Dérivée logarithmique

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction dérivable ne s'annulant pas est la fonction , où est la dérivée de .

Lorsque la fonction est à valeurs réelles, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de la fonction par la fonction logarithme, c'est-à-dire de , aux points où ne s'annule pas, comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions[Note 1].

Formules[modifier | modifier le code]

Les relations qui suivent découlent de la définition (mais on peut également les obtenir en utilisant les propriétés du logarithme) : partant de la formule classique de Leibniz : , il vient

qui exprime que la « dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

De même, partant de la formule de dérivée d'un quotient : , on obtient :

et partant de , on obtient

.

Facteurs intégrants[modifier | modifier le code]

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur écrivons

et soit l'opérateur de multiplication par une fonction donnée. Alors

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de , c'est-à-dire par

Souvent, nous nous donnons un opérateur tel que

et nous désirons résoudre l'équation

d'inconnue , étant donnée. Cela nous amène à résoudre

qui a pour solution

est une primitive quelconque de .

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres complexes qui ne sont ni des zéros de , ni des pôles de . De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique se comporte d'une manière qui puisse être rapprochée du cas particulier de est un entier non nul. La dérivée logarithmique est alors égale à .

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe , toutes les singularités de la dérivée logarithmique de sont des pôles simples, de résidu d'un zéro d'ordre , de résidu d'un pôle d'ordre . Ce fait est souvent exploité dans les calculs d'intégrales de contour (en).

Le groupe multiplicatif[modifier | modifier le code]

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant , le groupe multiplicatif des nombres réels ou sur un corps commutatif quelconque. L'opérateur différentiel est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace par , étant une constante), et la forme différentielle est de même invariante. Pour des fonctions de , la fonction est ainsi une réciproque d'une forme invariante.

De même, la dérivée logarithmique peut être définie dans tout corps différentiel ; c'est le point de départ d'une partie de la théorie de Galois différentielle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

  1. C'est faux lorsque est à valeurs complexes, par exemple avec , dont le module est constant (et donc la dérivée du logarithme du module nulle), mais dont la dérivée logarithmique est la constante .