toutes les parties Y de X.

Avec cette notation, X est de Lindelöf si et seulement si L(X) = ℵ₀, mais la donnée de L(X) ne suffit pas à distinguer si X est quasi-compact ou seulement de Lindelöf. C'est pourquoi, bien que moins couramment, certains auteurs donnent le nom de nombre de Lindelöf^[8] de X (ou parfois degré de compacité^{[réf. nécessaire]}) à une notion différente : le plus petit cardinal infini κ tel que X soit κ-compact.

Le cardinal d'un espace séparé X est borné^[9] en fonction de son degré de Lindelöf L(X) et de son caractère $χ$ (X)^[7] : |X| ≤ 2^{L(X) $χ$ (X)}. Par exemple, tout espace de Lindelöf séparé (en particulier tout espace compact) à bases dénombrables de voisinages a au plus la puissance du continu.

Il est aussi borné en fonction de son degré héréditaire de Lindelöf^[7] : |X| ≤ 2^hL(X).

Notes et références[modifier | modifier le code]

↑ Par exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.
↑ ^{a b et c} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. I, p. 107, exercice 15.
↑ (en) K. Morita, « Star-finite coverings and the star-finite property », Math. Jap., vol. 1,‎ 1948, p. 60-68
↑ Ce théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : cf. « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 82, Counterexample 60 (Relatively Prime Integer Topology) et Counterexample 61 (Prime Integer Topology), deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier).
↑ (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International, 1990, 2^e éd., 357 p. (ISBN 978-81-224-0246-9, lire en ligne), p. 256, « Tychonoff's Lemma »
↑ Murdeshwar 1990, p. 255
↑ ^{a b et c} (en) Chris Good, « The Lindelöf Property », dans K. P. Hart, J.-I. Nagata et J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, 1^re éd. (ISBN 978-0-08053086-4, lire en ligne), p. 182-184
↑ (en) Mary Ellen Rudin, Lectures on Set Theoretic Topology, AMS, coll. « Conference Board of the Mathematical Sciences », 1975 (lire en ligne), p. 4
↑ Pour plus de détails, voir par exemple (en) Alessandro Fedeli, « On the cardinality of Hausdorff spaces », Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 39, n^o 3,‎ 1998, p. 581-585 (lire en ligne).

(en) Michael Gemignani, Elementary Topology, 1972, 270 p. (ISBN 978-0-486-66522-1, lire en ligne), chap. 7.2
(en) István Juhász (hu), Cardinal Functions in Topology – Ten Years Later, Amsterdam, Math. Centre Tracts, 1980, 160 p. (ISBN 978-90-6196-196-3, lire en ligne)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lindelöf space » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Lien externe[modifier | modifier le code]

(en) Chris Good, « The Lindelöf Property », sur Université de Birmingham, 2002

Portail des mathématiques

[1] Par exemple, tout ouvert de ℝ (muni de la topologie usuelle) est réunion dénombrable d'intervalles ouverts.

[BourbakiTGI107-2] {a b et c} N. Bourbaki, Éléments de mathématique, livre III : Topologie générale [détail des éditions], chap. I, p. 107, exercice 15.

[3] (en) K. Morita, « Star-finite coverings and the star-finite property », Math. Jap., vol. 1,‎ 1948, p. 60-68

[4] Ce théorème est souvent cité sous la forme « tout espace de Lindelöf est normal » mais l'hypothèse de régularité, bien qu'implicite, est indispensable : cf. « When is a Lindelof Space Normal? » sur Dan Ma's Topology Blog ou (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995 (1^re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 82, Counterexample 60 (Relatively Prime Integer Topology) et Counterexample 61 (Prime Integer Topology), deux topologies sur ℕ*, séparées, de Lindelöf et non normales, moins fines que la restriction à ℕ* de la topologie des entiers uniformément espacés : on prend comme base d'ouverts les a ℕ* + b avec a et b premiers entre eux (resp. a premier).

[5] (en) M. G. Murdeshwar, General Topology, New Age International, 1990, 2^e éd., 357 p. (ISBN 978-81-224-0246-9, lire en ligne), p. 256, « Tychonoff's Lemma »

[6] Murdeshwar 1990, p. 255

[EGT-7] {a b et c} (en) Chris Good, « The Lindelöf Property », dans K. P. Hart, J.-I. Nagata et J. E. Vaughan, Encyclopedia of General Topology, Elsevier, 2003, 1^re éd. (ISBN 978-0-08053086-4, lire en ligne), p. 182-184

[8] (en) Mary Ellen Rudin, Lectures on Set Theoretic Topology, AMS, coll. « Conference Board of the Mathematical Sciences », 1975 (lire en ligne), p. 4

[9] Pour plus de détails, voir par exemple (en) Alessandro Fedeli, « On the cardinality of Hausdorff spaces », Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae, vol. 39, n^o 3,‎ 1998, p. 581-585 (lire en ligne).

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