Relation asymétrique

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En mathématiques, une relation (binaire, interne) R est dite asymétrique[1],[2],[3],[4],[5],[6] si elle vérifie :

ou encore, si son graphe est disjoint de celui de sa relation réciproque.

L'asymétrie est parfois appelée « antisymétrie forte[7] », par opposition à l'antisymétrie (usuelle, ou « faible »)[8]. En effet, une relation est asymétrique si et seulement si elle est à la fois antisymétrique et antiréflexive.

Exemples :

  • les relations d'ordre strict — c'est-à-dire antiréflexives et transitives — sont asymétriques ;
  • dans un ensemble de personnes, la relation « est enfant de » est, elle aussi, asymétrique : personne n'est enfant d'un de ses enfants.

Une relation ne peut pas être à la fois symétrique et asymétrique, sauf si son graphe est vide.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. Louis Couturat, Les principes des mathématiques, avec un appendice sur la philosophie des mathématiques de Kant, Georg Olms Verlag (de), (lire en ligne), p. 31.
  2. Michel Marchand, Mathématique discrète : outil pour l'informaticien, De Boeck, (lire en ligne), p. 271.
  3. Louis Frécon, Éléments de mathématiques discrètes, PPUR, (lire en ligne), p. 69.
  4. Nathalie Caspard, Bruno Leclerc et Bernard Monjardet, Ensembles ordonnés finis : concepts, résultats et usages, Springer, (lire en ligne), p. 3.
  5. Robert Faure, Bernard Lemaire et Christophe Picouleau, Précis de recherche opérationnelle, Dunod, , 7e éd. (lire en ligne), p. 2, 3 et 5.
  6. En anglais : asymmetric(en) David Gries et Fred B. Schneider, A Logical Approach to Discrete Math, Springer, (lire en ligne), p. 273 ; (en) Yves Nievergelt, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer, (lire en ligne), p. 158. En allemand : asymmetrisch(de) Ingmar Lehmann et Wolfgang Schulz, Mengen - Relationen - Funktionen, Springer, (lire en ligne), p. 56.
  7. Ou « stricte » : « Strictly (or sharply) antisymmetric » dans (en) V. Flaška, J. Ježek, T. Kepka et J. Kortelainen, « Transitive Closures of Binary Relations I », Acta Univ. Carolin. Math. Phys., vol. 48, no 1,‎ , p. 55-69 (lire en ligne).
  8. Jiří Matoušek et Jaroslav Nešetřil (en), Introduction aux mathématiques discrètes, Springer, (lire en ligne), p. 44.