Théorème de Rouché

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En analyse complexe, le théorème de Rouché[1] est un énoncé portant sur les zéros et les pôles des fonctions méromorphes. Il est nommé ainsi en l'honneur du mathématicien français Eugène Rouché.

Énoncé[modifier | modifier le code]

Soit un ouvert simplement connexe, soient et deux fonctions méromorphes sur avec un ensemble fini de zéros et de pôles. Soit un lacet simple positivement orienté à image dans formant le bord d'un compact . Si pour tout on a

alors

et sont respectivement le nombre de zéros et de pôles de (en tenant compte de leur multiplicité) contenus dans .

Exemple[modifier | modifier le code]

Considérons les deux fonctions et définies comme suit :

et considérons pour lacet le cercle positivement orienté . On vérifie sur ce lacet que :

et

On peut donc appliquer le théorème de Rouché :

puisque et n'ont pas de pôle. Par ailleurs, a un zéro triple à l'origine ce qui nous indique donc que la fonction admet trois zéros dans le disque ouvert .

Démonstration[modifier | modifier le code]

Si pour tout , alors et ne s'annulent pas sur (sinon l'inégalité stricte ne pourrait pas être vérifiée). Soit la fonction méromorphe sur , holomorphe et ne s'annulant pas sur définie par :

On a pour tout

L'image de par est donc contenue dans le disque ouvert de rayon 1 et de centre 1 et par conséquent elle ne tourne pas autour de l'origine. En appliquant le principe de l'argument on a donc :

D'autre part, on a

Par conséquent,

Finalement, en utilisant à nouveau le principe de l'argument, on obtient

Applications[modifier | modifier le code]

Démonstration du théorème fondamental de l'algèbre[modifier | modifier le code]

Soit un polynôme à valeurs dans et défini par :

en supposant . Soit suffisamment grand pour que pour tout (cercle de rayon R) on ait :

(par exemple convient).

Étant donné que admet un zéro d'ordre à l'origine, doit admettre zéros dans le disque ouvert par application du théorème de Rouché.

Bibliographie[modifier | modifier le code]

Articles connexes[modifier | modifier le code]

Références[modifier | modifier le code]