Dérivée logarithmique

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En mathématiques et plus particulièrement en analyse et en analyse complexe, la dérivée logarithmique d'une fonction dérivable ne s'annulant pas est la fonction , où est la dérivée de .

Lorsque la fonction est à valeurs réelles strictement positives, la dérivée logarithmique coïncide avec la dérivée de la composée de par la fonction logarithme , comme le montre la formule de la dérivée d'une composée de fonctions[1].

Formules[modifier | modifier le code]

Les relations qui suivent découlent de la définition (mais on peut également les obtenir en utilisant les propriétés du logarithme) : partant de la formule classique de Leibniz : , il vient

qui exprime que la « dérivée logarithmique d'un produit est égale à la somme des dérivées logarithmiques des facteurs ».

De même, partant de la formule de dérivée d'un quotient : , on obtient :

et partant de , on obtient

.

Facteurs intégrants[modifier | modifier le code]

L'idée de la dérivée logarithmique est assez proche de celle de la méthode des facteurs intégrants, pour les équations différentielles du premier ordre. En termes d'opérateur écrivons

et soit l'opérateur de multiplication par une fonction donnée. Alors

peut être écrit (d'après la règle de dérivation d'un produit) sous la forme

désigne l'opérateur de multiplication par la dérivée logarithmique de , c'est-à-dire par

Souvent, nous nous donnons un opérateur tel que

et nous désirons résoudre l'équation

d'inconnue , étant donnée. Cela nous amène à résoudre

qui a pour solution

est une primitive quelconque de .

Analyse complexe[modifier | modifier le code]

La définition peut être étendue à d'autres fonctions et par exemple si est une fonction méromorphe, alors la définition a un sens en tous les nombres complexes qui ne sont ni des zéros de , ni des pôles de . De plus en un zéro ou un pôle, la dérivée logarithmique s'analyse à partir du cas particulier de est un entier non nul. Dans ce cas, la dérivée logarithmique est égale à .

Et on peut en déduire que de façon générale pour une fonction méromorphe , toutes les singularités de la dérivée logarithmique de sont des pôles simples, de résidu d'un zéro d'ordre , de résidu d'un pôle d'ordre . Ce fait est souvent exploité dans les calculs d'intégrales de contour (en).

Le groupe multiplicatif[modifier | modifier le code]

Derrière l'utilisation des dérivées logarithmiques se cachent deux faits importants concernant GL1, le groupe multiplicatif des réels ou d'un corps commutatif quelconque. L'opérateur différentiel est invariant par translation (ne change pas lorsqu'on remplace par , étant une constante), et la forme différentielle est de même invariante. Pour une fonction à valeurs dans GL1, la forme différentielle est ainsi le pullback (en) de cette forme invariante.

De même, la dérivée logarithmique peut être définie dans tout corps différentiel ; c'est le point de départ d'une partie de la théorie de Galois différentielle.

Notes et références[modifier | modifier le code]

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Logarithmic derivative » (voir la liste des auteurs).

  1. C'est vrai plus généralement lorsque est à valeurs dans le plan complexe privé d'une demi-droite issue de l'origine, en choisissant sur ce domaine une détermination du logarithme complexe. Par exemple si est à valeurs réelles strictement négatives, est la dérivée de .