Principe de l'argument

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En analyse complexe, le principe de l'argument (parfois appelé théorème de l'argument[1]) indique que si f est une fonction méromorphe sur un ouvert U\subset\C simplement connexe dont l'ensemble F des zéros et des pôles est fini, alors pour tout lacet \gamma à image dans U\backslash F,

 {1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j)
Un lacet simple et positivement orienté C (en noir), les zéros de f (en bleu) et les poles de f (en rouge).


v_{z_j}(f) est la valuation de f en z_j c'est-à-dire l'ordre de z_j si z_j est un zéro et l'opposé de l'ordre de  z_j si c'est un pôle et \mathrm{Ind_\gamma(z_j)} est l'indice du point par rapport au lacet.

Si \gamma est un lacet simple positivement orienté formant le bord  \partial K d'un compact K, la relation ci-dessus se réécrit :

 {1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = Z_{f,K} - P_{f, K}

 Z_{f,K} et  P_{f, K} représentent respectivement le nombre de zéros et de pôles de f dans  K comptés avec leur multiplicité.

Interprétation géométrique[modifier | modifier le code]

Le principe de l'argument permet de compter le nombre de tours que fait l'image de \gamma par f autour de l'origine. C'est sur cette notion que se base notamment la démonstration du théorème de Rouché.

Considérons en effet le terme  E={1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz, et posons \Gamma(t)=f(\gamma(t)), où l'on peut supposer que \gamma est fonction du paramètre t, variant entre 0 et 1. Par définition de l'intégrale curviline,

 E = {1\over 2i\pi}\int_0^1 {\Gamma'(t)\over \Gamma(t)} \mathrm dt.

Mais cette expression définit justement l'indice du chemin \Gamma, qui s'interprète comme le nombre de "tours" effectués par le point \Gamma(t) autour de 0, lorsque t varie entre 0 et 1, ou ce qui revient ou même, lorsque \gamma(t) est "revenu" à son point de départ. Ainsi, E représente le nombre (algébrique) de tours efféctués autour de l'origine par f(z), lorsque z se meut sur le chemin \gamma, jusqu'à être revenu à son point d'origine.

Figure 1: Premier cas pour la fonction {z+1\over z^3}. En bleu le lacet  C(0,r) avec  r<1, en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue trois tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).
Figure 2: Second cas pour la fonction {z+1\over z^3} . En bleu le lacet  C(0,r) avec  r>1 , en rouge l'image de ce lacet par la fonction. On s'aperçoit que cette dernière effectue deux tours autour de l'origine (dans le sens anti-trigonométrique).

Exemples[modifier | modifier le code]

Soit la fonction f:\C\to\C ayant deux zéros simples en z_{1,2}=\pm i (la valuation de ces deux points est +1) et définie par :

\displaystyle{ f(z) = z^2+1 }.

Considérons le lacet le plus simple : le cercle  C(0, r) centré à l'origine et de rayon  r > 0, il y a deux cas à considérer :

  • Tout d'abord si  r \le 1, alors l'indice des deux zéros est nul et l'image du lacet par f ne tourne pas autour de l'origine.
  • L'autre cas est :  r > 1 , alors l'indice des deux zéros est égal à 1 et l'image du lacet par f tourne deux fois autour de l'origine en effet :
 v_{z_1}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_1) + v_{z_2}(f)\mathrm{Ind}_{C(0,r)}(z_2) = 2.


Considérons à présent la fonction g:\C^*\to\C ayant un pôle triple à l'origine et un zéro simple en  z_2=-1 (les valuations de ces deux points sont respectivement -3 et +1) et définie par :

 \displaystyle  { g(z) = {z+1\over z^3} }   .

En considérant comme ci-dessus le cercle  C(0, r) , nous avons à nouveau deux cas à considérer :

  • Si  r \le 1 , alors l'indice du zéro simple est nul, et il ne reste que le pôle triple à considérer, l'image du lacet par la fonction g tourne -trois fois (trois fois dans le sens anti-trigonométrique) autour de l'origine.
  • Si  r > 1 , on doit considérer le zéro et le pôle et donc l'image du lacet par la fonction g tourne -deux fois autour de l'origine.

Ces deux cas sont illustrés par les figures 1 et 2 ci-contre.

Démonstration[modifier | modifier le code]

Par hypothèse,  f(z) \neq 0 et f est holomorphe sur U\backslash F donc f'/f (quotient de deux fonctions holomorphes) est également holomorphe sur U\backslash F.

U est simplement connexe donc le lacet  \gamma est homotope à un point dans U; ainsi, on peut donc appliquer le théorème des résidus :

 {1\over 2\pi i} \int_{\gamma} {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} \mathrm{Res}\left(  {f'\over f}, z_j\right)\mathrm{Ind}_{\gamma} (z_j) .

Pour  z_j \in F , on a, au voisinage de z_j :

 f(z) = (z-z_j)^{n_j} g(z)

 g est holomorphe et ne s'annule pas sur un voisinage de  z_j et n_j\in\Z est la valuation de  z_j .

On a donc :

 f'(z) = n_j (z-z_j)^{n_j-1} g(z) + (z-z_j)^{n_j} g'(z)

dont on tire :

 {f'(z)\over f(z)} = {n_j\over (z-z_j)} + {g'(z)\over g(z)} .

Le quotient ci-dessus a un pôle simple en  z_j puisque  g est holomorphe et ne s'annule pas au voisinage de  z_j. On peut maintenant calculer le résidu en  z_j  :

 \mathrm{Res} \left(  {f'\over f}, z_j  \right) =  \lim_{z\to z_j}\left( (z-z_j){f'(z)\over f(z)}    \right) = n_j,

avec  n_j = v_{z_j}(f) . En insérant ce dernier résultat dans la première équation, nous obtenons finalement :

 {1\over 2i\pi}\int_\gamma {f'(z)\over f(z)}~\mathrm dz = \sum_{z_j\in F} v_{z_j}(f)\mathrm{Ind}_{\gamma}(z_j) .

Applications[modifier | modifier le code]

Des ouvrages d'automatique utilisent assez fréquemment ce principe comme base théorique pour le critère de stabilité de Nyquist (en). La thèse originale de 1932 de Harry Nyquist[2] fait usage d'une approche plutôt maladroite et primitive pour développer le critère de stabilité. Dans sa thèse, H. Nyquist ne mentionnait pas le principe de l'argument. Par la suite, Leroy MacColl[3] et Hendrik Bode[4] sont partis du principe de l'argument pour déterminer le critère de stabilité, approche qui est utilisée actuellement dans bon nombre d'ouvrages d'analyse complexe ou d'automatique

Références[modifier | modifier le code]

  1. Murray R. Spiegel, Variables complexes, McGraw-Hill, 1973 (ISBN 978-2-7042-0020-7)
  2. (en) H. Nyquist, Regeneration theory, Bell System Technical Journal, vol. 11, 1932, p. 126-147
  3. (en) Leroy Maccoll, Fundamental theory of servomechanisms, 1945
  4. (en) Hendrik Bode, Network analysis and feedback amplifier design, 1945

Voir aussi[modifier | modifier le code]