En physique , et plus particulièrement en thermodynamique , la relation de Mayer , établie au XIX e Julius Robert von Mayer , est une formule reliant entre elles les capacités thermiques à pression constante
C
P
{\displaystyle C_{P}}
volume constant
C
V
{\displaystyle C_{V}}
gaz parfait selon :
Relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
avec :
Cette relation peut être généralisée aux corps réels selon :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
avec :
Démonstration Relation générale On considère un système thermodynamique constitué d'une seule phase . Ce système peut être un corps pur ou un mélange constitué de
N
{\displaystyle N}
espèces chimiques
i
{\displaystyle i}
La pression
P
{\displaystyle P}
V
{\displaystyle V}
T
{\displaystyle T}
n
i
{\displaystyle n_{i}}
équation d'état du système, c'est-à-dire la fonction
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(P,T,n\right)}
V
{\displaystyle V}
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(V,T,n\right)}
P
{\displaystyle P}
entropie
S
{\displaystyle S}
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(P,T,n\right)}
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle \left(V,T,n\right)}
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(V,T,n\right)}
différentielles :
du volume en tant que fonction
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
d
V
=
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} V=\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
de l'entropie en tant que fonction
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)}
d
S
1
=
(
∂
S
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} S_{1}=\left({\partial S \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
de l'entropie en tant que fonction
S
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(V,T,n\right)}
d
S
2
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
d
V
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} S_{2}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} V+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
Puisque l'on a indifféremment
S
=
S
(
P
,
T
,
n
)
=
S
(
V
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(P,T,n\right)=S\!\left(V,T,n\right)}
d
S
=
d
S
1
=
d
S
2
{\displaystyle \mathrm {d} S=\mathrm {d} S_{1}=\mathrm {d} S_{2}}
On substitue
d
V
{\displaystyle \mathrm {d} V}
d
S
2
{\displaystyle \mathrm {d} S_{2}}
d
S
2
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
d
V
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle \mathrm {d} S_{2}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} V+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
[
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
]
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
d
T
+
∑
i
=
1
N
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
d
n
i
{\displaystyle =\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left[\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}\right]+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
d
P
+
[
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
]
d
T
+
∑
i
=
1
N
[
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
n
i
)
P
,
T
,
n
j
≠
i
+
(
∂
S
∂
n
i
)
V
,
T
,
n
j
≠
i
]
d
n
i
{\displaystyle =\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\right]\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}+\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\right]\,\mathrm {d} n_{i}}
On retrouve donc une différentielle de l'entropie sous la forme
d
S
1
{\displaystyle \mathrm {d} S_{1}}
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} T}
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
Démonstration par la dérivation en chaîne
Soit une fonction
f
{\displaystyle f}
variables
x
{\displaystyle x}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)}
x
{\displaystyle x}
w
{\displaystyle w}
y
{\displaystyle y}
z
{\displaystyle z}
x
=
x
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle x=x\!\left(w,y,z\right)}
f
{\displaystyle f}
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
x
(
w
,
y
,
z
)
,
y
,
z
)
=
f
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)=f\!\left(x\!\left(w,y,z\right),y,z\right)=f\!\left(w,y,z\right)}
Le théorème de dérivation des fonctions composées , ou règle de dérivation en chaîne, donne :
(
∂
f
(
w
,
y
,
z
)
∂
y
)
w
,
z
=
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
x
)
y
,
z
(
∂
x
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
y
)
x
,
z
(
∂
y
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
(
x
,
y
,
z
)
∂
z
)
x
,
y
(
∂
z
∂
y
)
w
,
z
{\displaystyle \left({\partial f\!\left(w,y,z\right) \over \partial y}\right)_{w,z}=\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial x}\right)_{y,z}\left({\partial x \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial y}\right)_{x,z}\left({\partial y \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f\!\left(x,y,z\right) \over \partial z}\right)_{x,y}\left({\partial z \over \partial y}\right)_{w,z}}
Or on a :
(
∂
y
∂
y
)
w
,
z
=
1
{\displaystyle \left({\partial y \over \partial y}\right)_{w,z}=1}
(
∂
z
∂
y
)
w
,
z
=
0
{\displaystyle \left({\partial z \over \partial y}\right)_{w,z}=0}
d'où :
(
∂
f
∂
y
)
w
,
z
=
(
∂
f
∂
x
)
y
,
z
(
∂
x
∂
y
)
w
,
z
+
(
∂
f
∂
y
)
x
,
z
{\displaystyle \left({\partial f \over \partial y}\right)_{w,z}=\left({\partial f \over \partial x}\right)_{y,z}\left({\partial x \over \partial y}\right)_{w,z}+\left({\partial f \over \partial y}\right)_{x,z}}
On pose :
La relation
x
=
x
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle x=x\!\left(w,y,z\right)}
V
=
V
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle V=V\!\left(P,T,n\right)}
équation d'état du système. On a pour l'entropie
f
=
f
(
x
,
y
,
z
)
=
f
(
w
,
y
,
z
)
{\displaystyle f=f\!\left(x,y,z\right)=f\!\left(w,y,z\right)}
S
=
S
(
V
,
T
,
n
)
=
S
(
P
,
T
,
n
)
{\displaystyle S=S\!\left(V,T,n\right)=S\!\left(P,T,n\right)}
La dérivation en chaîne donne :
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
capacités thermiques sont définies par :
C
P
=
T
(
∂
S
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{P,n}}
C
V
=
T
(
∂
S
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle C_{V}=T\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}}
que l'on introduit dans la relation obtenue précédemment :
C
P
T
=
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
+
C
V
T
{\displaystyle {C_{P} \over T}=\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+{C_{V} \over T}}
En considérant la relation de Maxwell :
(
∂
S
∂
V
)
T
,
n
=
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}=\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}
en réarrangeant la relation obtenue précédemment il vient la relation de Mayer générale :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
Cas d'un gaz parfait Pour un gaz parfait , d'équation d'état :
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
où
n
{\displaystyle n}
moles du gaz et
R
{\displaystyle R}
constante des gaz parfaits , on obtient immédiatement :
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
=
n
R
V
{\displaystyle \left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}={nR \over V}}
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
n
R
P
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}={nR \over P}}
d'où :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
T
(
n
R
)
2
P
V
=
T
(
n
R
)
2
n
R
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}=T{\left(nR\right)^{2} \over PV}=T{\left(nR\right)^{2} \over nRT}}
et finalement :
Relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
Démonstration directe pour un gaz parfait Un gaz parfait suit les deux lois de Joule , ce qui implique pour son énergie interne
U
{\displaystyle U}
enthalpie
H
{\displaystyle H}
à quantité de matière constante :
d
U
=
C
V
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} U=C_{V}\,\mathrm {d} T}
d
H
=
C
P
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} H=C_{P}\,\mathrm {d} T}
Étant donné la définition de l'enthalpie
H
=
U
+
P
V
{\displaystyle H=U+PV}
d
H
−
d
U
=
d
[
P
V
]
=
[
C
P
−
C
V
]
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} H-\mathrm {d} U=\mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T}
Étant donné l'équation d'état des gaz parfaits
P
V
=
n
R
T
{\displaystyle PV=nRT}
à quantité de matière constante :
d
[
P
V
]
=
d
[
n
R
T
]
=
n
R
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\mathrm {d} \left[nRT\right]=nR\,\mathrm {d} T}
On obtient donc :
d
[
P
V
]
=
[
C
P
−
C
V
]
d
T
=
n
R
d
T
{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T=nR\,\mathrm {d} T}
et par conséquent la relation de Mayer :
C
P
−
C
V
=
n
R
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=nR}
Autres écritures Forme générale En utilisant les propriétés des dérivées partielles, on peut réécrire la relation de Mayer générale en :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
−
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
2
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
Ceci provient immédiatement de la relation :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
(
∂
T
∂
P
)
V
,
n
(
∂
P
∂
V
)
T
,
n
=
−
1
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\left({\partial T \over \partial P}\right)_{V,n}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T,n}=-1}
dont on déduit que :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
−
1
(
∂
T
∂
P
)
V
,
n
(
∂
P
∂
V
)
T
,
n
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}={-1 \over \left({\partial T \over \partial P}\right)_{V,n}\left({\partial P \over \partial V}\right)_{T,n}}}
Utilisant ensuite la relation :
1
(
∂
x
∂
y
)
z
=
(
∂
y
∂
x
)
z
{\displaystyle {1 \over \left({\partial x \over \partial y}\right)_{z}}=\left({\partial y \over \partial x}\right)_{z}}
pour les deux quantités du dénominateur, on obtient :
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
=
−
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}=-\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
La nouvelle forme de la relation de Mayer se déduit en remplaçant le membre de droite de la première forme démontrée précédemment.
Avec les coefficients thermoélastiques D'autres écritures sont également possibles avec les coefficients thermoélastiques :
α
=
1
V
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle \alpha ={1 \over V}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
coefficient de dilatation isobare (pour un gaz parfait
α
=
1
T
{\displaystyle \alpha ={1 \over T}}
β
=
1
P
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
{\displaystyle \beta ={1 \over P}\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}
β
=
1
T
{\displaystyle \beta ={1 \over T}}
χ
T
=
−
1
V
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle \chi _{T}=-{1 \over V}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
coefficient de compressibilité isotherme (pour un gaz parfait
χ
T
=
1
P
{\displaystyle \chi _{T}={1 \over P}}
Avec la première forme générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
(
∂
V
∂
T
)
P
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}}
on obtient :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
P
β
V
α
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=TP\beta V\alpha }
Avec la deuxième forme générale:
C
P
−
C
V
=
−
T
(
∂
P
∂
T
)
V
,
n
2
(
∂
V
∂
P
)
T
,
n
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=-T{\left({\partial P \over \partial T}\right)_{V,n}}^{2}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}}
on obtient :
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
(
P
β
)
2
V
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left(P\beta \right)^{2}V\chi _{T}}
On passe d'une forme à l'autre en considérant la relation :
α
=
P
β
χ
T
{\displaystyle \alpha =P\beta \chi _{T}}
Relation de Mayer générale :
C
P
−
C
V
=
T
V
α
2
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T{V\alpha ^{2} \over \chi _{T}}}
Cas des gaz parfaits En introduisant les capacités thermiques molaires respectives, telles que :
C
P
=
n
⋅
C
¯
P
{\displaystyle C_{P}=n\cdot {\bar {C}}_{P}}
C
V
=
n
⋅
C
¯
V
{\displaystyle C_{V}=n\cdot {\bar {C}}_{V}}
on obtient la forme :
Relation de Mayer :
C
¯
P
−
C
¯
V
=
R
{\displaystyle {\bar {C}}_{P}-{\bar {C}}_{V}=R}
Pour une masse
m
{\displaystyle m}
C
P
=
m
⋅
c
P
{\displaystyle C_{P}=m\cdot c_{P}}
C
V
=
m
⋅
c
V
{\displaystyle C_{V}=m\cdot c_{V}}
on obtient la forme :
Relation de Mayer :
c
P
−
c
V
=
R
M
=
R
s
{\displaystyle c_{P}-c_{V}={R \over M}=R_{s}}
avec :
Implications Rapport entre les capacités thermiques Le deuxième principe de la thermodynamique implique qu'un corps (pur ou mélange) ne peut être stable que si
χ
T
>
0
{\displaystyle \chi _{T}>0}
Compressibilité
C
P
−
C
V
=
T
(
P
β
)
2
V
χ
T
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=T\left(P\beta \right)^{2}V\chi _{T}}
C
P
>
C
V
{\displaystyle C_{P}>C_{V}}
Ceci implique pour le coefficient de Laplace
γ
{\displaystyle \gamma }
Coefficient de Laplace :
γ
=
C
P
C
V
>
1
{\displaystyle \gamma ={C_{P} \over C_{V}}>1}
Le coefficient de Laplace peut être déterminé à l'aide de la relation de Reech . On peut ainsi calculer les capacités thermiques, en application des relations de Mayer et de Reech, selon :
C
P
=
γ
T
P
β
V
α
γ
−
1
{\displaystyle C_{P}=\gamma {TP\beta V\alpha \over \gamma -1}}
C
V
=
T
P
β
V
α
γ
−
1
{\displaystyle C_{V}={TP\beta V\alpha \over \gamma -1}}
Détermination de la capacité thermique isochore La relation de Mayer permet en particulier de calculer
C
V
{\displaystyle C_{V}}
C
P
{\displaystyle C_{P}}
C
V
{\displaystyle C_{V}}
C
P
{\displaystyle C_{P}}
Cette relation est également utilisée pour calculer les fluctuations statistiques d'énergie dans une portion de gaz parfait.[Quoi ?] [réf. nécessaire]
Cas des phases condensées idéalement indilatables ou incompressibles Dans le cas d'une phase condensée (liquide ou solide ), il peut être considéré que :
la phase est quasiment indilatable, son volume varie peu lors d'un changement de température :
(
∂
V
∂
T
)
P
≈
0
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial T}\right)_{P}\approx 0}
α
≈
0
{\displaystyle \alpha \approx 0}
la phase est quasiment incompressible, son volume varie peu lors d'un changement de pression :
(
∂
V
∂
P
)
T
≈
0
{\displaystyle \left({\partial V \over \partial P}\right)_{T}\approx 0}
χ
T
≈
0
{\displaystyle \chi _{T}\approx 0}
Pour une phase idéalement indilatable (
α
=
0
{\displaystyle \alpha =0}
χ
T
=
0
{\displaystyle \chi _{T}=0}
C
P
−
C
V
=
0
{\displaystyle C_{P}-C_{V}=0}
[ 1] , [ 2] , [ 3] molaire :
Pour un corps idéalement indilatable ou incompressible :
C
¯
=
C
¯
P
=
C
¯
V
{\displaystyle {\bar {C}}={\bar {C}}_{P}={\bar {C}}_{V}}
Voir aussi Références
↑ Lucien Borel et Daniel Favrat, Thermodynamique et énergétique , Lausanne, Presses polytechniques romandes, 2005 (ISBN 978-2-880-74545-5 OCLC 891442864 , p. 288 ↑ Réseau NUMELIPhy, Entropie et phénomènes irréversibles, Variation d'entropie d'un corps idéalement incompressible .↑ Éléments de thermodynamique et thermique , Frédéric Doumenc, Université Paris VI – Licence de mécanique, p. 46. Bibliographie Bernard Diu , Claudine Guthmann, Danielle Lederer et Bernard Roulet, Éléments de physique statistique , 1996 [détail de l’édition ] Jean-Pierre Corriou, « Thermodynamique chimique - Définitions et relations fondamentales », Techniques de l'ingénieur , base documentaire : Thermodynamique et cinétique chimique , pack : Opérations unitaires. Génie de la réaction chimique , univers : Procédés chimie - bio - agro , J 1025, pp. 1-19, 1984.
Physique -tout le cours en fiches, Licence, CAPES, Prépas- Laurent Gautron, Christophe Balland, Laurent Cirio, Richard Mauduit, Odile Picon, Eric Wenner, Fiche 67 - Les coefficients calorimétriques p. 166, éd. Dunod, 2015, (ISBN 978-2-10-072891-6 .
Cours de thermodynamique , Olivier Perrot, I.U.T. de Saint-Omer Dunkerque, Département Génie Thermique et énergie, p. 25 et p. 32.Liens internes 
![{\displaystyle =\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left[\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}\right]+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\,\mathrm {d} n_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cc339cb28d90473b8604eb31283b588f488618)
![{\displaystyle =\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial P}\right)_{T,n}\,\mathrm {d} P+\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial T}\right)_{P,n}+\left({\partial S \over \partial T}\right)_{V,n}\right]\,\mathrm {d} T+\sum _{i=1}^{N}\left[\left({\partial S \over \partial V}\right)_{T,n}\left({\partial V \over \partial n_{i}}\right)_{P,T,n_{j\neq i}}+\left({\partial S \over \partial n_{i}}\right)_{V,T,n_{j\neq i}}\right]\,\mathrm {d} n_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3b974986c1bcb086edb56df21a532734bfbe5bd)
![{\displaystyle \mathrm {d} H-\mathrm {d} U=\mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d70368a1cea6b855483e87dea169f457c71ba50)
![{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\mathrm {d} \left[nRT\right]=nR\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6eef065dc9dfafbf95cd97f318f2c95db655476a)
![{\displaystyle \mathrm {d} \left[PV\right]=\left[C_{P}-C_{V}\right]\,\mathrm {d} T=nR\,\mathrm {d} T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d7bdbfb9624ec8a3696ad7a8cbe4d1343d78e15)
